考虑拥堵指数的城市群复杂交通网络级联失效模型

霍非舟，梅依云，吕 伟 ，董格力

(1. 武汉理工大学 中国应急管理研究中心，湖北 武汉 430070；2. 武汉理工大学 安全科学与应急管理学院，湖北 武汉 430070)

0 引言

近年来，随着区域一体化不断发展，城市群中的各城市之间存在一定的亲密度[1]，城市群中某车站或路段失效往往伴随着多站点或多路段的失效，因而提高城市群交通网络的抗毁性对于城市群交通网络应急管理能力的提高有重要意义。

长期以来，网络级联失效思想不断演进丰富。级联失效思想早期多运用于计算机网络和电力网络[2-4]。在复杂信息网络方面，部分学者对计算机网络中的层级网络、无标度网络中的级联失效进行了鲁棒性分析[5-6]。Sun等[7]构建了多螺旋供应链复杂网络演化模型，并对级联失效进行了鲁棒性分析。目前，学者们针对信息网络中级联失效机制及级联失效网络节点流量恢复策略、负载再分配全局模型、识别网络级联故障中的关键节点进行了大量研究[8-11]。Xu等[12]探究了资源分配对级联故障时无标度网络恢复的影响。梁悼骞等[13]基于节点容忍负载的能力调整了负载重分配策略。在电力网络系统方面，针对供电系统、核电力厂，对关键级联失效场景下的电网经济进行了改造，建立了电力保护系统[14-15]。近年来，将级联失效概念应用于复杂交通网络后，针对级联失效后网络恢复问题提出了多种负载分配方法。Ma等[16]在双层复杂网络动态流量中引入了交付能力分配策略，新的分配策略与平均分配策略相比能显著提高交通系统抗毁性。王世波等[17]针对交通拥堵问题提出了非线性负载重分配模型。王国娟等[18]基于复杂网络设计了公交站点失效优化方案。王德龙等[19]基于蓄意攻击研究了机场交通网络的抗毁性。毛剑楠等[20]考虑城市基础经济、拓扑网络结构以及联系强度，提出了一种新的城市群综合节点重要度识别方法。

综上所述，目前对于级联失效的研究大多是针对计算机信息网络和电力系统网络，近几年许多学者将级联失效概念引入城市群复杂交通网络，进而对复杂交通网络级联失效模型有了一定研究成果。但是，现有的复杂交通网络级联失效模型没有考虑道路堵塞对级联失效负载分配的影响，所以本研究拟构建城市群复杂交通网络，考虑拥堵指数，建立城市群复杂交通网络级联失效模型，从而增强城市群复杂交通网络抗毁性，为城市群复杂交通网络布局提供参考，保障城市群复杂交通系统的正常运行。

1 城市群复杂交通网络模型

1.1 建立城市群复杂交通网络

基于城市交通网络已有的研究成果[21-23]，为建立城市群复杂交通网络，将多个独立交通网络进行叠加，如图1所示，具体方法如下：

图1 城市群复杂交通网络示意图

(1)将汽车站作为节点，若汽车站之间有高速公路直接相连，则2个汽车站相邻，2个节点之间有1条连边。

(2)将火车站作为节点，若有铁路直接连接2个火车站，则2个火车站相连，2个点之间有1条连边。

(3)合并城市里的所有汽车站，由于城市中所有长途客运站的汽车要到达其他相同站点途径同一条高速公路，所以每个城市只取最大的1个汽车客运站作为汽车站点。

(4)连接同一城市的汽车站和火车站点，若2个点之间有多条线路相连，则合并为1条。

在构建城市群复杂交通网络时不考虑道路的方向性，城市群交通网络为无向网络G=(V,E)，式中V={v1,v2,v3,v4,…,vn}，vn为编号为n的节点；n为节点总数；E={e1,e2,e3,e4,…,em}，em为编号为m的连边；m为网络中连边的总数；邻接矩阵A={aij}N×N，其中N为节点总数，aij表示为：

式中，i和j为节点；节点i的度ki为与i相连连边数，记为：

(1)

1.2 攻击策略

边介数指网络中经过该边的最短路径数与总最短路径数的比值[24]。具体攻击策略有以下4种。

(1)随机节点攻击：随机攻击定量节点。

(2)蓄意节点攻击：按照节点度从大到小对节点依次进行攻击。

(3)随机连边攻击：随机攻击定量连边。

(4)蓄意连边攻击：按照边介数从大到小对连边依次进行攻击。

假设节点失效的情况下不考虑连边状态，即在考虑节点失效时，连边无初始负载无容量限制；假设连边失效情况下则不考虑节点状态，即在连边失效的情况下节点无初始负载无容量限制。

