从解决问题到提出问题
——以一轮复习微专题“三角形中的范围(最值)问题”为例*

刘 炜 (江苏省苏州中学 215007)

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》明确了数学课程的“四能”：从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.近年来，提出问题成为国内外学者关注与研究的教育主题.事实上，心理学研究早就肯定了提出问题的能力是创造力的一种表现，国内学者也早已用问题提出测量学生的思维品质，并利用自编应用题来培养小学生的创造力[1]．同时，提出问题的过程与形式是开放的，不同程度的学生都可以参与其中，挖掘他们更大的学习潜力，从而比解决问题给学生提供了更多学习机会[2].事实上，要培养学生提出问题的能力，教师要成为好的提出问题者，并能将提出问题与教学活动整合，才能将数学教学活动从解决问题走向提出问题.

2020年，笔者应江苏省东台中学邀请，开设了一轮复习微专题“三角形中的最值与范围问题”，对提出问题开展了初步教学实践，形成了有益的经验，即从问题出发类比推理，从模型出发构建情境[3]，以期实现培育提出问题的能力.时隔两年，笔者再次受邀开设同题的公开课，促成了自我的“同题异构”，进一步落实提出问题的理念，以期更好地培育学生的“四能”.

1 教学实践

1.1 多角度解决问题

教师布置“课前作业”，以波利亚在1945年所著的《怎样解题》(HowtoSolveIt)一书中提出解决问题的四个步骤为蓝本，给学生制定了解决问题的指导语与解题表(表1).

表1 解决问题的指导语与解题表

教师在课前收集并整理学生的完成情况，分别展示几种典型的解决问题的方案，并比较“形异质同”的多个方案，与学生共同提炼解决三角形中相关问题的“通性通法”，即模式.

图1

师：点A的轨迹是圆吗？

生：不是，去掉P，Q两点.

师：是去掉两点的一段圆弧吗？

生：是，(停顿)那不是，应该是两段对称的圆弧.

师：的确，在“轨迹”的相关问题上，要注意纯粹性与完备性.

师：在代数推理过程中，方法2与方法3有什么区别？

生：方法2适用求最值，方法3适用求范围.

师：总结得相当好，那么有什么共性呢？

生：都是用了边和角的关系.

师：更加准确地来说，建立边和角的等量关系，选择合适的工具得到范围或最值.

设计意图问题1是经典的解三角形问题，可以根据几何直观，也可以用代数推理，即使用角元变量、边元变量，而后选择三角函数、基本不等式加以处理.对于这类问题，学生是熟悉的，但是问题的深入分析与反思则是学生比较薄弱的,因此解决问题的教学分两步走：在课前，用表格形式指导学生将分析问题的过程形成文字，既达成引导学生对感性判断作理性思考，同时也指明了分析问题的常规思路；在课上，通过不同方法的比较，展现学生解题过程，从而梳理三角形中常规的研究方法，帮助学生从解题经验中找到解决问题的一般观念，最终找到认识、表达、解决一类数学问题的程式化了的方法[4].

1.2 多角度提出问题

师：三角形中，除了六个基本量(三边三角)外，还有什么刻画三角形的相关要素呢？

生：面积、周长.

师：通常情况下还有外接圆半径、内切圆半径，把它们称为四个辅助量.在三角形中还有一些特殊线段，比如说？

生：中线，角平分线.

师：把高线、中线和角平分线称为三个相关量.问题1中问面积的取值范围，那还可以提什么问题？

生：周长、高线、中线、角平分线.

讨论发现，高线与面积有关，周长与面积相似，都可以预期结果．在中线与角平分线中，学生选择了中线，类比提出如下问题：

问题2已知∠A为定角，P，Q分别在∠A的两边上，PQ为定长.当P，Q处于什么位置时，△APQ的中线AB最长?

师：这个问题对吗？(学生沉默、疑惑)如果要研究中线，应该选什么作为基本变量？用什么建立等量关系？

师：现在能判断是最大值还是最小值吗？

生：当A为锐角时，AB有最大值；当A为直角时，AB为定值；当A为钝角时，AB有最小值.

师：很好!这里需要根据符号确定最值，也就是进行适当的讨论.类比提出的问题不一定就是准确的，大家可以课后研究一下如下提法是否妥当：

思考已知∠A为定角，P，Q分别在∠A的两边上，PQ为定长.当P，Q处于什么位置时，△APQ的角平分线AB最长?

设计意图类比是数学推理之一，即观察到两个或两类事物在许多属性上都相同，便推出它们在其他属性上也相同.类比是一种合情推理，也是一种形象思维，不能保证所做的推理科学正确，但是可以开拓学生的学术视野与创造能力，同时还可以帮助学生形成求真意识和思辨精神，这是数学“立德树人”的重要内容.在本环节中，笔者不仅让学生提出问题，还让学生辨析问题的提法是否准确，并给学生留有课后思考的问题，让他们再次对类比所提问题加以辨析并解决，渐渐让学生从解决问题走向提出问题，并对问题的准确性加以辨别，让学生从感性走向理性.

师：刚才通过类比提出了一些问题，还可以提什么问题？(学生沉默)命题中有条件与结论的区别，它们可以适当调换，由此启发，可以提什么问题？

生：给定面积，研究角或边长的范围和最值问题.

师：的确可以提出这样的问题，如果面积为定值，边PQ为定值，那么点A在平行于PQ的直线上运动，对于角的刻画是容易处理的.再一起来看另一个问题：

问题3在△APQ中，∠A为定角，△APQ的面积为定值，求PQ的取值范围.

