考虑污染和种内关系的种群扩散最优控制模型

杨 露, 高 伟

(西安财经大学 统计学院,陕西 西安 710100)

0 引言

随着科技进步和人类文明的发展，全球性环境污染和生态破坏问题日益凸显，这也加速了瘟疫的爆发和流行。细菌是产生瘟疫的主流病原体。从中世纪造成欧洲人口大量削减的鼠疫，到21世纪的生物恐怖袭击武器—炭疽，以及至今仍在非洲各国爆发的霍乱等[1]，细菌导致的严重传染病已经严重危害人类生存和发展。环境是细菌种群赖以生存和发展的基础，因环境污染而释放的毒素也对细菌种群的生存和发展产生了巨大的影响[2,3]。

种群扩散是种群动态的一个重要方面，而个体间相互作用是制约种群扩散变化的主要因素之一[4]。在种群生态学中，种群内不同个体间的相互作用称为种内关系，具体包括种内互助和种内竞争。当种群个体达到一定数目时，就必定会出现邻近个体之间的相互作用和影响。开展种群研究最为核心的问题就是种群数量研究，种群数量是生物繁殖与进化的基本指标[5]。因此，基于环境污染和种内关系研究细菌种群扩散及其最优控制问题具有重要的理论和实际意义。

利用微分方程模型定性研究环境污染对生物种群的影响始于20世纪80年代。Srinvasu[6]研究环境中毒素是常数输入的单种群模型，给出种群平均弱持久、强持久和灭绝的定义。Liu等[7]将Hallam所建模型中表示环境毒素浓度变化量进行简化，给出种群灭绝条件。燕雪飞等[8]研究污染环境中单种群内禀增长率为非线性函数的模型，得到种群持续生存与灭绝的判别条件。

近年来，考虑环境污染的种群扩散最优控制问题也越来越受到学者的关注。何泽荣等[9]研究了一类包含全局反馈的偏泛函积分微分方程尺度结构种群模型，并得到最优策略的存在唯一性。贠晓菊等[10]研究污染环境中非线性时变种群扩散系统的最优控制问题，并证明最优控制存在性。申柳肖等[11]研究基于个体尺度结构的竞争种群系统最优输入率控制问题，并获得了最优控制的存在唯一性。王战平[12]研究环境污染的非线性种群动力系统的最优控制问题，证明最优控制的存在性。雒志学等[13]研究了一类具有扩散的种群线性动力系统的最优控制问题，证明了最优控制问题解的存在性。

由现有成果可知，基于环境污染视角，借助偏微分方程作为研究工具探索生物种群扩散及最优控制问题的文献颇多。但是这些文献大都采用低阶偏微分方程，宏观地分析环境污染对种群扩散的制约。而在现实中，生物种群个体间相互作用广泛存在，种群生存扩散往往受到个体间相互作用(种内关系)的影响。目前考虑环境污染和种内关系双重影响下种群扩散系统最优控制的研究相对缺乏，考虑种内关系有利于从微观角度深入研究种内调节作用[14]。杨露等[15]率先研究了基于高阶偏微分方程的污染扩散模型的适定性。本文在此基础上，兼具环境污染和种内关系两大制约因素，研究生物种群扩散系统的最优控制。首先利用Schauder不动点定理证明基于环境污染和种内关系双重因素影响下种群扩散系统是适定的，这一结论为后续研究提供了坚实的理论保障。其次，在最优控制模型求解中，解决能控性问题最有效的方法是Carleman型估计。若考虑种内关系这一因素，种群扩散系统最优控制问题将包含高阶(三阶)偏导数项，其对应的Carleman型估计目前鲜有证明。本文通过建立该种群扩散模型新的Carleman型估计，最终给出最优控制的存在性，进一步丰富了偏微分方程控制理论的框架体系。最后，通过数值算例验证了种群扩散系统最优控制模型的有效性。