2 考虑拥堵指数的复杂交通网络级联失效模型

在构建考虑拥堵指数的城市群复杂交通网络级联失效模型时，假设节点和连边被攻击后在试验期间没有恢复能力。

2.1 相关变量定义

2.1.1 初始负载

初始负载包括节点初始负载和连边初始负载。

(1)节点初始负载

参考已有研究[25]，重新定义节点的初始负载：

(2)

(2)连边初始负载

(3)

式中kj为节点j的度。

2.1.2 容量

(1)节点容量

节点容纳负载的能力与初始负载密切相关，所以定义节点容量：

(4)

式中，Ci为节点i的容量；β为网络负载容忍系数，且β>0。

(2)连边容量

考虑连边容量正比于初始负载，定义连边容量：

(5)

式中Ceij为连边eij的容量。

2.1.3 拥堵指数

随着交通网络的发展，日出行量越来越高，交通拥塞影响着人们出行路径的选择。针对交通拥塞的衡量，采用拥堵指数衡量交通拥堵状态，具体定义为实际通过路段时间与路段无其他车辆时通过道路时间的比值，表达式为：

(6)

式中，Feij为连边eij的拥堵指数；Ta为实际行驶时间；Tf为路段畅通时行驶时间。若节点vi和vj不相连，或vi和vj之间连边失效，则Feij=+∞。

2.2 负载重分配模型

负载重分配发生在城市群复杂交通网络节点或连边失效和级联失效之后，原本在节点和连边的负载被迫分配到相邻节点和连边。相邻连边表示除连边本身之外与连边端点直接相连的所有连边。节点和连边负载重分配对复杂交通网络的抗毁性有很大影响。

图2为复杂交通网络级联失效负载分配示意图。攻击节点k从而导致节点k丧失全部功能，节点k的全部负载将按比例分别向A1，A2，A3，A4，A5分配，节点被分配负载较多，则节点与k连线较粗，节点被分配负载较少，则节点与k连线较细。当节点A1，A2，A3，A4，A5接受来自k的负载后可能会由于过载发生进一步失效，此时发生失效的节点可以视为“暂停节点”，即可恢复正常的节点，例如节点A1和A3。对节点A1和A3的负载进行分配，将超过容量的负载分配到相连节点，循环往复，直到所有节点恢复，级联失效过程结束。当连边eij的所有负载向相邻连边eiA5，eiA8，eiA7，eiA6分配，连边接受负载后可能处于过载状态，例如连边ejA6。此时发生失效的连边称为“暂停连边”，即通过重分配多余负载可恢复正常。将连边ejA6过载的负载分配到相邻连边，直至网络恢复正常，级联失效过程结束。基于负载重分配时交通拥堵也是影响负载分配的一个重要因素，所以结合剩余容量和网络拥堵指数建立负载重分配模型。在t时刻，节点i被攻击，若节点j与i相连，则节点j接收负载比例表示为：

图2 级联失效负载分配示意图

(7)

式中，ωi→j为节点i负载由i→j的比例；Γ为与节点i相连所有节点集合；Cj和Lj分别为节点j的容量和负载；Cm和Lm分别为节点m的容量和负载；Fj为i→j的拥堵指数；Fm为i→j的拥堵指数；σ为剩余容量权重；δ为拥堵指数权重；σ>0，δ>0且σ+δ=1。所以，节点j增加的负载ΔLj为：

(8)

式中Li为节点i的负载。

更新节点j的负载：

Lj(t+1)=Lj(t)+ΔLj=Lj(t)+Li×

(9)

判断Lj(t+1)

ΔLj1=(Lj(t+1)-Cj)×ωj→j1，

(10)

式中，ωi→j1为节点j负载由j→j1的比例，可根据式(7)可得。按照式(9)更新节点j1的负载，重复操作直到节点恢复正常。

假设连边eij在t时刻发生失效，那么，相邻连边的负载分配比例为：

(11)

式中，ωeij→e1为相邻连边e1分配到的负载比例；Λ为与连边eij的相邻连边集合；e1为与失效连边eij相连的其中1个相邻连边；Ce1和Le1分别为节点j的容量和负载；Fe1和eij→e1分别为节点m的容量和负载；Fe1为eij→e1的拥堵指数；Fek为eij→ek的拥堵指数。

连边e1增加的负载ΔLe1为：

(12)

式中Leij为边eij的负载。

更新连边e1的负载：

Le1(t+1)=Le1(t)+ΔLe1=Le1(t)+Leij×

(13)

若Le1(t+1)>Ce1，则网络发生进一步失效，参考式(11)，e1的邻边e2增加的负载为：

ΔLe2=(Le1(t+1)-Ce1)×ωe1→e2，

(14)

