鲁班锁的别样玩法

2022-12-11 14:07邵勇
数学大王·中高年级 2022年12期
关键词:文氏方柱木条

邵勇

在没有钉子、绳子的情况下,你能将6根木条交叉固定在一起吗?木匠祖师鲁班就发明了一种方法,用咬合的方式把3组木条垂直相交固定。6根木条中间有缺,缺缺相合。这种三维的拼插器具在建筑上也被广泛应用,是中国古代传统的土木建筑固定结合器。

三国时期,孔明把鲁班的发明制成了一种玩具。这种玩具虽然看上去简单,但是内中奇妙无穷,不得要领很难完成拼合,是一种老少皆宜的休闲玩具。

鲁班锁亦称孔明锁、别闷棍等。从外观上看,它是严丝合缝的十字立方体,动动脑筋即可拆解。但要重新拼装好可不是那么容易的,拼装时需要仔细观察,认真思考,分析其内部结构。除了能对鲁班锁进行拼装、拆解外,我们还可以从数学的角度来研究鲁班锁。

鲁班锁由6根方柱交叉拼接而成。因为6根方柱互有重合的地方,所以有些方柱肯定不是完整的,而是被挖掉了一部分。也正因为这样,鲁班锁才会产生如此巧妙的拼装方式。

从外面观察拼装好的鲁班锁,我们可以发现每根方柱之间没有一丝空隙。但光用眼睛看还不够,双手也要动起来呀!一起来算出鲁班锁的体积吧。

计算拼装好的鲁班锁的体积有很多种方法。今天主要介绍2种:一种是将鲁班锁分解成容易计算体积的几个组成部分,另一种是运用能使重叠部分不被重复计算的容斥原理。

假设1根完整的方柱可以均分为4个小正方体,每个小正方体的体积看作单位1,1根完整的方柱的体积为4。

如图1所示。鲁班锁表面露在外面的部分,可以分成2种不同的类型。第一种是图中的蓝色小正方体,体积为单位1。这样的正方体上、下、左、右、前、后各2个,一共有12个。它们都位于鲁班锁的最外端,体积之和为12。第二种是图中的绿色小长方体,它的体积为小正方体的1

4,位置在角落处。这样的小长方体每根方柱上面有2个,一共有12个,体积之和为12×1

4=3。

接着,我们再计算没有表面露在外面的部分的体积。这部分体积分成2种类型。一种是有“边”露在外面的,如图2所示,根据2条青色线段(有一条是MN),我们可以定位出这个被压在里面的“半方块”。这个“半方块”的体积是小正方体的一半,它位于C、D方柱的上方,同时被挤压在A和B之间,但它也是方柱E的一部分。这样的“半方块”有6个(两两相对),体积为6×1

2=3。另一种是只有4个顶点稍微露出来的最中间的单位正方体,它的体积为1。

因此,鲁班锁的总体积为:

12+3+3+1=19

它比原来6根完整方柱的总体积少了24-19=5(个)单位体积。

如图3所示,A和B并排放到一起可以当成一个整体,C和D、E和F也可以当成一个整体。每个整体的体积都是8,分别对应图4文氏图中的3个圆。每两个整体的公共部分是2个单位正方体,这相当于文氏图中的一个枣核形。鲁班锁正中间的完全隐藏起来的单位正方体,就相当于图4中间的绿色曲边三角形。鲁班锁的体积就是文氏图中3个圆的并集。

为方便起见,我们设A+B=X,C+D=Y,E+F=Z,并且X=Y=

Z=8。下式中“∪”表示并集,“∩”表示交集。根据容斥原理,有:

(A+B)∪(C+D)∪(E+F)

=X∪Y∪Z

=X+Y+Z-X∩Y-Y∩Z-Z∩X+X∩Y∩Z

=8+8+8-2-2-2+1

=19

以上用2種方法求出了鲁班锁所占据空间的体积,都为19。

鲁班锁是一种涉及立体几何知识的玩具。通过几何分割,6根木条可以有多种锁定方式,组成的样式多达119 963种。古典玩具见证了中国古代的悠远文明,也让我们认识到数学就蕴藏在游戏之中。

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