本文主要贡献有：第一，将种内关系这一因素引入种群扩散最优控制模型，使模型更加贴近种群扩散演变规律，有助于从微观角度深入研究种内调节作用；第二，建立种群扩散最优控制模型的新Carleman型估计，这是证明最优控制存在性的充分条件；第三，本文研究表明，种群扩散最优控制模型用于模拟双重影响下细菌种群扩散行为时存在最优控制，即可以找到外界环境对种群的毒素输入率，该毒素输入率使得种群在最短时间内灭亡。本文通过考虑环境污染和种内关系影响，更加客观地反映出细菌种群的现实扩散及发展趋势，对现代传染病预防具有借鉴意义，也为有效控制瘟疫的爆发和流行提供理论参考。

1 种群扩散最优控制问题描述与基本模型构建

细菌是产生瘟疫的主流病原体，因此研究细菌种群扩散也随之成为管理生态学领域中的热点问题。污染和种内关系是影响种群生存和发展的两个重要因素。因此，基于污染环境和种内关系研究细菌种群扩散及其最优控制问题十分重要，并吸引不少学者从事这方面的研究[16～18]。本文提出污染(外界向种群生活环境输入毒素)和种内关系双重影响下的种群扩散系统(下文简记为NPC系统)

NPC系统源于种群动力学，描述在区域Ω内某一种群的扩散行为，如细菌[16]。本文运用NPC系统研究在考虑种内关系影响下，外界环境向种群输入毒素率与种群扩散行为之间的关系。在上述NPC系统中，y(x,t)表示生存在区域Ω内的种群密度，算子-Δ用于衡量区域Ω内种群迁移情况，即种群个体由高密度区域向低密度区域移动的迁移速率。高阶偏导数项Δyt(x,t)表示种内关系状况。在种群生态学中，种内互助和种内竞争是种内关系的两种表现形式[5]。非局部项F(ξ(y(x,t)))表示种群的平均死亡率，根据种群生态学理论，假设死亡率与种群密度成比例[16]，本文假设函数F满足

F∈C1(R),0≤F(s)≤M,∀s∈R

(1)

因种群是动态发展变化的，故NPC系统中引入表征种群死亡率的非线性项，更贴近种群真实生存状态。

环境质量对种群的生存扩散影响巨大，因此研究环境污染对生物种群的作用关系着生态平衡和发展。在NPC系统中，u(x,t)为控制变量，表示外界环境向种群输入的毒素率。而在实际的种群扩散系统中，因不同位置其地理环境特征可能有很大差异，导致环境对种群输入的毒素率也不同，所以m(x)用于描述种群在其生活区域Ω内，不同位置x∈Ω对应的特有地理环境特征。

令U=L2(0,∞;L2(Ω))为控制变量u(x,t)所属度量空间，假设控制变量u(x,t)属于集合

本文目标是寻求控制函数u∈Uρ，使得种群密度在最短时间下降为零(该种群在最短时间内灭绝)，即研究如下的时间最优控制问题

(P)inf{T|yu(T)=0,u∈Uρ,yu是如下NPC系统的解}

(2)

(3)

其中T>0为控制时间。若NPC系统的解y满足y(T)=0，则称u∈Uρ是容许控制。下确界T*=inf{T|yu(T)=0,u∈Uρ,yu是如下NPC系统的解}称为最优控制时间。满足yu*(T*)=0的u*∈Uρ称为最优控制变量。

2 种群扩散最优控制模型的适定性

在研究时间最优控制问题(P)之前，首先考虑NPC系统的适定性，即对任意T>0，NPC系统的解存在且唯一。模型适定性是研究实际自然现象可抽象为数学模型的理论保证。

证明运用文献[16]的证明思想和Schauder不动点定理可得NPC系统解的存在唯一性。

定理1说明基于环境污染和种内关系双重影响的 NPC系统模型是适定的。

3 种群扩散最优控制模型的容许控制

最优控制的存在性需以容许控制存在性为前提。这部分将首先给出当控制变量u属于有界集Uρ时，NPC系统的精确零能控性。在探索NPC系统的容许控制是否存在时，Carleman型估计发挥着至关重要的作用。因NPC系统包含高阶偏导数项Δyt(x,t)，得到NPC系统的Carleman型估计是一个难点。

