问题驱动，向数学更深处漫溯
——以“圆的认识”教学为例

安徽合肥市望湖小学（230000） 汪若梅

“问题驱动”“深度学习”是当前教育教学中的热点词汇，但目前对于“问题驱动”“深度学习”的研究大多是站在教学模式与教学方法的角度开展的，缺乏对学生的关注。本文以“圆的认识”教学为例来探究该问题，教学中以学生为主体，教师围绕学生提出具有挑战性的问题，精心设置问题情境，引发学生的认知冲突，促使学生积极思考、深度探究、解决问题。

一、引发冲突，提出核心问题

1.尝试操作，以问题指明探究方向

问题一：你能想办法画一个圆吗？借助身边的工具画一画。

问题二：利用这些工具，你能画出任意大小的圆吗？

教师要重视学生直接经验的形成。教师可根据学生的年龄特征和认知规律，通过操作、游戏等丰富多彩的活动，引导学生在实际情境中发现、提出数学问题并进行探究，让学生逐步养成从数学角度观察世界的习惯，同时培养学生的好奇心、想象力和创新意识。

教师提出“你能想办法画一个圆吗？借助身边的工具画一画。”的问题引导学生探究画圆的方法。有的学生利用水杯底部画圆，有的学生利用胶带画圆，但更多学生用圆规画圆。

教师以第二个问题“利用这些工具，你能画出任意大小的圆吗？”引导学生用圆规画出任意大小的圆。用圆规画圆的过程正是圆的本质特征直观显现的过程。

整个活动设计以画圆工具的变化促使学生思考圆的本质。

2.关键活动，以问题促进深入体验

问题三：为什么用圆规画出的圆这么规范？

问题四：有的同学为什么画不圆？

创设关键活动，激发学生的学习兴趣，使学生主动探究和发现解决问题的策略。在教学活动中，教师应融合学习方法的指导与兴趣的培养，引导学生找到适合自己的学习方式。

在用圆规画圆的环节中，很多学生能顺利画圆且能流畅地说出自己是怎么画的，不过他们不一定理解为什么用圆规能画得这么圆。因此，教师现场抓取素材，展示学生画的不规范的圆，并提出问题：“有的同学为什么画不圆？”学生找“画不圆”的原因时，其思维被激活，积极主动地思考圆的本质特征。

生1：他画的圆的中间有好多洞，说明他的针尖动了。

生2：他画的圆的边线有点乱，说明圆规两脚间的距离不固定。

生3：我要补充，用圆规画圆的时候最好抓着圆规上面，不能抓着圆规的脚，不然很容易控制不好，那就画不圆了。

师：怎样才能画得圆？

生4：针尖的位置不能移动，圆规两脚之间的距离不能变。

虽然学生的语言不太规范，但还是表达出了自己的想法，这些想法都源于学生已有的活动经验。每个学生都乐于思考且有话可说，由学生自己感悟进而总结出来的结论，比教师直接解说更有价值。

二、合作交流，整合探究性问题

1.疑难知识，以问题促进深度思考

问题五：为什么有的同学画的圆在纸的上半部分，有的同学画的圆在纸的下半部分呢？

问题六：为什么有的同学画的圆大，有的同学画的圆小呢？

问题是启发思维的源泉。在质疑问难中可以调动学生阅读、思考、主动获取知识的积极性，从而发展学生的思维。因此，教师在深度教学中要抓住学生的疑问点和知识的疑难点，引导学生在真实情境中发现、提出问题，改造、重组、重新解释自己的经验和认知，激发深层次的思考，在质疑问难中积累经验。

现场抓取的学生作品，有很多不同形态的圆。教师用两个问题“为什么有的同学画的圆在纸的上半部分，有的同学画的圆在纸的下半部分呢？”“为什么有的同学画的圆大，有的同学画的圆小呢？”促进学生进一步思考圆心与半径的作用，让学生理解“圆心决定了圆的位置，半径决定了圆的大小”。在学生学习直径的概念后，让他们用实践操作理解直径的含义。在这个环节，教师紧抓核心概念，利用问题引导学生透过现象看本质，培养学生思维的概括性和深刻性。如果教师先问：“什么叫圆心？什么叫半径？什么叫直径？”这类问题虽然直逼核心，但是缺乏价值和延伸性，因为这些概念的字面意思学生都能理解，所以不利于学生对所学内容进行深层次挖掘。

2.关注体验，以问题促进知识内化

问题七：你能想办法验证你的猜想吗？

问题八：你还有什么想法？和大家一起分享。

动手实践、自主探索、合作交流是学习数学的重要方式。问题是思维的路标，教师应充分放手，在课堂中适时留白，留出时间，引而不发，让学生在问题探究中观察、说理、体验、反思，促进知识的内化。

对于圆的半径、直径的进一步探究，教师采用了开放式的教学方式，在课前给每个学生随机发不同大小的圆形纸片，让学生在课上自由探究，给学生发散思维的空间，使自主学习得以发生。

生1：我先画半径，然后量半径的长度，我发现半径画不尽，而且半径的长度都一样。

生2：圆的直径也有无数条，而且长度都一样。

生3：我把直尺左端对准圆心，然后按着直尺，旋转圆形纸片，发现圆的半径长度都一样，直径长度也都一样。

师：你的方法真特别！为什么圆的半径长度都一样呢？你有什么想法？

生3：圆的边缘有无数个点，把每个点和圆心用线段连起来，这条线段就是半径，这样的线段（半径）有无数条，而且长度都一样。

生4：我还发现，圆的直径是半径的2倍。

师：说得真好。

华应龙老师认为教师们在处理“圆的认识”这节课时存在问题：注重组织学生通过折叠、测量、对比等操作活动来发现圆的特征，不重视通过推理、想象、思辨等思维活动来概括圆的特征。因此，对于“圆有无数条半径”“同一个圆内，所有半径（直径）长度都相等”“同一个圆内，直径长度是半径的2 倍”等原理的探索，教师可放手让学生去猜想、验证，然后归纳、应用。学生既可以通过折一折、画一画、量一量等多种活动探索，也可以积极思辨，展开演绎推理，推导特征。这样的教学方式脱离了“用尺子量”的简单操作，不是一味追求结果，而是在操作过程中培养学生的自主能力、动手能力、探索能力。

