例析求解分段函数问题的方法与技巧

龚自辉

(湖北省黄冈市蕲春县刘河镇刘河中学,435325)

分段函数在各地中考试题中时有出现,主要考查学生的阅读理解能力,以及发现问题、分析问题和解决问题的能力.分段函数常以函数应用为背景,其常见中考题型有解析型、图象型、列表型以及综合型等.下面我们举例说明,与大家共享.

一、解析型

解析型的分段函数,在解题时要注意自变量的取值范围,以自变量不同范围内的解析式,作为解题的数量条件来解决问题.

例1在建设两型社会的过程中,为推进节能减排,发展低碳经济,我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后,再投入100万元购买生产设备,进行该产品的生产加工.已知生产这种产品的成本价为每件20元.经过市场调研发现,该产品的销售单价定在25元到35元之间较为合理,并且该产品的年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为:

(年获利=年销售收入-产品成本-投资成本)

(1)当销售单价定为28元时,该产品的年销售量为多少万件?

(2)求该公司第一年的年获利w(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并说明投资的第一年,该公司是盈利还是亏损?若盈利,最大利润是多少?若亏损,最小亏损是多少?

(3)第二年,该公司决定给希望工程捐款Z万元,该项捐款由两部分组成:一部分为10万元的固定捐款;另一部分则为每销售一件产品,就抽出一元钱作为捐款.若除去第一年的最大获利(或最小亏损)以及第二年的捐款后,到第二年年底,两年的总盈利不低于67.5万元,请你确定此时销售单价的范围.

解(1)当25≤x≤30时，y=40-x,

∴yx=28=(40-x)x=28=12(万件).

(2)当25≤x≤30时，

w=(40-x)(x-20)-25-100

=-x2+60x-925

=-(x-30)2-25.

当x=30时，w最大为-25，即公司最少亏损25万元；

当30

w=(25-0.5x)(x-20)-25-100

故当x=35时，w最大为-12.5,即公司最少亏损12.5万元.

综上，投资的第一年，公司亏损，最少亏损12.5万元.

(3)当25≤x≤30时，

w=(40-x)(x-20-1)-12.5-10

=-x2+61x-862.5≥67.5.

化简，得x2-61x+930≤0,

解得30≤x≤31.

当两年的总盈利不低于67.5万元时,x=30;

当30

w=(25-0.5x)(x-20-1)-12.5-10

化简，得x2-71x+1230≤0,

解得30≤x≤41.

故当两年的总盈利不低于67.5万元时,30

综上,到第二年年底,两年的总盈利不低于67.5万元,此时销售单价的范围是30≤x≤35.

评析本题主要考查二次函数的性质、解不等式.此题涉及的数据较多,认真审清题意是解决问题的关键.

二、图象型

图象型的分段函数是在自变量的取值范围内,根据图象的形状选取正确的函数模型,再根据图象上的点的坐标,利用待定系数法求出解析式.

例2(2022年湖北黄冈中考题)为增强民众生活幸福感,市政府大力推进老旧小区改造工程.和谐小区新建一小型活动广场,计划在360 m2的绿化带上种植甲、乙两种花卉.市场调查发现:甲种花卉种植费用y(元/m2)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图1所示,乙种花卉种植费用为15元/m2.

(1)当x≤100时,求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;

(2)当甲种花卉种植面积不少于30m2,且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时.

① 如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w(元)最少?最少是多少元?

② 受投入资金的限制,种植总费用不超过6000元,请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围.

解(1)当0

当40≤x≤100时,设y=kx+b,则有

(2)① 由题意,可得

360-x≥3x,解得x≤90.

又x≥30,∴30≤x≤90.

当30≤x<40时,

w=30x+15(360-x)=15x+5400.

∵15>0,∴w随x的增大而增大.

当x=30时，w最小值=15×30+5400=5850.

当40≤x≤90时,

当x<50时,w随x增大而增大,所以当x=40时,w最小值=6000;

当x>50时,w随x增大而减小,所以当x=90时,w最小值=5625.