式中ωe1→e2为e1负载由e1→e2的比例。

按照式(13)更新连边e2的负载，重复操作直到连边恢复正常。

2.3 级联失效抗毁性评估指标

为衡量节点或连边失效对城市群复杂交通网络的影响，采用级联失效规模来对网络进行抗毁性评估。表达式为：

(15)

(16)

式中，CFN1和CFN2分别为节点和连边级联失效规模；N′为节点失效导致其他节点失效的数目；M′为连边失效导致其他连边失效的数目；M为连边总数。

2.4 城市群复杂交通网络级联失效模型

图3为城市群复杂交通网络级联失效仿真流程图。具体步骤如下。

图3 城市群复杂交通网络级联失效仿真流程图

Step 1：构建城市群复杂交通网络。将各城市里的火车站、汽车站视作复杂网络节点，2个节点间若能直接到达则连接2个节点，构建邻接矩阵A。

Step 3：确定攻击策略。攻击节点vi或连边eij，令攻击的节点或连边失效。

Step 4：对失效节点或连边进行负载重分配。将失效节点或连边的负载按式(7)～(9)分配给相邻节点，或按式(11)～(13)分配给相邻连边，更新复杂网络节点负载或连边负载，判断Lj是否大于容量Cj，若是，则进行Step 5，否则转跳至Step 7。

Step 5：级联失效节点或连边负载重分配。将级联失效节点或连边过载部分的负载按式(10)或式(14)分配到相连节点或连边。

Step 6：更新负载，判断是否有新节点处于“暂停状态”。节点或连边是否存在Lj>Cj或Leij>Ceij的情况，若存在，则返回Step 5，否则进行Step 7。

Step 7：级联失效过程结束。计算级联失效规模变化。

3 实例研究

以长江中游城市群交通网络为对象，根据1.1节建立长江中游城市群复杂交通网络，得到如图4所示的网络拓扑图，节点数N=108，连边数M=336。

图4 长江中游城市群复杂交通网络拓扑图

3.1 拥堵指数权重对城市群交通网络级联失效影响

3.1.1 随机节点攻击下级联失效仿真

令α=4，τ=1.6，β=0.1，在攻击不同节点数下，调整δ进行随机节点攻击下级联失效仿真，每个试验进行50次后取平均值，结果如图5所示。

图5 随机节点攻击下拥堵指数权重对级联失效规模影响

由图5可得，随着失效节点数i的增加，级联失效规模也明显增大。在不发生道路拥塞的情况下，即σ=1，β=0时，网络级联失效规模达到最小值，在只考虑道路拥塞的情况下，即σ=1，δ=1时，网络级联失效规模达到最大值，这表明交通拥堵会导致交通网络进一步失效。当δ<0.1时，随着δ的增加，级联失效规模明显增大；当δ>0.1时，随着δ的增加，级联失效规模变化较小。因此在随机节点失效的情况下，交通拥堵会扩大网络级联失效影响，当拥堵指数权重到一定阈值，交通拥堵对网络级联失效规模影响较小。

3.1.2 蓄意节点攻击下级联失效仿真

为研究在考虑拥堵指数情况下，城市群复杂交通网络节点在蓄意攻击下级联失效规模变化，令α=4，τ=1.6，β=0.1。仿真结果如图6所示。

图6 蓄意节点攻击下拥堵指数权重对级联失效规模影响

由图6可得，级联失效规模随着失效节点数i增加而增加，σ=1，δ=0时，网络级联失效规模最小；σ=0，δ=1时，网络级联失效规模最大。当δ<0.1时，随着δ增加，级联失效规模急剧上升；当0.1<δ<0.3时，随着δ的增加，级联失效规模呈下降趋势，δ>0.3时，级联失效规模缓慢增加，说明在蓄意节点失效情况下，拥堵指数权重存在2个阈值δm和δn(δm<δn)。当δ=δm时，级联失效规模从随着δ上升转为随着δ下降；当δ=δn时，在考虑拥塞时，级联失效规模从下降转为随着δ上升。这表明拥堵指数权重到一定程度会使级联失效规模下降。同时与随机节点失效相比，蓄意节点失效造成的后果更严重，对网络影响范围更广泛。

3.1.3 随机连边攻击下级联失效仿真

令α=4，τ=1.6，β=0.1，探究在随机连边攻击下，拥堵指数权重和级联失效规模的关系，每组试验进行50次后对级联失效规模求均值，得到如图7所示结果。

图7 随机连边攻击下拥堵指数权重对级联失效规模影响

从图7可以看出，当δ<0.2时，CFN2为0，复杂网络不发生级联失效，失效连边数和δ对级联失效规模没有影响；当δ>0.2时，随着δ的增大，级联失效规模不断上升，直至δ=1，级联失效规模达到最大值。这表明在随机连边失效情况下，当δ小于0.2时，拥堵对CFN2无影响；当δ>0.4时，i越大，CFN2越大，且当δ增大时，级联失效规模变化较快，说明拥堵指数权重达到一定程度后，随着拥堵指数权重的增加，级联失效规模也不断增加。对比图4，级联失效规模比随机节点攻击下要小，这是由于连边的相邻连边个数多于节点相连边个数，在负载分配时接受分配的连边越多，越不容易发生级联失效。

