量子态在两体和k 体下基于min 相对熵的量子关联测度*

李俊青 黄丽 崔世杰 王银珠

(太原科技大学,应用科学学院，太原 030024)

量子关联作为量子力学的奇特资源已经被应用在很多方面,相对熵作为研究量子关联的关键概念之一,总是被用来度量物理系统状态所包含的不确定性.本文在已知min 相对熵的一些基本性质的前提下,分别提出了在两体和k 体分划下基于min 相对熵的关联测度的定义.除此之外,本文证明了该定义满足量子关联测度的一些基本性质,包括非负性、在酉算子操作下保持不变性以及在完全正的保迹线性映射(CPTP)下的单调性.介绍了量子信道的概念,并且讨论了量子信道对k 体分划下基于min 相对熵的关联测度的影响.通过提出新的关联测度以及证明量子信道对该测度的影响,能够更好刻画物理系统状态所包含的不确定性.

1 引 言

量子关联[1−8]作为量子计算和量子信息中一种非常重要的物理资源,通过对量子关联的研究,能更清楚地刻画蕴含在量子态之间的非经典关联特性,以及复合量子系统各子系统之间的关联程度.量子纠缠作为量子关联中的重要组成部分,首先,关于量子纠缠态的判别问题已经提出了许多有用的纠缠判据: 约化判据[9]、重排判据[10]、控制判据[11]、纠缠Witness 判据[12]等;其次,在刻画量子态之间的纠缠程度方面,提出了许多纠缠测度: 形成纠缠测度[13]、concurrence 纠缠测度[14]、相对熵纠缠测度[15]等.但量子关联远不止纠缠,为了更好地刻画量子态之间的关联程度,已经提出了许多定义良好的关联测度,如累积关联测度[16],量子失协关联测度[17],基于Tsallis 熵的量子关联测度[18]等.相对熵作为研究量子关联非常重要的一个物理量,目前,人们提出了越来越多的基于相对熵的关联测度,以便更清楚地刻画蕴含在量子态之间的关联特性以及刻画复合量子系统各子系统之间的关联程度.

在2008 年,Datta[19]提出了min 相对熵的定义,其定义如下:

目前提出的量子关联测度比较少,因此,提出一个新的两体复合量子系统下的关联测度以及将关联测度由两体推到k 体分划下是非常有意义的.本文主要考虑在两体复合系统和k 体分划下,分别给出基于min 相对熵的两体和k 体分划下关联测度的定义,并且证明了其满足量子关联测度的一些必要性质.近几年,虽然量子信道的应用越来越广泛,但是并没有将量子信道与量子关联测度联系起来,本文将量子信道与量子关联测度联系起来,进而给出了量子信道对k 体分划下的关联测度Ek(ρ‖σ)的影响.

2 基于两体和k 体分划下基于min相对熵的关联测度

给出两体和k 体分划下关联测度的定义之前,首先提出一些基本定义.

定义2.1(完全乘积态定义)设H=H1⊗H2⊗···⊗Hm,d imHi ＜+∞,S(H) 表 示H上 全体密度算子组成的集合,ρ∈S(H),如果:

证明由引理2.8 可得定理2.9 显然成立.

定理2.5,2.7,2.9 分别证明了两体下基于min 相对熵的量子关联测度满足酉不变性、非负性、在完全正的保迹映射下的单调性,接下来给出在k 体分划下基于min 相对熵的量子关联测度的定义,并且证明这个关联测度满足酉不变性、非负性、在完全正的保迹映射下的单调性.

证明由引理2.8 可得定理2.13 显然成立.

第2 节定义了两体和k 体分划下基于min 相对熵的关联测度,并且证明了其满足了一些关联测度必要的性质.该关联测度的提出涉及了投影算子,从这一想法出发,不禁让人联想到其他物理概念能否也通过投影来定义关联测度,进而将其归为一类.除min 相对熵外,量子Fisher 信息同样满足非负性、酉不变性、在完全正的保迹操作下的单调性等性质,量子Fisher信息[21]可以表示为F=将其基于量子Fisher信息的关联测度定义 为E(ρ)=min{ΠΩ}(Tr(ΠρL2)−Tr(ρL2)) ,ΠΩ表示对应Ω系统上的正交投影组成的完备的投影测量集,可知投影测量增加熵.这样定义的关联测度不仅仅满足非负性、酉不变性、在完全正的保迹操作下的单调性等性质,也满足关联测度等于零当且仅当ρ为经典态.通过该发现,可认为本文通过投影来定义的关联测度,实际可以作为一类关联测度的定义方式,这一发现有助于提出更多关联测度.这些关联测度的提出都是刻画蕴含在量子态之间的非经典关联特性,以及复合量子系统各子系统之间的关联程度.

3 量子信道对 E k(ρ‖σ) 的影响

证明由定理3.3 和定理3.4,定理3.5 显然成立.

4 结 论

本文分别定义了两体和k 体分划下基于min相对熵的关联测度的定义,并且证明了其满足量子关联测度的一些基本性质,包括非负性、酉不变性、在完全正的保迹操作下的单调性,说明了量子关联测度定义良好.与已经提出的关联测度相比较,本文提出并且证明了在k 体分划下该关联测度也是定义良好的,并且本文给出了量子信道对Ek(ρ‖σ)的影响,对给出的性质加以证明,从而将量子信道应用在了关联测度上.