助力探究 揭示本质
——“用二分法求方程的近似解”教学实录与反思

张国良 (江苏省武进高级中学 213149)

1 基本情况

1.1 授课对象

高一学生已初步理解了函数图象与方程解之间的关系，具备用数形结合解决数学问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识储备．虽然学生熟悉一元二次方程解与函数零点的关系，但对于一元高次方程、超越方程与对应函数零点之间的联系还比较模糊．另外，学生对计算器的使用不够熟练，这些都给学生学习本节内容造成一定困难．

1.2 教材分析

本节课是《普通高中教科书·数学》(苏教版)必修第一册第8章“8.1二分法求方程近似解”第2课时，要求学生能够借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系．用二分法求方程的近似解既是本册书中的内容，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又渗透函数与方程、数形结合、转化与化归的数学思想，培养学生的图形能力、判断能力以及利用现代信息技术解决问题的能力．

教学目标 (1)能够借助计算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法；(2)掌握用二分法求方程近似解的操作流程，感受信息技术的优越性；(3)通过探究活动，体会数学的“逼近”思想，感受精确与近似的相对统一．

教学重点 利用二分法求方程的近似解．

教学难点 二分法求方程近似解的操作流程．

2 教学过程

2.1 情境体验，感受思想

师：同学们，让我们先做一个猜数游戏．

计算机随机给定10～90之间的二位整数，让学生猜这个数，对于每次猜测的结果，计算机的提示是“对了”或“大了”或“小了”(图1)．

图1

2.2 师生讨论，理解感悟

师：只要给出一个不超出该范围的整数，采用正确的方法，都可以在7次以内猜中，你们是否可以做到？

师：为什么采用正确的方法，7次以内一定能猜中？

学生讨论并回答．

师：上述猜数游戏中，每次猜数都将所给区间一分为二，进行比较后得到新的区间，再一分为二，进而使得所猜数逐步逼近计算机给出的数，这种思想就是二分法．

师：在游戏活动中我们也能学到很多知识，下面请同学们再举例说明二分法的一些应用．

生：输电线路的故障检测等．

师：我们今天就来一起研究用二分法求方程的近似解．

揭题 用二分法求方程的近似解．

师：前面我们已经学习了一元二次方程实数解的有关问题，如方程x2+3x-1=0有两个不相等的实数解，那么你能知道方程x3+3x-1=0的实数解的情况吗？近似解呢？

2.3 活动探究，课堂建构

师：请同学们对这个三次方程的实数解提出一些问题．

生1：该方程有无实数解？

生2：该方程若有实数解，有几个？

生3：这个实数解大概是多少？

生4：函数y=x3+3x-1的图象是怎么样的？

生5：如何获得方程x3+3x-1=0的近似解？

……

引导学生思考：还可以通过函数的单调性知道该方程只有一个实数解．

师：这个实数解在区间(0,1)内，能否更精确些？

记f(x)=x3+3x-1，设方程x3+3x-1=0的实数解为x0，则x0∈(0,1)．

第一次：f(0)<0,f(0.5)>0

第二次：f(0.25)<0,f(0.5)>0

第三次：f(0.25)<0,f(0.375)>0

第四次：f(0.312 5)<0,f(0.375)>0

第五次：f(0.312 5)<0,f(0.343 75)>0

第六次：f(0.312 5)<0,f(0.328 125)>0

第七次：f(0.320 312 5)<0,f(0.328 125)>0

第八次：f(0.320 312 5)<0,f(0.324 218 75)>0

让学生展示自己的解决策略，师生共同完成前三次的计算，组织同桌的两位学生合作，一人计算，一人记录，完成后面的计算过程，并展示学 生的成果．在此过程中教师借助几何画板显示这个实数解的范围逐步缩小，直观形象地体现出二分法的思想(图2)．通过这种活动来创造探究 机会，促进学生主动探究，并注重学生参与、探究的实效，在提出问题、建构数学、解决问题方面进行有意识的引导，培养学生的合作精神与协作能力．

