FDTD算法与Matlab仿真在电磁场与电磁波教学中的应用

黎杨，程莉

FDTD算法与Matlab仿真在电磁场与电磁波教学中的应用

黎杨，程莉

（武汉工程大学 电气信息学院，湖北 武汉 430205）

麦克斯韦方程组是电磁场与电磁波课程中最核心的一个知识点，物理量的抽象性、数学运算的复杂程度和预言产生电磁波等这些方程组的性质学生学习起来特别困难．从麦克斯韦方程组的微分形式出发，使用时域有限差分法（FDTD）推演时变电场和时变磁场在Yee胞中的空间和时间维度更新过程，借助于Matlab编程实现，可视化演示了电磁波的产生和传播过程，使学生更深入、更直观地理解“由麦克斯韦方程组预言电磁波的产生”这一重要性质．

电磁场与电磁波；麦克斯韦方程组；时域有限差分法

电磁场与电磁波是电子信息类本科专业学生的一门必修专业基础课．这门课的理论性比较强，要求学生具备扎实的微积分、矩阵分析、矢量场等数学理论基础，继而具备推导、理解复杂公式的能力[1]．麦克斯韦方程组是电磁场与电磁波课程中最核心的知识点，如何让学生通过前期的电场、磁场基本理论积累，理解掌握麦克斯韦方程组的物理意义和数学表达形式，并最终导出电磁波的产生和传播，是贯穿课程教学的核心知识脉络．

考虑到抽象而复杂的麦克斯韦方程组公式，给学生的学习增加了不少困难．在单纯的微积分和矢量运算公式推导的基础上，借助于计算机仿真软件，能够让学生更直观地看到麦克斯韦方程组的解确实产生了电磁波．现有的电磁波可视化教学多是基于Matlab，HFSS等仿真软件平台[2-5]．从学习的角度而言，相比于工程应用的HFSS，Matlab仿真在公式的编程实现、参数的自定义设置、灵活的可视化观察等方面有优势．然而，现有的基于Matlab的电磁波可视化教学，多是直接对麦克斯韦方程组的平面波解进行仿真[3]53，因而编程方面只是一个正弦（或余弦）函数的可视化展现，很难让学生从本质上理解“时变的磁场产生电场”“时变的电场产生磁场”这一电磁波产生的物理过程．

理论公式、数值算法、编程实现这是大多数工科学生在高年级及研究生学习或工程实践中需要熟悉的项目流程．在电磁场与电磁波课程教学过程中，针对麦克斯韦方程组这一核心知识点，引入了理论、算法、实现，再加上结果的可视化观察这一贯序性的教学模式，让学生在理论推导的同时，锻炼了算法设计和编程实现能力，从而使学生更好地掌握麦克斯韦方程组中蕴含的数学和物理知识．

本文从麦克斯韦方程组的微分形式开始，依靠时域有限差分法（FDTD），借助于Matlab软件工具，沿着“公式释义、求解方法、算法原理、数值编程、仿真实现、结果可视化”这一知识脉络，给学生讲解麦克斯韦方程组产生电磁波这一过程，有助于学生深刻理解麦克斯韦方程组的内涵，以及提高数值计算方法和软件编程实现的能力．

1 麦克斯韦方程组

推导出4个麦克斯韦方程后，从4个方面给学生科普，激发学习兴趣[6-7]：（1）从科学历史的角度给学生总结4个方程的演变，让学生感受重要科学成果的艰难历史，激发学生对科学问题的长期探索信心；（2）强调安培定律中麦克斯韦提出的位移电流的重要性，使学生明白站在巨人肩膀上创新的价值；（3）从数学的角度讲授奥利弗·亥维赛通过向量数学对最初20个方程简化为4个方程，让学生感受到数学工具在科学研究中的重要性；（4）从微积分的角度讲授方程组的积分形式、微分形式和时谐形式，让学生学习到能够从不同的方面看待同一个问题．

麦克斯韦方程组的微分形式

从物理意义上理解了每一个方程的本质后，讲解方程组研究的历史时间跨度：麦克斯韦从这4个方程预言了电磁波的存在，虽然在1888年已经由赫兹通过实验证实了电磁波的存在，然而对这4个方程在理论上的电磁波解的研究依然经历了近一个世纪的时间跨度．

然后，给学生讲述麦克斯韦方程组的求解历史[7-8]，这里面包含亥姆霍兹方程、波动方程解、有限元法以及引出一个重要的求解方法：FDTD，激发学生进一步学习求解方法，以及观察方程解的物理现象（即电磁波）的求知欲．

2 电磁波可视化仿真

2.1 时域有限差分法

给学生介绍时域有限差分法的历史和研究背景[8-9]：FDTD是电磁场计算领域的一种常用方法，由美籍香港人K.S.Yee在1966年提出，其模型基础就是最基本的麦克斯韦方程组．随着计算技术，特别是电子计算机技术的发展，FDTD方法在提出后得到了长足的发展，在电磁学、电子学、光学等领域都得到了广泛的应用．

