一类代数链环的棍棒指标估计

王树新，赵一狄，陶 金

(辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029)

本文从上述研究结果出发，将链环的投影图、加权树图与缠绕的分段线性构造紧密结合起来，利用三维流形组合拓扑的研究技巧和方法得到了一类代数链环的棍棒指标估计.

1 预备知识

定义1.1将0-缠绕做n次正(负)水平扭转得到的缠绕称为水平+n(-n)-整数缠绕，n∈+；将∞-缠绕做n次正(负)竖直扭转得到的缠绕称为竖直+n(-n)-整数缠绕，n∈+；称水平整数缠绕和竖直整数缠绕为整数缠绕.

定义1.2设T1，T2是2个缠绕，若缠绕T1，T2间由2段弧相连接，则称缠绕T1和T2以代数方式连接.

定义1.3设T是一个由n个整数缠绕Ti(1≤i≤n,n∈+)相连构成的缠绕，若任意2个缠绕Ti，Tj间均以代数方式连接，其中,i≠j且1≤i,j≤n，则称缠绕T为一个代数缠绕.

定义1.4设L是一个代数链环，D是L任意一个投影图，若投影图D可通过一系列坍塌操作化简为8字型，如图1所示，则称D为L的代数投影图；否则，称D为L的非代数投影图.

图1 8字型

定义1.5设T是一个缠绕，记c(T)=min{c(DT)|,其中,DT是缠绕T的任意一个投影图，c(DT)是DT的交叉点个数}，称c(T)为缠绕T的交叉数.

定义1.6设T是一个缠绕，记s(T)=min{sn(PT)|,其中,PT是缠绕T的任意一个多边形表示,sn(PT)表示PT的边数}，称s(T)为缠绕T的棍棒指标.

定义1.7由顶点和边构成的，且不包含任何环路的图称为树图.

注1.1树图通常用字母G1,G2,…,Gn表示.

定义1.8设G是一树图，若G的各个顶点都有整数对应，则称该整数为对应顶点的权重，若G的任意顶点都对应有权重，则称图G为加权树图.

定义1.9设G是一个树图，若G中存在一顶点恰好与一条边相连，则称该顶点为树图G的一个树桩；若G中存在一顶点恰好与两条边相连，则称该顶点为树图G的一个树枝.

定义1.10设G是一树图，若G中存在一个顶点与至少2个向下延伸的树桩或树枝相连，则该顶点与其下面相连接的树桩和树枝整体被称作树图G中的一个扇形.图2给出了几个扇形的例子.

目前，全球各国的经济发展都相互依存，经济全球化的趋势越来越明显。在此背景下，企业财务管理也要顺应形势，结合企业的实际情况，要有全球化视野，在进行企业的内部控制和管理的时候，要关注全球经济的形势变化，结合形势的变化，剖析企业内部财务管理制度的问题。探索全球化的背景下，与企业实际情况符合的财务管理模式，更好地改进企业财务管理的效率。

图2 扇形的例子

定义1.11设L是一代数链环，DL是L的代数投影图，G是其对应的树图，若G满足：

(1)除了树桩上的顶点，G上其余所有顶点的权重均为0；

(2)G上每一个树枝均连接权重的绝对值大于1的树桩；

(3)除了可能有一个零权重的树桩外，G上的树桩与代数投影图DL中的整数缠绕是一一对应的；

(4)G的最高顶点连接3条或3条以上向下延伸的边；

(5)G上顶点或者连接权重为+1的树桩，或者连接权重为-1的树桩，或者连接带有任意权重树桩的树枝，进一步地，对满足前述条件的G所对应的投影图进行翻转简化，使G中任意树枝或权重为±1的树桩尽可能向左移动.

则称G是L的一个PL标准加权树图，DL是L的标准代数投影图.

2 整数缠绕的分段线性构造

在整数缠绕的分段线性构造中，本文要求缠绕的多边形表示的4个出口方向NW，NE，SW，SE对应4条边的角度都与水平轴成40°～50°角，表1给出了整数缠绕的分段线性构造的3种方式.