图2

师：若精确到0.1呢？算几次就可以了？

师：若精确到0.01呢？

由学生讨论并总结得出：欲近似到0.1，由两个端点近似值都为0.3，则x0=0.3；欲近似到0.01，由两个端点近似值都为0.32，则x0=0.32．

通过上述解题过程，结合几何画板，形象地给出一段区间，不断地取一半，并表明每一段的两个端点的符号．

师生讨论：(1)精确度如何达到？二分的次数如何确定？有无规律？(2)使用二分法有无前提条件？(3)二分法的一般思路和操作流程是什么？

2.4 巩固反馈，总结提炼

利用计算器，求方程lgx=3-x的一个近似解．(精确到0.1)

小组合作，一人计算，一人记录，完成后通过投影展示学生的研究成果．

通过学生思考并用自己的语言把二分法的解题过程表达出来，并展示学生的成果，让学生共同评价和完善补充．

生：二分法求方程的近似解就是每次都取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法，其实质是不断把函数零点所在的区间逐步缩小，使区间两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值．

师：大家一起来完善用二分法求方程的近似解的操作流程．

用二分法求方程的近似解的操作流程如图3所示．

图3

2.5 体验交流，练习拓展

请学生谈谈利用二分法求方程近似解的一些体验，并进行交流．例如：

(1)近似计算高中阶段较少遇到，用二分法求方程的近似解是数学严谨而科学的体现．

(2)无限逼近的思想是高中数学重要的思想方法，如我国古代数学家刘徽用割圆术计算圆周率π也正是用无限逼近的思想．

(3)操作流程是一种算法思想．算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础，通过本堂课让学生感受到程序化思想，体会算法思想在解决问题和培养理性思维中的意义和作用．算法思想已经成为现代人应具备的一种不可或缺的重要数学素养．

师：利用计算器，求方程10x=3-x的一个近似解．(精确到0.1)

师：结合上述方程lgx=3-x，你能得到什么结论？

借助几何画板作图，帮助学生获得y=10x与y=lgx的关于直线y=x的对称关系，从而获得这两个方程的实数解的和为定值3．

·巩固练习

下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是( )．

利用以上图象，指出对于连续函数f(x)满足f(a)f(b)<0，则函数在(a,b)上至少有一个零点；但f(a)f(b)>0，却不能得出函数在(a,b)上一定没有零点．

·课后拓展

师：同学们有无其他方法求方程的近似解．

提示：如秦九韶法、迭代法等．

3 回顾反思

3.1 教学效果

利用信息技术与课程整合，动态图象的演示，激发学生学习兴趣、激活学生思维，掌握二分法的本质，较好地完成了教学目标．

3.2 教学反思

本节课通过猜数游戏创设情境，不仅激发了学生的学习兴趣，学生也在猜数过程中初步感受二分法的思想．利用几何画板求方程近似解的动态效果，优势有三：

(1)动态逼近

几何画板能动态展示零点所在的区间，直观地体现“逼近”的过程，动态变化过程清晰明了，这样有利于突破传统教学的难点，帮助学生揭示数学本质，提高了探究活动的有效性，充分体现了信息技术与数学课程的有机整合．

(2)形象直观

在教师的引导下，学生也可以观察图形、猜测并验证，在观察、探索、发现的过程中增强对函数零点的感性认识，形成丰厚的经验背景，从而更有助于理解．

(3)操作简单

借助几何画板可实时作出函数图象，一切操作都只靠工具栏和菜单实现，隐藏、显示可以反复操作．

本节课由学生自主提出一些问题，主动探究，总结体验探究过程，从而获得方法，体验到成功的乐趣．学生只有通过自主探究、创造性运用知识、合作交流才能完成相关课题，这将促进学生学习方式发生转变，由被动接受、死记硬背、机械训练变为自主探究、注重过程、合作交流，有利于提升学生的数学核心素养．