师：基于前面解决问题的经验，该如何处理呢？

生：寻找等量关系，然后求目标的最值，计算一遍就可以.

师：是否可以借用前面的结论去处理呢？

师：这类问题可以称为原问题的逆问题，其处理的基本思路就是按照原本方向进行.借助图形直观，不难发现三角形可以变得极其细长，那加什么限制条件可限定图形的变化？

生：锐角三角形，或者钝角三角形.

变式 已知△APQ是锐角三角形，∠A为定角，△APQ的面积为定值，求PQ的取值范围.

师：能否还延续上述做法？用什么来刻画锐角三角形比较方便？

生：选择角为变量.

设计意图在《什么是数学》中曾提出一对问题：在三角形中，给定面积和某边长求周长的最小值；给定周长和某边长求面积的最大值[5].就是交换了条件与结论中的对象，相对形成了原问题与逆问题.对于已有问题来说，就可以将目标作为条件，将某个条件作为目标，调换一个推理方向来提出新问题.如此，不仅可以提出更多、更新鲜的问题，而且可以让学生认识到研究对象的整体性，有助于从更高的层面来审视情境与问题.

师：既然可以交换目标与条件提出新的问题，那么是否也可以改变条件而提出新的问题呢？我们来审视问题1中的两个条件∠A为定角，PQ为定长.“PQ为定长”是对边的一种限定刻画，那还有什么方式可以刻画呢？

生：倾斜程度确定.

师：这样的三角形都是相似的，该问题比较平凡，还可以如何？

生：过某点.

师：这个提议很有意思，由此可以提炼出如下问题——

问题4已知∠A为定角，P，Q分别在∠A的两边上，PQ过点M，其中点M在∠A内且到AP，AQ的距离分别为d1，d2(d1，d2>0)，当P，Q处于什么位置时，△APQ的面积最小？

师：这里用到距离，考虑看看应该用什么建立等式呢？(生答面积)很好，大家课后尝试下.问题4是改变其中一个条件，另一个也可以改吗？点A在圆弧上运动，如果让你改，可以在什么上呢？

生：点A在某条直线上.

师：“∠A为定角”是对定点所在位置的一种限定刻画.类似地，可以说点A在直线上，或者在其他曲线上，最简单可以提出如下情境：

师：可以研究什么对象？

生：面积.

师：几何直观可以看到范围.

生：周长.

师：跟面积一样，不过如果直线不是垂直的，就是将军饮马问题.

生：∠PAQ.

师：这个提议很好，这类张角问题是典型的米勒问题.由于时间关系，具体细节有劳大家完成.当然，斜线甚至是曲线，同学们都可以尝试.回顾本节课的历程，从解决问题常见三类切入点到提出问题常用三种着力点，进一步理解三角形中各种量之间的关系，做到解决范围与最值问题.

设计意图在同一情境下，类比提出不同的研究目标，那么替换条件从一定意义上来说也是类比.这种类比造成了情境的改换，达到焕然一新的状态.由于情境的改换，问题就从原有的模式变成新鲜的，从而解决问题的方法和策略都需作出相应调整，才能真正解决新的问题.由于课堂时间有限，本环节只安排了提出问题，并没有解决问题，一方面教师引导学生去体验如何提出问题，另一方面也延伸了课堂的空间与时间，留下充分的思考余地.

2 教后反思

问题是数学的心脏，解决问题是学习数学主要的形式，提出问题是理解数学的重要方式.如何才能够更多更好地提出问题呢？笔者认为，可以从以下三种路径来学习提出问题(图2).

图2 提出问题的三种路径示意图

2.1 用类比思想，更换目标提出问题

在同一数学情境下，对于研究目标，可以通过类比提出相仿的问题.如在本案例中，面积(目标0)类比可以得到周长(目标1)，其本质是sinA+ sinP+sinQ，继续类比可得cosA+cosP+ cosQ(目标2)，当然也可以直接从目标0再次类比到高线，继而类比到中线、角平分线等.一次类比可以提出一些问题，二次类比可以提出更多问题……问题可以成“指数式”增多，但注意到类比是一种合情推理，还需要通过理性分析来判断问题的准确性.

2.2 逆推理顺序，交换对象提出问题

在同一数学情境下，所研究问题的条件与结论都是对该情境中部分量的刻画，所谓逻辑上的正向与逆向，只不过是把其中一部分作为已知，再把另外一部分作为未知而已，由此可以通过交换它们提出新的问题.在本案例中，在面积(目标0)确定时，可以去研究边PQ(条件1)或∠A(条件2)的变化，解决问题的方法并没有发生太大的变化，进而可以理解这类数学情境的本质.随着对目标类比提问的增多，可以用目标1、目标2等去交换条件1或条件2等，如此叠加，可以提出更多有益的问题.

2.3 析数学本质，替换条件提出问题

前两种提问的路径中，所研究的数学情境是不变的，如果让原始问题中某些条件进行重新限定，就可以产生新的数学情境.在本案例中，∠A为定值(条件2)刻画了点A在圆弧上运动，可以替换成点A在直线上运动(条件2′)，从而提出了问题5.类似地，此条件还可以有其他的限定，其他条件亦可作相应替换，又一次可以利用前两种路径继续提出问题，由此提出问题的数量可是成“幂集式”增长.

以上给出了三种提出问题的基本路径，教师的示范是重要的，但还要通过教师的语言精确地引导学生主动提出问题，践行主动学习的原则[6].只有让学生经历了提出问题的过程，他们才会真正体会到提出问题的路径，最终学会主动提出问题，提升提出问题的能力.

波利亚曾经呼吁：让我们教猜想吧！笔者也号召所有同仁：让我们教提问吧！