整体感受“一元一次方程”

王竞进

首先和同学们一起来看两个问题：

问题1 “鸡兔同笼”问题是我国古代一道经典的数学趣题，最初记载在约1500年前的《孙子算经》中。问题是这样描述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这句话的意思是：“若干只鸡、兔在同一个笼子里，从上面数有三十五个头，从下面数有九十四只脚。笼中各有几只鸡和兔？”

问题2 一辆快车和一辆慢车同时从A地出发，沿同一公路向相同方向行驶，快车的行驶速度是70km/h，慢车的行驶速度是60km/h，快车比慢车早1h经过B地，A、B两地间的路程是多少？

对于问题1，大家并不陌生。在小学，我们用假设法进行思考，先假设笼中的鸡、兔都有两只脚，由于“上有三十五头”，所以笼中的鸡、兔的脚应该共有2×35=70（只），而实际上“下有九十四足”，少了94-70=24（只）。究其原因，是因为实际上每只兔少算2只脚，那么笼中兔的只数应该是24÷2=12（只），鸡的只数是35-12=23（只）。

到了初中，我们可以利用方程思想来解决此题。如果笼中兔的个数用x表示，那么笼中有（35-x）只鸡，笼中兔共有4x只脚，鸡共有2（35-x）只脚。根据问题中的相等关系式：笼中鸡脚的个数+兔脚的个数=94，可以建立等式：4x+2（35-x）=94。

对于问题2，我们从问题中的数量关系知道：快车行驶到B地的时间比慢车行驶到B地的时间少1h。对于1km的路程，快车比慢车少用（[160][-170]）h，那么快车比慢车少用1h所对应的路程为1÷（[160][-170]）=420km。我们还可以从问题中的数量关系知道：快车每小时比慢车多走70-60=10（km），快车到达B地时，快车比慢车多走60×1=60（km），那么快车行驶的时间就是60÷10=6（h），A、B两地间的路程用算式表示为：60÷（70-60）×70=420（km）。

如果用方程思想，路程用xkm表示，那么快车从A地到B地所用时间为：[x70]h，慢车从A地到B地所用时间为[x60]h。根据两车所用时间的关系：慢车所用时间-快车所用时间=1，可以建立等式[x60][-x70]=1。

一、从生活实际问题的解决方法中整体感受“为什么学”

从上述两个小学阶段曾经解决过的问题可以看出，用算术方法解应用题是小学阶段数学教材中的重要内容，我们列出的算式只能含有问题中的已知数，而不能含有未知数。如果用本章所学的知识，用字母表示实际问题中的一些数量，再根据问题中的相等关系式，并用含有字母的代数式分别表示相等关系式中的各个量，即可建立相应的等式，如上述问题中的4x+2（35-x）=94、[x60][-x70]=1，这就是方程。

我们從上面的过程可以看出，列方程也是依据问题中的相等关系，但它打破了小学算术方法列式时只能用已知数的限制，方程中可以含有相关的已知数和未知数。因此，一般来说，列方程比列算式有更多的优越性，从算术方法到代数方法是数学的进步。

二、从生活实际问题的解决过程中整体感悟“学什么”

我们在上面的问题中得到两个等式：4x+2（35-x）=94、[x60][-x70]=1，那么，其中的未知数x到底是多少呢？又该如何求得这个未知数呢？实际上，这就是我们本章将要学习的知识：方程、方程的解、解方程、一元一次方程等概念，等式的性质，一元一次方程的解法以及如何用一元一次方程解决生活实际问题等。

三、从寻求生活实际问题的结论中明白“怎么学”

问题1中，所得的等式是4x+2（35-x）=94。我们可以先应用乘法分配律，将等式中的括号去掉，再应用等式的性质，求得未知数x的值，过程如下：

去括号，得4x+70-2x=94；移项，得4x-2x=94-70；合并同类项，得2x=24；化未知数的系数为1，得x=12。

问题2中，所得的等式是[x60][-x70]=1。我们可以先应用等式的性质将等式中的分数转化为整数，再应用乘法分配律、等式的性质，求得未知数x的值，过程如下：

去分母，得7x-6x=420；合并同类项，得x=420。

根据实际问题中的相等关系式，列出了一元一次方程，为了求出该方程中的未知数的值，我们一般会灵活应用等式的性质、乘法分配律，经历去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等过程，把一个一元一次方程逐步转化为形如“x=a”的形式。

（作者单位：江苏省建湖县教育局教研室）