3.1.4 蓄意连边攻击情况下级联失效仿真

为研究在连边蓄意攻击情况下，拥堵指数权重和级联失效规模的关系，令α=4，τ=1.6，β=0.1，结果如图8所示。

由图8可得，蓄意连边失效比随机连边失效产生的后果更严重，这是因为蓄意失效的连边是介数较大的边，所以需要分配的负载就更多，导致连边更容易发生级联失效。拥堵指数权重δ存在阈值δc，当δ<δc，网络不发生级联失效，i越大δc越小，例如当i=10时，δc=0.6，当i=40时，δc=0.3，但i=50时，不存在阈值δc，这是由于失效连边数足够大时，复杂交通网络越易发生级联失效，δ越大，CFN2越大。δ=0时CFN2达到最大值，i越大级联失效规模越大。

对比图5～图8可知，节点失效比连边失效对交通网络的级联失效影响更大，因此，对于大型城市群交通网络，要注意维护重要节点的正常运行，在交通拥堵情况下，调整拥堵指数权重，使得剩余容量和拥堵指数保持相对平衡可以减少级联失效规模。

3.2 节点和连边重要性评估

为研究长江中游城市群交通网络节点和连边的重要性，令α=4，τ=1.6，β=0.1，σ=0.5，δ=0.5，假设每个节点或者连边单独失效，研究城市群交通网络级联失效过程，得到如图9和图10所示结果。

图9 节点单独失效对级联失效规模影响

图10 连边单独失效对级联失效规模影响

从图9和图10可得长江中游城市群复杂交通网络中的重要节点和连边。并且可得交通网络节点级联失效规模平均值为4.094 39×10-4，交通网络连边级联失效规模平均值为2.851 65×10-5，所以，节点失效相比于连边失效对于网络级联失效影响更大。取最易发生级联失效前5个节点和最易发生级联失效前5条路段，如表1所示。

由表1可看出，在对长江中游城市群复杂交通网络日常维护和管理时，要特别注意武昌站、武汉汽车站、武汉站、汉口站、咸宁汽车站、长沙站、长沙南站、九江汽车站等9个站点的状态，保证复杂交通网络系统正常运行。天门南站—仙桃西站、孝感北—孝感汽车站、咸宁汽车站—南昌站、仙桃汽车站—天门汽车站、潜江汽车站—潜江站、天门汽车站—孝感汽车站、武昌站—襄州站、襄阳站—襄州站、黄石北—黄石客运站、大治北站—黄石站等50个路段需要重点关注和管理，防止这些路段失效导致交通网络发生严重的级联失效。

表1 长江中游城市群重要站点和路段

4 结论

基于城市群交通复杂网络，提出了考虑拥堵指数和剩余容量的级联失效负载重分配模型，构建了城市群复杂交通网络级联失效模型。分析了拥堵指数权重与城市群交通网络级联失效规模的关系，并对复杂网络中的节点和连边重要性进行评估，确定了长江中游城市群重要站点和路段。主要结论如下：

(1)失效节点越多，级联失效规模越大。交通拥堵会导致复杂网络发生进一步的级联失效，在不发生拥堵时，即所有路段均畅通情况下，网络级联失效规模最小。

(2)随机节点失效下，交通拥堵到一定程度，交通拥堵对复杂网络级联失效影响较小；蓄意节点失效下，存在1个最佳的拥堵指数权重，使得复杂网络级联失效规模较小。

(3)随机和蓄意连边失效下，拥堵指数权重存在阈值，拥堵指数权重小于阈值时复杂网络不发生级联失效，大于阈值时拥堵指数权重越大复杂网络级联失效越严重。但蓄意连边失效比随机连边失效造成的后果更严重，因此要保护边介数较大的连边，并且控制复杂交通网络拥堵指数权重不超过其阈值。

(4)确定长江中游城市群9个重要站点和50个重要路段，并且节点失效相较于连边失效对于复杂交通网络影响更大。

本研究不仅可为长江中游城市群交通网络规划提供参考，促进长江中游城市群交通运输系统发展，提高交通网络管理水平，并且提出的级联失效模型可准确地判定关键站点和路段。后续研究工作将考虑根据乘客目的地的差异性构建复杂交通网络级联失效模型，进一步研究、优化复杂交通网络级联失效模型。