3.1 Carleman型估计

近年来，学者们利用Carleman型估计处理最优控制问题的近似能控和精确零能控性已取得许多成果[19～23]。然而，伪抛物型方程最优控制系统鲜有研究，其对应的Carleman型估计也未给出。令

其中ψ由文献[16,18]给出。

下面运用文献[16]得到NPC系统的Carleman型估计。

引理1(Carleman型估计) 存在常数λ0≥1,s0≥1使得对λ≥λ0,s≥s0(T+T2)，有

其中p是非线性拟抛物方程初边值问题

的任意解。Qω=ω×(0,T)，是不依赖T,p,λ和s的正常数。

引理1得到NPC系统的Carleman型估计是容许控制存在性的先决条件，也是本文主要贡献之一，进一步丰富了偏微分方程控制理论的框架体系。

3.2 容许控制的存在性

(4)

接下来运用文献[16]中定理3.1的证明思想得到NPC系统的精确零能控性。

引理2说明线性系统(4)是精确零能控，并得到相关控制变量的范数估计。

下面证明NPC系统容许控制的存在性，这是最优控制存在性的充分条件。

定理2说明NPC系统用于模拟环境污染和种内关系双重影响下种群的扩散行为是存在容许控制的，即对于任意时刻T，当种群初始密度满足一个关于T的关系式时，可以找出外界环境对种群的毒素输入率，使得在时刻t=T时该种群密度为0，表明在时刻t=T该种群消亡。

(5)

推论1在定理 2的基础上取T=1即可得。

4 种群扩散系统最优控制的存在性

本部分证明问题(P)的最优控制是存在的。

定理3说明NPC模型用于模拟在环境污染和种内关系双重影响下种群的扩散行为是存在最优控制的，即当种群初始密度满足一定条件时，可以找到一个外界环境对种群的毒素输入率，使得在时刻t=T时该种群密度为0，表明该种群消亡，并且该毒素输入率使得种群在最短时间内灭亡。

综合上述结果，在时空区域内，种群扩散最优控制模型的最优灭亡时间T*计算步骤如下:

步骤4计算最优灭亡时间T*=minT。

5 数值算例分析

本文采用数值计算方法对考虑污染和种内关系的种群扩散最优控制模型进行仿真，验证种群扩散最优控制模型的有效性，进一步定量分析污染源向种群中输入的毒素率及种群初始密度对种群灭亡时间的影响。我们考虑不同的种群初始密度y0及污染源向种群中输入的毒素率u影响种群灭亡时间的情形。数值仿真参数选取如下：c=c0=1，t=10，生存区域测度|Ω|=1。取u=(0.05,0.10,0.15,0.20,0.25,0.30)，y0=(0.010,0.015,0.020,0.025,0.030)和y0=(0.10,0.15,0.20,0.25,0.30)分别刻画种群最优灭亡时间。

综上所述，基于NPC系统和控制问题(P)的种群灭亡时间计算步骤如下:

步骤3计算最优灭亡时间T*=minT，所得结果见图1～图6。

图1 y0及u与T的关系(当u≥0.316时)

图2 y0与T的关系( u≥0.316且固定)

图3 u与T的关系(u≥0.316，固定y0 )

图4 y0及u与T的关系(当u<0.316时)

图5 y0与T的关系( u<0.316且固定)

图6 u与T的关系( u<0.316，固定y0 )

图1、图2和图3揭示了当污染源向种群输入毒素率u大于等于0.316 时，种群初始密度y0和毒素率u与种群灭亡时间T之间的关系。图4、图5和图6揭示了当污染源向种群输入的毒素率u小于0.316时，种群初始密度y0和毒素率u与种群灭亡时间之间T的关系。