建立Yee胞和麦克斯韦方程组中电场、磁场变量之间的关系（见图1）．

a 三维Yee胞b 二维Yee胞c 一维Yee胞

考虑到本科生初学电磁场与电磁波，课程中仅讲解一维电磁波时域有限差分法．因而课堂的重点放在一维情况下从TEM波的角度重点描述电场和磁场在Yee胞中的位置关系．

2.2 一维电磁波时域有限差分法数值解

讲解一维电磁波时域有限差分法数值解：

2.2.2 稳定差分方程形式 介绍使用差分表示微分方程的思路，并进一步释义稳定差分方程形式：在有限差分方程中，每一项必须在同一时间和空间点

图2 和在一维Yee胞中的时间和空间位置

以Yee胞中的两点为例，写出一维方程的稳定差分形式

2.2.4 更新迭代与算法流程图 由差分方程（2）变形得到迭代更新方程

2.3 Matlab编程仿真实现

FDTD编程实现的流程见图3．

图3 编程实现流程

Matlab主体程序：

%%固定常数及设定参数

c=3e8；%光速m/s

f=1e9；%频率Hz

eps=8.85e-12；%真空介电常数

mu=4*pi*1e-7；%真空磁导率

dt=1/f/100；%时间间隔

dz=c*dt；%距离间隔

Nt=500；%仿真时间

ke=200；%电场源位置

m1=1/mu*dt/dz；%常系数m1

m2=1/eps*dt/dz；%常系数m2

%%迭代更新

for t=1：Nt%时间t序列

for k=1：Nt-1%磁场Hy迭代更新循环

Hy（k）=Hy（k）-m1*（Ex（k+1）-Ex（k））；

end

for k=2：Nt-1%电场Ex迭代更新循环

Ex（k）=Ex（k）-m2*（Hy（k）-Hy（k-1））；

end

Ex（ke）=sin（2*pi*f*t*dt）；%电场源更新

end

2.4 结果可视化演示

图4 电磁波传播可视化演示结果（=200）

2.5 问题思考

对照理论、编程和仿真结果，可提出问题供学生思考解决：

（1）调整部分预设参数和电场源，学生可观察到不同的结果，并解释参数变化与可视化波形变化对应的原理解释．

（3）在完全理解一维FDTD的原理和实现之后，学生可根据兴趣自主进一步学习二维和三维FDTD的原理和实现．

3 结语

本文从麦克斯韦方程组开始，为加深学生对方程物理意义的理解以及麦克斯韦方程组预言产生电磁波这一重要性质，使用FDTD解释并演示这一过程．在学习电磁波一维FDTD算法的过程中，学生同时学习了稳定差分形式、更新迭代等多领域的通用算法，不仅有效地理解了麦克斯韦方程组在空间和时间维度上的物理意义、电磁波产生的可视化观察，也有利于学生在算法和编程知识面的扩展．

[1] 谢处方，饶克谨．电磁场与电磁波[M]．4版．北京：高等教育出版社，2006．

[2] 侯周国，刘湛．“电磁场与电磁波”的可视化教学研究与实践[J]．新教育时代（电子杂志），2016（5）：22-22.

[3] 凌滨，郭也，刘文川．应用MATLAB设计电磁场与电磁波模拟仿真实验[J]．高师理科学刊，2019，39（9）：52-55．

[4] 卫延，郑晶晶．用Matlab实现电磁波的可视化[J]．电气电子教学学报，2020，42（5）：100-104．

[5] 刘兴鹏，严丹丹．理论仿真在电磁场可视化中的应用[J]．信息通信，2019（4）：22-23．

[6] Fleisch D，Lemons D S．A Student′s Guide to Maxwell′ s Equations[M]．New York：Cambridge University Press，2008．

[7] Rautio J C．The Long Road to Maxwell′s Equations[J]．IEEE Spectrum，2014，51（12）：36-56．

[8] 葛德彪，闫玉波．电磁波时域有限差分方法[M]．2版．西安：西安电子科技大学出版社，2005．

[9] Sullivan，Dennis M．Electromagnetic Simulation Using the FDTD Method[M]．Hoboken：IEEE Press，2013．

[10] Allen Taflove，Susan C，Hagness．Computational Electrodynamics，the finite difference time-domain method[M]．Boston：Artech House，1995．Lecture Notes：https://empossible.net/academics/emp5304/．

Application of FDTD algorithm and Matlab visual simulation in the teaching of electromagnetic fields and electromagnetic wave

LI Yang，CHENG Li

（School of Electrical and Information Engineering，Wuhan Institute of Technology，Wuhan 430205，China）

Maxwell′s equations is one of the core knowledge points in the course of the electromagnetic field and electromagnetic waves．The abstract nature of the physical quantity，the complexity of mathematical operations， and the prediction of electromagnetic wave are particularly difficult for students to study．Proceeds from the differential form of Maxwell′s equations，develops the update process in space and time dimensions of time-varying electric and time-varying magnetic fields with the finite-difference time-domain method in Yee cells．Visualizing present the generation and propagation of electromagnetic waves with Matlab，which makes students understand the property the Maxwell′s equations predicts the generation of electromagnetic waves better and more intuitive．

electromagnetic fields and electromagnetic wave；Maxwell′s equations；finite-difference time-domain

1007-9831（2022）11-0086-05

O441∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2022.11.017

2022-05- 23

电子信息类专业教学指导委员会教改项目（2020-YB-34）；湖北省自然科学基金面上项目（2020CFB650）

黎杨（1983-），男，湖北荆州人，讲师，博士，从事微波技术与天线研究．E-mail：liyangwhut@126.com

程莉（1979-），女，陕西安康人，教授，博士，从事电磁场与电磁波研究．E-mail：48128253@qq.com