“大观念”下初中数学概念课教学设计

潘娟娟 韦程东 龙群仕 张洁秋

[摘  要] “大观念”是对数学思想方法、思维方式等的概括、提炼，能帮助学生把各种数学理解联系成一个连贯的整体. 研究者以“反比例函数”第一课时的概念教学为例，将“大观念”植入课堂数学概念教学活动设计当中，引导学生利用已有的认知结构，探讨反比例函数的研究路径，整体、关联开展数学学习研究活动，建构结构化的概念学习模式，在深度理解概念的同时，落实数学素养.

[关键词] 教学设计;大观念;反比例函数;结构化

作者简介：潘娟娟（1998—），南宁师范大学数学与统计学院数学教育硕士研究生，从事数学教育教学研究工作.

通讯作者：韦程东（1965—），博士，教授，博导，从事概率论与数理统计研究工作.

问题提出背景

数学概念知识纵横交错、内容繁多，其形成过程更是具有严密的逻辑性，不仅是数学学科的基础知识，也是学生数学思维的枢纽. 近年来，数学单元整体教学越来越受到学者们的关注，倡导教师要全局性地、整体性地把握数学课程进行单元整体教学设计. 王海青、曹广福[1]认为充满联系的数学才有利于学生理解、掌握、运用知识，教师要组织起概念的相关内容使之成为一个相互联系的知识结构，帮助学生获得对数学本质的理解. 王海青、吴有昌[2]提出教师只有从数学教材内容、历史文化、教学目标、学生的知识背景这四个方面整体理解新课程的单元教学内容，才能真正将数学单元的整体教学设计落到实处. 喻平、徐时芳[3]提出在概念新知的教学过程中，要让学生经历知识产生和发展的抽象思维过程，强调知识之间的连通性. 实际上，在现实情形中，虽然有越来越多的数学教师认识到单元整体教学的重要性，但在付诸实践教学时，依旧存在着比较大的困难，更有甚者，将单元整体教学延伸成了课时教学的累加，失去了其特有的结构力量，使学生缺少对数学基础知识的深层次思考，阻碍了思维的发散，与发展学生的数学素养相悖. 因而，需要为单元教学找到一位“统领者”发挥单元结构的真正力量，这位“统领者”就是教育界新兴的理念——大观念[4].

查尔斯[5]将数学大观念定义为：“对数学学习至关重要的观念的陈述，是数学学习的核心，是对数学教学内容及其所体现的數学思想与方法进行进一步的提炼和总结，使学生能够把对数学的多种理解整合关联成一个连贯的整体. ”此外，学界对大观念的界定有多种论述，但是各种论述都表明大观念具有“彰显学科价值”“具有广泛迁移”“提供思维模型”“概括学科结构”“指向学科本质”等特征. 作为一种教育界新兴的理念，大观念成了教师科学地进行课程设计、教学设计的重要依据之一[6].

《义务教育数学课程标准（2022年版）》[7]提出要整体分析学生认知规律和数学内容本质，整体设计，分步实施，呈现数学知识间的内在逻辑关系，促进学生对学习内容的全面理解与把握. 大观念是在学习数学内容的基础上的一种结构化模式构建，能够帮助学生深度理解数学知识本质，是落实数学素养的重要方式;大观念将“四基”涵盖其中，并进一步深化重建，这在形成大观念的过程中需要通过实践使其落到实处，进而又能反向指导实践，促进数学基本活动经验形成，二者相得益彰[8]. 这与《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出的要求有着共通之处.

由此可知，若能引导学生利用已有知识和数学学习经验，以结构化的模式构建概念学习，不仅有利于学生发散思维，洞悉概念的形成过程，还能将学生的数学素养与学习方式落到实处，使学生能够把数学的多种理解整合关联成一个连贯的整体. 现以人教版义务教科书数学九年级下册的26.1.1节“反比例函数”第一课时的概念教学为例，探析如何在大观念的指导下，引导学生构建系统化的知识结构，从全局出发进行整体设计，思考结构化概念教学设计的方式，落实学生的数学素养.

