追本溯源，攻破易混点

文／韩志琴

函数是初中数学的核心知识，是中考必考内容。一次函数、反比例函数、二次函数是这部分内容的“主角”。从概念到图像，从性质到应用，从它们之间的关系到它们与其他知识之间的关系，内容错综复杂，方法灵活繁多。现将常见的易混点举例并分析。

一、函数的概念

例1函数y=（m2-m）x2+mx+m+1，若该函数为一次函数，求m的值；若该函数为二次函数，求m的值。

【解析】若该函数为一次函数，得解得m=1。

若该函数为二次函数，则只要考虑二次项前面的系数m2-m≠0 即可，于是解得m≠0且m≠1。

【点评】同学们在解答有关函数表达式问题时，要厘清函数概念，不能模糊不清，否则会导致错误。

二、函数的增减性

例2已知点（-3，y1）、（-1，y2）、（1，y3）在下列某一个函数图像上，且y3＜y1＜y2，那么这个函数是（ ）。

【解析】根据函数增减性，由函数图像上三个点的横、纵坐标的大小关系，推测函数类型。选项A 是一次函数，当k＞0 时，函数值y随x的增大而增大，应有y1＜y2＜y3，故排除。选项B 是二次函数，对称轴是y轴，所以当x=1或x=-1 时，y2=y3，故排除。选项C 和D 都是反比例函数，根据反比例函数的性质：当k＞0 时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k＜0 时，在每一象限内，y随x的增大而增大，k=3＞0，故y2＜y1，故选项C 排除。所以正确选项是D。

【点评】对于选项C 和D，我们还可以借助函数图像，如图1、图2，既能提高正确率，又能感受到数形结合的魅力，提高直观想象的能力。当然作为选择题，我们也可以用赋值法代入计算得出正确答案。

图1

图2

三、函数的最值

（2）已知一次函数y=kx+b（k≠0），当3≤x≤5 时，对应的函数值为-4≤y≤-2，则函数表达式为________。

【解析】本题需要考虑函数的增减性对点坐标产生的影响，然后用待定系数法求函数表达式。对于一次函数，当k＜0 时，函数y随自变量x的增大而减小，当k＞0 时，y随x的增大而增大，所以本题存在两种可能：①当x=3 时，y=-2，当x=5 时，y=-4，即图像过点（3，-2）、（5，-4），则一次函数表达式是y=-x+1；②当x=3 时，y=-4，当x=5 时，y=-2，即图像过点（3，-4）、（5，-2），则一次函数表达式是y=x-7。我们还可以借助图像很清晰地得出两种情况（如图3、图4）。

图3

图4

（3）已知二次函数y=-（x-h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为_____。

【解析】由二次函数y=-（x-h）2（h为常数）可知顶点坐标为（h，0），图像开口向下，当x=h时，函数值ymax=0，不符合题意。由此可见，h不在2≤x≤5的范围内，所以要分类讨论。当h＜2 时，由图5 可知，当x=2 时，函数值y取最大值，有-（2-h）2=-1，解得h1=1，h2=3（舍去）；当h＞5 时，函数值y取最大值，有-（5-h）2=-1，解得h3=6，h4=4（舍去）。综上可知，h的值为1或6。

图5