∵5625<5850<6000,

∴w的最小值为5625.

故甲种花卉种植面积为90m2,乙种花卉种植面积为270m2,总费用最少,最少是5625元.

② 30≤x≤40或60≤x≤90.

评析建立函数模型、确定自变量的取值范围以及掌握一次函数和二次函数的性质是解决问题的关键.

三、列表型

解决以函数应用为背景的列表型函数问题,关键是要从列表中判断若干个数据适合的函数种类,既可以用待定系数法求出不同种类的函数解析式,再将余下的数据代入验证,从而得到满足条件的函数解析式;也可以用描点、连线画图象的方法,来确定函数的种类;其实,不同的函数列表中的数据,有其不同的函数特点,还可以根据函数列表中的数据特点,选取正确的函数模型,求出函数解析式,从而使问题得以解决.

例3(2020年贵州安顺中考题)2020年体育中考,增设了考生进入考点需进行体温检测的要求.防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况,调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(分钟)的变化情况,数据见表1.(表中9～15表示9

表1

7899～15770800810810

(1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律,利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式;

(2)如果考生一进考点就开始测量体温,体温检测点有2个,每个检测点每分钟检测20人,考生排队测量体温,求排队人数最多时有多少人?全部考生都完成体温检测需要多少时间?

(3)在(2)的条件下,如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测,从一开始就应该至少增加几个检测点?

解(1)由表1中数据的变化趋势,可知当0≤t≤9时，y是x的二次函数.

当x=0时,y=0,则二次函数的关系式可设为y=ax2+bx.

而当x=1时,y=170；

当x=3时,y=450,

∴二次函数的关系式为

y=-10x2+180x.

又当9

∴y与x的关系式为

(2)设第x分钟时排队人数是w,则

① 当0≤t≤9时，

w=-10x2+140x=-10(x-7)2+490.

∴wmax=wx=7=490.

② 当9

综上,排队人数最多时有490人.

要全部考生都完成体温检测,则得

810-40x=0,解得x=20.25.

故全部考生都完成体温检测需要20.25分钟.

故一开始就应该至少增加2个检测点.

评析根据函数列表中存在两种不同的函数变化趋势,可知是分段函数.本题考查了二次函数的实际应用及性质,一元函数的性质、一元一次不等式的应用,其中确定y与x之间的函数关系式是解题的关键.

四、综合型

综合型分段函数试题,要求学生了解函数解析式与函数列表之间、函数列表与函数图象之间的联系和特点,让学生感悟数形结合的数学思想.

例4(2018年湖北黄冈中考题)某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品,经分析发现月销售量y(万件)与月份x(月)的关系为

每件产品的利润z(元)与月份x(月)的关系见表2.

表2

(1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式;

(2)若月利润w(万元)=当月销售量y(万件)×当月每件产品的利润z(元),求月利润w(万元)与月份x(月)的关系式;

(3)当x为何值时,月利润w有最大值,最大值为多少?

解(1)当1≤x≤10时,设每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式为z=kx+b,则有

∴z=-x+20.

当11≤x≤12,z=10.

(2)当1≤x≤8时，

w=(x+4)(20-x)

=-x2+16x+80;

当9≤x≤10时，w=(-x+20)2;

当11≤x≤12时，

w=(20-x)×10=-10x+200.

综上，可得

其中x为整数.

(3)当1≤x≤8时，

w=-x2+16x+80=-(x-8)2+144,

∴wmax=wx=8=144;

当9≤x≤10,w=(20-x)2,

∴wmax=wx=9=121；

当11≤x≤12时，w=-10x+200,

∴wmax=wx=11=90.

∵90<121<144,

∴当x=8时，月利润w有最大值，最大值为144万元.

评析本题主要考查根据实际的数据探究各数据符合的函数形式,同时考查了一、二次函数的实际应用.分类讨论和熟练掌握一、二次函数的性质是解题的关键.