从图1及图2可以看出，当污染源向种群输入的毒素率u大于等于0.316时，随着种群初始密度y0增大，种群灭亡时间T先急速下降后缓慢上升，即当y0处于零至0.332之间时，种群初始密度y0越小，种群灭亡时间T越长；当y0大于0.332时，种群初始密度y0越大，种群灭亡时间T越长。从图1及图3可以看出，在固定种群初始密度y0的情况下，当污染源向种群输入的毒素率u大于等于0.316时，种群灭亡时间T保持不变，即不会随毒素输入率u的变化而变化。此时，对于具有相同初始密度的种群来说，污染源向种群输入的毒素率u对应的最优灭亡时间T*均相同。从图3可以看出，初始密度为0.10的种群，污染源向种群输入毒素率对应的最优灭亡时间T*是1.592；初始密度为0.20的种群，污染源向种群输入毒素率对应的T*是1.404；初始密度为0.30的种群，污染源向种群输入毒素率对应的T*是1.323。

从图4及图5可以看出，在污染源向种群输入毒素率u小于0.316的情况下，种群初始密度y0越大，种群灭亡时间T越短。种群初始密度y0越小，种群灭亡时间越长。从图4及图6可以看出，在固定种群初始密度y0的情况下，当污染源向种群输入的毒素率u小于0.316 时，种群灭亡时间T随毒素输入率的增加而变长，即污染源向种群输入的毒素率越大，种群灭亡时间T越长，污染源向种群输入的毒素率越小，种群灭亡时间T越短。此时，对于具有相同初始密度的种群来说，污染源向种群输入的毒素率对应的最优灭亡时间T*均存在。图6 显示，初始密度为0.010的种群，污染源向种群输入毒素率对应的最优灭亡时间T*是1.592；初始密度为0.020的种群，污染源向种群输入毒素率对应的T*是1.404；初始密度为0.030的种群，污染源向种群输入毒素率对应的T*是1.322。

结合管理生态学发展规律，该算例都可得到合理的解释。由该数值算例可知，种群初始密度和污染源向种群输入的毒素率都会影响种群灭亡时间T，而且这些算例均可找到种群最优灭亡时间T*以及对应的种群输入的毒素率u，即找到一对时间最优控制，验证了种群扩散最优控制模型的有效性。

6 结论与展望

扩散研究是管理生态学领域的热点问题，研究种群扩散具有十分重要的理论和实践意义。本文基于污染和个体间相互作用(种内关系)视角，研究了种群扩散系统的最优控制问题，通过设计毒素输入率控制，使得种群在最短时间内灭亡。首先，本文给出了种群扩散系统最优控制模型是适定的，这为模型的应用和数值模拟提供了理论保证。其次，证明了种群扩散系统存在容许控制，即对于任意时刻，当种群初始密度满足一定条件时，可以得到外界环境对种群的毒素输入率，使种群在该时刻灭亡。最后，证明种群扩散系统存在最优控制，即当种群初始密度满足一定条件时，可以得到外界环境对种群的毒素输入率，并且该毒素输入率使得种群在最短时间内灭亡，即得到了一对时间最优控制。通过数值仿真方法研究了不同的种群初始密度及污染源向种群中输入的毒素率对种群灭亡时间的影响，得到种群最优灭亡时间，找到一对时间最优控制。数值仿真结果验证了种群扩散最优控制模型的有效性，该模型揭示了复杂的种群系统生存机制，从定量角度研究了受到外界污染和种内关系作用的种群生存时间的最优控制问题。本文所得结论为探索污染和种内关系双重影响下细菌种群生存扩散理论提供理论参考和借鉴。

本文研究了基于污染和种内关系影响的单一种群扩散最优控制模型，然而大部分种群生存环境并不是封闭的，任何细菌种群都处在某一群落里而与别的种群发生着一定的联系。在建模过程中，考虑的影响因素越多，所得结果往往更接近于种群真实生存状态。所以通过考虑两种群、三种群或多种群相互作用，研究环境污染、个体间相互作用(种内关系)、种间关联影响下的种群扩散系统最优控制问题，并在更普适条件下提出最优控制求解方案是未来的研究方向。