表1 整数缠绕的分段线性构造方式

3 主要结果

定理3.1设L是一代数链环，GL是L的PL标准加权树图，且GL对应L的一个具有最少交叉点的投影图，若GL中存在紧挨着扇形且带有权重为±2树桩的树枝，则

s(L)≤c(L)+n2+nf+n1∉f-n2∉s+2.

其中，c(L)为L的交叉数，n2为GL中权重为±2的树桩个数，nf为GL中扇形的个数，n1∉f为GL中不在扇形内且权重为±1的树桩个数，n2∉s为GL中紧挨着扇形的树枝上权重为±2的树桩个数.

证由PL标准加权树图定义可知，GL至少包含一个扇形，且GL可能只含有一个扇形.若GL中含有多个扇形，则GL中的每个扇形都有一条向上延伸到顶点的边，并且这条边上的顶点不能是向上延伸的树枝，因此,它必须有一条从它向下延伸的其他边.此时由对应顶点向下延伸的边的底部顶点可能连接一个扇形，也可能紧挨着一个扇形，所以它可能是一个树桩、一个树枝、其他的扇形或是一个更加复杂的部分，这部分至少包括一个更低层的扇形.

由于GL是PL标准加权树图，可知GL整体由扇形、树桩和树枝组成.下面首先讨论GL中某一扇形f1的多边形表示.不失一般性，设f1由整数缠绕T1,T2,…,Ti(i≥2且i∈+)所对应的树桩构成，且整数缠绕T1,T2,…,Ti(i≥2且i∈+)所对应的树桩在f1中从左到右依次排列，即T1是f1中最左侧树桩对应的整数缠绕，Ti是f1中最右侧树桩对应的整数缠绕.利用表1中整数缠绕分段线性构造的第一种和第二种方式来构造扇形f1的多边形表示P1，为使P1边数相对较少，扇形f1最左侧树桩对应的整数缠绕T1遵循表1中第一种方式构造.如果T1对应的树桩在一个树枝上，可将此缠绕T1对应的竖直整数缠绕的分段线性构造旋转90°得到对应水平整数缠绕的分段线性构造.设缠绕T1有c(T1)个交叉点，则T1的多边形表示需要条边，其中，若T1为±2-缠绕，则若T1不为±2-缠绕，则扇形f1最左侧的整数缠绕T1的多边形表示构造完毕后，延长缠绕T1多边形表示的右上边，将其用作下一个整数缠绕多边形表示的一条边.扇形f1中第二个树桩对应的整数缠绕T2按照表1中第二种方式构造，它需要条边，其中，若T2为±2-缠绕，则若T2不为±2-缠绕，则此时缠绕T1，T2组成的新代数缠绕对应的多边形表示所需边数为c(T1+T2)+n′2+1，其中，继续以构造整数缠绕T2的多边形表示的方式添加扇形f1中其他整数缠绕Tm(m=3,…,i)对应的多边形表示，直至扇形f1对应缠绕的多边形表示构造完毕，此时扇形f1对应缠绕的多边形表示P1的边数为其中，且扇形f1对应缠绕的多边形表示的4个出口边均满足与水平方向成40°～50°夹角.

图3给出了某一扇形F与其对应多边形表示的例子.

图3 扇形F与其对应多边形表示

接下来构造扇形f1旁紧挨一个树桩、树枝、其他扇形或更加复杂的部分的多边形表示.

(1)一个树桩紧挨扇形f1

图4给出某个树图G1与其对应多边形表示的例子.

图4 树图G1与其对应多边形表示

(2)一个树枝紧挨扇形f1

图5给出某个树图G2与其对应多边形表示的例子.

图5 树图G2与其对应多边形表示

(3)扇形f1紧挨另一个扇形或更复杂的部分G*

图6给出了一个扇形紧挨另一个扇形的多边形表示的例子.

图6 一个扇形紧挨另一个扇形的多边形表示

注3.1对于某些MAP链环，定理3.1改进了参考文献[7]中定理2的结果.