课前思考

反比例函数概念是人教版义务教科书数学九年级下册26.1.1节的内容，在学生原有经验中，已经学习过反比例关系、正比例函数、一次函数、二次函数等相关知识，为本节课的概念教学提供了可延续的知识体系和研究经验. 本节课的教学重点为理解反比例函数的概念，依据已知条件写出解析式;难点为理解反比例函数的概念. 本节课的教学目标定位如下：（1）知识要求：从学生已有的经验出发，讨论两个变量之间变化的依赖关系，理解用函数表达变化关系的实际意义;（2）能力要求：经历反比例函数表达式的探索过程，通过迁移已有经验分析问题和解决问题，感悟用结构化模式构建概念学习的过程，培养学生自学、类比、分析、推理、归纳等能力;（3）育人要求：领会运用迁移、变化的观念去观察、分析、解决问题的方法，体会直观想象、抽象、转化、建模、类比等数学思想方法. 在方法指导方面，旨在学生原有研究经验的基础上，引导学生构建可迁移的函数研究路径，明晰反比例函数从哪里产生、该如何研究、研究哪些内容、研究其有什么意义，让学生清晰地认识到后续学习和研究的内容，明确学习的针对性.

教学过程

1. 情境导入，感知概念

情境——成语“奇货可居”：战国时期有一位很厉害的经济学家和政治家，他不但擅长经商，而且足智多谋，他收集了先秦诸子的各派学说，编著了《史记·吕氏春秋》一书，史称“杂家”，他就是吕不韦. 有一天，吕不韦到外地经商，恰巧碰到了秦国的王子异人，在和异人交谈的过程中吕不韦受到启发：“异人就像一件奇货，可以囤积居奇，以待高价售出. ”从此，吕不韦通过制订囤积计划并付诸行动，在生意场上做到了风生水起、家累千金. 成语“奇货可居”便出典于此[9].

“奇货可居”的意思是：将珍贵稀有的物品储存起来，等待高价时再出售.

问题：探讨吕不韦发家致富的秘密. 在经济学中，商品的价格一般由内在价值决定，当某种物品具有一定的内在价值，它的数量越少，价格越高;数量越多，价格也就越低. 这种物品的数量与价格之间存在怎样的数学关系呢？你能用一个表达式表示它们之间的关系吗？

思考1：刚才列出的表达式是函数吗？

思考2：我们判定这是一類新函数，要研究这类函数，你觉得要研究哪些内容？小组讨论，可以类比我们之前学过的正比例函数来提出要研究的内容[10]. （师生共同整理出图1）

设计意图  教师通过引入成语“奇货可居”的历史文化，使学生认识到数学与现实世界和其他学科的密切联系，感悟历史人物的聪明才智和我国传统文化的源远流长，激发学生的学习兴趣，并能自觉地参与到反比例函数的探索过程中. 教师在引导学生复习反比例关系和函数概念的同时，在大观念的引领下，让学生主动尝试把即将学习的反比例函数与函数、反比例建立起联系;教师以问题为载体，让学生回顾正比例函数的研究方法的同时，帮助学生系统领悟反比例函数的学习方法，为接下来进一步学习反比例函数的相关概念提供一个感性认识的基础.

2. 类比探究，形成概念

问题1：有一天，小圆放学回家，发现小区要打造一块周长为y米的正方形花圃，请你写出花圃周长y（单位：米）与宽x（单位：米）之间的关系式.

问题2：小圆家里有一个容积为200 dm3的长方体鱼缸，请你写出将鱼缸注满水的时间y（单位：h）与速度x（单位：dm3/h）之间的关系式.

思考1：y=4x是什么函数？在200=xy中，y是x的函数吗？

问题3：小圆家距离革命纪念馆3000米，他和同学约好周六去纪念馆学习革命先烈的英雄事迹. 请你填写好表1后用一个表达式来表示速度x与时间y的关系.

问题4：妈妈给小圆30元挑选笔记本，请你填写好表2后用一个表达式来表示单价x与数量y的关系.

思考2：时间和速度、数量和单价，它们具有什么关系？

思考3：观察表达式y=，y=，y=后回答：（1）有哪些变量与常量？（2）它们都有什么共同特点？

问题5：回想我们学习过的研究函数的方法，请你和同桌一起归纳出这一类函数的表达式. 它有什么特点呢？

问题6：在之前的学习中我们是如何给正比例函数下定义的？小组合作思考如何给反比例函数下定义.