三、关联生活，分析解决问题

1.注重生活，以问题提升应用能力

问题九：你能从数学的角度解释一下为什么车轮要做成圆的吗？车轴应装在哪里？

这节课遵循“生活中的圆—数学中的圆—圆的特征—回到生活”环节教学，以“提出问题—尝试操作—探究内化—解释应用”流程，指向学生高阶思维的发展。

教师结合生活实际，提出开放性问题：“你能从数学的角度解释一下为什么车轮要做成圆的吗？车轴应装在哪里？”

生1：因为圆的轮子没有棱角，滚动起来比较容易。

生2：如果轮子做成方的，滚起来就会一上一下的，就很颠簸。

生3：圆形车轮最平稳，而且车轴要装在圆心，我们可以想象一下，车轴如果不在圆心，车也会很颠簸。

师：为什么车轴装在圆心，车就会行驶得平稳呢？

生4：圆的所有半径都相等，车轴装在圆心，车轴到地面的距离就都相等了。

生5：若车轴不在圆心，车轴到地面的距离就不相等，滚起来就不平稳。

师：解释得真好！

在师生互动和生生互动中，从半径的特征以及现实意义到生活场景，让原本摸不着的知识变得可视化。学生在解释的过程中，需要从现实问题中剥离非本质因素，抽象出圆的本质特征，这对学生的思维提出了更高的要求，也体现了学生对于圆的本质特征的深度理解，同时让学生慢慢学会用数学的眼光观察生活。

2.观察生活，感受圆的魅力

其实，生活中处处蕴含数学知识，圆在我们生活中扮演着重要的角色。教师说：“这一切，不正是圆的魅力所在吗？让我们一起来欣赏。”教师播放课件：石子入水后激起圆形波纹；阳光下肆意绽放的向日葵；光折射后形成的美妙光环；草原上的蒙古包；天体运行时近似圆形的轨迹；遥远天际悬挂的那轮明月……在中国，人们特别重视中秋节、春节等团圆的节日；表达祝福时常常喜欢用“圆满”“圆梦”等词；文学创作中也喜欢大团圆的结局……让我们从现在开始，真正走进历史、走进文化、走进圆的美妙世界！学生静静欣赏课件，延续对圆的无限畅想。

四、回顾反思，改进提升问题

1.进行后测，以问题延伸思考深度

“圆的认识”作为几何概念教学研究的内容，是在学生直观认识圆和已经较系统地认识了平面上直线图形的基础上进行教学的。在前测时，教师通过一份问卷（如图1）了解学生的知识起点，再用同一份问卷进行后测，对比学生前后的完成情况，能更直观清晰地感受到学生对知识的内化程度。

图1 关于“圆的认识”的问卷

根据后测的信息反馈来看，不同的学生对圆的知识的理解程度不同。学生主要提出以下问题：

（1）可以怎样画圆？

（2）怎样画大小不同的圆？

（3）圆的周长和面积怎么计算？

（4）圆里有没有藏着什么秘密？

后测时，学生在掌握了圆的基本特征后提出了更多的问题，高频问题如下：

（1）祖冲之是怎么发现圆周率的？

（2）目前圆周率已经算到小数点后几位了？

（3）为什么井盖是圆的？

（4）为什么房子不设计成圆的？

（5）世界上有没有完美的圆？

（6）画圆除了用圆规还有什么好方法？

（7）圆的历史和由来是什么？

2.团队协作，以问题拓展思维广度

学生应养成良好的学习习惯，形成质疑问难、自我反思和勇于探索的科学精神。学生应在回顾解决问题的过程中，反思解决问题的方法，形成批判性思维和创新意识。

分析整理后测问卷后，教师再次组织学生以“共同目标”组建学习共同体，进行更深入的探究。

探究问题：井盖为什么是圆的？为什么小区里的井盖有的是方形的？

探究方法：在校园图书馆借阅相关书籍；上网搜索相关资料；询问科学老师；与小区工作人员交流等。

［汇总分析］

（1）大多数井盖是圆形的原因如下。

受力均匀。圆形井盖在受力后，向四周扩散的压力均等，不容易破碎、塌陷。

便于操作。圆形没有方向性，不需要对准和校准位置，也不易掉落，操作便捷。

（2）深度较浅的井，对井内的空间要求不大，所以为了便于施工，就做成了长方形，施工成本低。小区里有方形井盖，是因为小区里的砖是方形的，匹配圆形井盖的话操作困难，后期维护成本高。这时，维护成本是最重要的。

（3）除了圆形、方形井盖，还有其他形状的井盖，不同的场景需要不同形状的井盖，具体问题要具体分析。

在信息交流、整合的过程中，学生能举一反三，既提高了自身的概括能力，又培养了自身的反思意识，在探索中实现知识的再认知，同时也让学生更深刻地感受到数学来源于生活，又应用于生活。

数学学习实际上就是不断发现、提出、分析和解决问题的过程。面向深度学习，教师应正视学生已有的知识经验与能力，在此基础上提供学习支架，通过设置恰当的问题情境，促使学生发现原有经验的不足，然后积极学习新知识，向数学更深处漫溯。