立体几何中探究性问题的归纳与解法探究

■陕西省礼泉第一中学 姜书静

高考中对立体几何的考查主要以空间位置关系的判断,空间角与距离的计算为主,而探究性问题是高考命题的热点,也是难点,常在解答题的最后一问中出现。本文就立体几何中的探索性问题进行类型归纳和解法梳理,以期对同学们的复习备考提供帮助。

题型一、平行关系中的探索性问题

例1如图1,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,在四边形ABCD中,AB⊥AD,BC∥AD,PA=AB=BC=2,AD=4。

图1

(1)求 证:CD⊥平 面PAC。

(2)在棱PC上是否存在点M(不包括端点),使得BM∥平面PAD? 若存在,求的值;若不存在,说明理由。

解析:(1)因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD。在直角梯形ABCD中,AC=CD=,所以AC2+CD2=AD2,即AC⊥CD。又因为PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以CD⊥平面PAC。

(2)不存在点M,使得BM∥平面PAD。

法一:(反证法)假设在棱PC上存在点M异于点C,P,使得BM∥平面PAD。因为BC∥AD,且BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD。又因为BC∩BM=B,所以平面PBC∥平面PAD。而平面PBC与平面PAD相交,所以假设不成立,故不存在点M,使得BM∥平面PAD。

图2

方法点睛:对于探索性问题,应先假设其存在,然后在这个假设下进行推理论证,如果通过推理论证得到了合乎情理的结论,就肯定假设;如果得到矛盾,就否定假设。还可借助向量,引进参数,综合已知和结论列出等式或不等式,解出参数的值或者范围,看所得范围或值是否在题意允许的范围之内,进而给出判断结果。

例2如图3,已知正四棱锥S-ABCD的各条棱长都相等,且E,F分别是SD,SB的中点。

图3

(1)求证:AC⊥SB。

(2)在棱SC上是否存在点M,使得平面MBD∥平面AEF? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。

解析:(1)如图4,设AC∩BD=O,则O为底面正方形ABCD的中心,连接SO,因为S-ABCD为正四棱锥,所以SO⊥平面ABCD,所以SO⊥AC。又BD⊥AC,且SO∩BD=O,所以AC⊥平面SBD。因为SB⊂平面SBD,所以AC⊥SB。

图4

(2)方法一:存在点M,设SO∩EF=G,连接AG,CG。取CG的中点H,连接OH并延长交SC于点M,因为O是AC的中点,所以OH∥AG,即OM∥AG。又EF∥BD,OM,BD⊄平面AEF,AG,EF⊂平面AEF,所以OM∥平面AEF,BD∥平面AEF。又OM∩BD=O,OM,BD⊂平面MBD,所以平面MBD∥平面AEF。在△SOC中,作GN∥HM交SC于N,则N是SM的中点,M是CN的中点,所以=2。

图5

方法点睛:(1)异面直线的垂直,应转化为线面垂直进行证明;(2)任何一对互相平行的平面,和第三个平面相交,则交线互相平行;(3)利用空间向量法,证明两个平面平行,只需要论证两个平面的法向量相同,在便于建立坐标系的情况下,应作为解题的首选方法,从而淡化推理,只需落实运算即可。

题型二、垂直关系中的探索性问题

例3如图6,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC的边长为2,侧棱AA1=,D是AC的中点。

图6

(1)求 证:B1C∥平 面A1BD。

(2)在侧棱AA1上是否存在一点E,使得平面B1C1E⊥平面A1BD? 若存在,求出AE的长;若不存在,请说明理由。

解析:(1)连接AB1,交A1B于点M,连接MD。因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,所以四边形BAA1B1是矩形,所以M为AB1的中点。因为D是AC的中点,所以CB1∥DM。又DM⊂平面A1BD,B1C⊄平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD。

图7

方法点睛:(1)空间位置关系的证明,一般采取逆推的形式,本题中若B1C∥平面A1BD,则由线面平行性质定理可知,经过B1C的平面B1CA与平面A1BD的交线DM与B1C平行,因此只需证明DM与B1C平行,这类似于分析法的执果索因;(2)对于面面垂直的探索类问题,可以建系利用两个平面的法向量的数量积为0,完成探究。

例4如图8,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面PAD是等腰直角三角形,平面PAD⊥平面

图8

ABCD,AD=2,AB=AP=,M为棱PC上的动点。

(1)当点M到直线BD的距离最小时,求的值;

(2)在(1)的条件下,过A,D,M作截面交PB于点N,求四棱锥P-ADMN的体积。

图9

图10

方法点睛:(1)面面垂直的性质定理说明了垂线一定在垂面内,这是解决垂直的一个核心;(2)点M在棱PC上的位置是由点M到直线BD的距离最小确定的,这里隐藏了一个垂直探究,即BD⊥平面POC,也是确定点M的关键;(3)对于体积的求解,我们要有转化的思想,这也是立体几何解答题中体积求解问题的一个核心思想。

题型三、空间角中的探索性问题

例5如图11,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,其中AD∥BC,AD=3,AB=BC=2,PA⊥平面ABCD,且PA=3,点M在棱PD上,N为BC的中点。

图11

(1)求二面角C-PD-N的正弦值。

(2)在棱PD上是否存在点M,使得NM与平面PCD所成角的正弦值为若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。

图12

例6如图13,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1=2,BC⊥BA1。

图13

(1)求证:BC⊥AB。

(2)若E为A1B的中点,三棱锥A-CEA1的体积为,试问:在线段CE上是否存在点P,使得二面角P-ABE的大小为30°? 若存在,求的值;若不存在,请说明理由。

解析:(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1为直棱柱,所以BB1⊥平面ABC,所以BB1⊥BC。又因为BC⊥BA1,BB1∩BA1=B,BB1⊂平面ABB1A1,BA1⊂平面ABB1A1。所以BC⊥平面ABB1A1。因为AB⊂平面ABB1A1,所以BC⊥AB。

图14

方法点睛:(1)要熟知综合法中利用线垂直于面来证明线线垂直这一重要方法;(2)利用好共线向量性质定理中的λ,完成以动点在线上移动这一类背景命题的探究性问题。