设计意图  这是概念形成的过程，有利于教师为学生接下来的学习提供可以迁移的分析问题和解决问题的活动经验. 在大观念的指导下，教师围绕反比例函数概念进行“问题链”设计，利用同龄人“小圆”的视角，使学生产生代入感，激发学生的好奇心，自觉地参与到反比例函数表达式的探索过程中. 学生通过观察，容易概括出这一类函数的共同特点，主动形成新问题，借助类比、转化等思想解决本节课的难点，在经历自主思考与小组合作讨论的过程中，归纳出正、反比例函数之间的异同点，自主经历反比例函数概念的形成过程，把转变自身的学习方式落在实处.

3. 练习巩固，深化概念

练习1：已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=9.

（1）写出y关于x的函数解析式;（2）当x=12时，求y的值.

练习2：指出下列哪些关系式中y是x的反比例函数.

①y=16x; ②xy=123;③ y=- ;④y=;⑤ y=.

练习3：有什么办法可以辨别一个函数是否为反比例函数？反比例函数的表达形式除了y=外，还有其他形式吗？

练习4：结合实际生活，反比例函数y=可以表示两个变量之间的多种关系，你能举一些例子来说明吗？

设计意图  概念的巩固要循序渐进地进行，练习1通过求函数解析式与函数值，可以使学生在思考的过程中主动将反比例函数的概念融入函数体系，再次感受反比例函数模型中的一一对应关系;练习2通过学生不断回顾反比例函数的概念，不断明晰和深化对反比例函数概念的理解，进一步在解决练习3的过程中，掌握反比例函数不同的表达形式，体会数学的类比思想，突破本节课的教学重点;练习4引导学生运用反比例函数表达式列举生活中的实例，尝试说明自己的发现，进一步使学生内化概念，感悟反比例函数的应用价值，在达到学以致用的教学效果的同时，渗透数学建模思想，提升学生的数学抽象、直观想象等素养以及语言表达等能力.

4. 课堂小结，内化概念

问题1：在学习反比例函数概念的过程中，运用了哪些数学思想方法？

问题2：在本节课的学习过程中，你收获了什么？你要提醒大家注意什么？

问题3：梳理本节课的学习过程，动手描绘本节课的研究思路图.

（学生自主完成回答后，教师出示图2——概念形成结构图）

设计意图  教师要使学生感悟蕴含在教学过程中的数学思想方法，掌握数学结论的思考方法与研究方法. 通过结构化总结，一是可以让学生感悟反比例函数概念形成过程中所蕴含的数学建模、化归与转化、抽象等数学思想方法;二是可以让学生反思自己得出反比例函数概念的过程，通过相互“提醒”加深学生对本节课易混淆的知识点的认识，为后续学习其他函数奠定基础;三是让学生系统化认识反比例函数，与之前学过的函数建立关联，深度融合函数模型，形成系统化的认知结构，从函数整体思考反比例函数的地位，促进其数学思维的发展.

教学思考

1. 创设趣味情境，发散学生思维

情境的引入与创设要有目的性，做到“短而有趣”. 教师要结合与学生原有经验相关的实际问题，找准切入点，设计切实合理、实际的探究情境，引发学生的好奇心与学习兴趣，直接联结学生的抽象思维，把课堂主人的角色交还给学生. 在本文的课前导入环节，教师通过引入成语“奇货可居”的历史文化，不仅使学生体会到我国传统文化的深厚底蕴，还使学生感知到数学与现实世界的关联性，激发了学生的好奇心，使其自觉地参与到反比例函数表达式的探索过程中. 在反比例函数的探究过程中，教师通过创设与学生实际生活相关的情境，向学生提出循序渐进、环环相扣的引导式问题，对学生进行传统文化熏陶的同时，利用同龄人“小圆”的视角，使学生产生角色代入感，让学生感悟“三会”的同时，充分调动原有经验中的数学思考方法、数学研究方法去解决抽象的数学问题，为学生以后的数学学习提供可以迁移的分析问题和解决问题的活动经验.

2. 实施连贯教学，完善知识结构

学生构建知识体系，能够从旧知联想到新知，经历用旧知类比新知的过程，都需要建立在已有的经验上. 学生对函数体系的理解是螺旋上升的，学生接收到教师提供的任务情境后，还需以已有经验为基础，进一步构建思维过程. 因此在教学过程中，教师要把握学生学习的起始位置，结合学生的学习难点和发展要求循序渐进地实施教学，不能一心奔着最终目标而去，应将最终目标进行分解、细化，使得教学层层递进地进行，使学生能够掌握新概念的本质特征，牢固基础知识，学得透彻，在过后的学习中能够灵活应用、自主迁移.

在本课的教学设计中，教师先鼓励学生尝试应用小学学过的反比例关系与函数的相关知识发现一类新的函数，然后引导学生将这一类新的函数与学过的正比例函数建立起联系，让学生主动尝试利用研究正比例函数的方法去研究并解決反比例函数问题，延续正比例函数的研究路径进行新概念建模. 学生通过经历独立的数学思维过程，明确概念学习的主线，能够深度理解反比例函数概念的发生过程，发散思维，在感悟数学建模思想和抽象素养的同时，构建反比例函数与正比例函数的结构化联系，为接下来进一步学习其他数学知识提供了一个可延续的研究路径.

3. 关键问题设计，实现深度学习

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出要整体分析数学内容本质和学生认知规律，整体设计，分步实施，体现数学知识间的内在逻辑关系，促进学生对学习内容的整体理解与把握. 教师要通过设计关键、有效、有价值的数学问题，在思考问题的过程中培养学生的数学思维能力、促进学生对学习内容的整体理解与把握，同时提高自身的专业能力与素养，让学生经历知识产生和发展过程，强调知识间的连通性.

在本课的教学设计中，教师先提供具体的数学史情境，使学生通过直观想象、数学抽象产生认知冲突，再由实例引导学生通过回顾正比例函数的研究思路，以围绕反比例函数概念的问题为载体，引导学生由表及里、层层递进地思考问题，使学生在独立思考和小组合作讨论的过程中，在反思总结的基础上利用类比、转化思想进一步提出反比例函数中要研究的内容，加深对反比例函数概念的理解，积累基本活动经验;在“练习巩固”环节，教师通过让学生求反比例函数解析式、利用已知的反比例函数表达式去列举生活实例并尝试说明自己的发现，可以使学生在思考的过程中主动将反比例函数概念融入自身的函数体系，并不断地回顾、辨析反比例函数概念，巩固和深化对反比例函数概念的理解，进一步感悟反比例函数的应用价值，实现深度学习;在“课堂小结”环节，教师通过结构化总结，可以让学生反思自己得出反比例函数概念的过程，通过相互“提醒”加深学生对本节课易混淆的知识点的认识，为以后学习和研究其他函数提供可延续的研究路径与思考方法，再联合反比例函数与之前学过的函数建立知识框架，深度融合学过的函数模型，形成系统化的数学认知体系，从函数整体思考反比例函数的地位，促进其数学思维的发展.

参考文献：

[1]王海青，曹广福. 问题驱动数学教学的基本原则与思想及其实施步骤[J]. 数学教育学报，2022，142（01）：24-27.

[2]王海青，吴有昌. 基于数学单元的整体教学探索与实践：问题驱动的视角[J]. 数学通报，2022，61（03）：27-32+46.

[3]喻平，徐时芳. 核心素养指向的数学教学过程设计[J]. 数学通报，2022，61（03）：1-6+21.

[4]张丹，于国文. “观念统领”的单元教学：促进学生的理解与迁移[J]. 课程·教材·教法，2020，40（05）：112-118.

[5]R Charles.Big Ideas and Understandings as the Foundation for Elementary and Middle School Mathematics[J].Journal of Mathematics Education Leadership，2005，8（01）：9-24.

[6]杨丽蕾. “大观念”视角下一次函数章起始课教学设计[J]. 数学之友，2021（03）：33-36.

[7]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2022.

[8]张丹，于国文.大观念的研究评介——以数学学科为例[J]. 比较教育学报，2020（02）：137-149.

[9]二林，姚远洋.奇货可居[J].雪豆月读，2020（23）：10-12.

[10]吴增生，郑燕红，吴海燕，王泽峰. 怎样促进学生提出和解决高价值的数学问题——等腰三角形单元教学对比实验研究[J]. 数学教育学报，2022，142（01）：42-51.