数形结合，演绎函数精彩

文／何晓敏

在学习数学的过程中，我们常需要运用数形结合解决问题。其中，当遇到“函数”与“角”相结合的问题时，我们该如何找寻突破口，让运算更简单呢？下面，我们不妨一起来探究相关内容。

一、一次函数图像中的“隐藏角”

例1已知直线l的表达式为y=x+4，则直线l与x轴的夹角是________。（说明：我们把两条直线相交形成的最小角称为两条直线的夹角）

图1

【解析】如图1，在平面直角坐标系xOy中，记直线l与x轴和y轴的交点分别为A、B，易得A（-4，0）、B（0，4）。在Rt△ABO中，AO=BO=4，tan∠BAO=1，则∠BAO=45°，故直线l与x轴的夹角是45°。

【变式】已知直线l经过原点和第二、四象限，且与x轴的夹角是60°，求直线l的表达式。

图2

【解析】画出函数图像，如图2，在x轴上取点A（1，0），过A作x轴的垂线与直线l交于点B，构造Rt△ABO。利用函数图像中∠AOB=60°，可得，求出B（1，，从而求出直线l的表达式为

【归纳】在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与水平方向形成“隐藏角”（记为α）有特殊的意义，构造直角三角形能找到该角与直线倾斜程度的关系，不难发现|k|=tanα。

二、一次函数图像变换中的“伴生角”

例2如图3，已知一次函数y=-2x+4 的图像与x轴交于点A、与y轴交于点B，若将其绕点A顺时针旋转90°，求对应的函数表达式。

图3

图4

【变式1】将题干中“旋转90°”改为“旋转45°”，如图5，求变换后的直线表达式。

图5

【思路1】如图6，过点B作已知直线的垂线，交变换后的直线于点D，过点D作DH⊥y轴于点H。依题意△ABD为等腰直角三角形，易证△BDH≌△ABO，可求得BH=OA=2，HD=OB=4，则D（4，6），从而求得直线表达式为y=3x-6。

图6

【思路2】如图7，过点B作变换后直线的垂线段，垂足记为C。过点C作x轴的垂线，与过点B的y轴的垂线相交于点F，构造△BFC≌△CEA，再通过设C点坐标为（m，n），由BF=CE、CF=AE，列出方程组从而解决问题。

图7

【归纳】作垂线构造直角三角形，将角的大小转化为边长比值。比较上述两种思路，显然“过已知点作已知直线的垂线”更为优化简便。

【变式2】将题干中“旋转90°”改为“旋转θ，tanθ=3”，求变换后的表达式。

【解析】延用变式1 的思路，在点B处构造直角（如图8），易证△GKB∽△BOA。由tanθ可知，△GKB与△BOA相似比为3，则GK=3OB=12，BK=3OA=6，可得G（12，10），所求直线为y=x-2。

图8

【归纳】从变式1到变式2，变化的仅是旋转角的大小。解决问题的方法均是过点作已知直线的垂线，构造直角三角形，将角的信息转化成边的关系，最终再转化成点的坐标，从而突破难点。

三、其他函数图像中的“生成角”

例3已知一次函数y=-2x+4的图像与x轴交于点A、与y轴交于点B，若二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A和B，且过点D（4，0）。在二次函数图像上是否存在点M，使∠BAM=∠BAO？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

【解析】先求出二次函数的表达式并画出函数图像（如图9）。如果站在“交点”的立场来看待点M，它不仅是抛物线上的点，也是与直线AB夹角为定值的直线上一点。延用例2的思路可知，tan∠BAM=2，易求P（8，8），则直线AM表达式为再与二次函数y=联立，求得交点

图9

【变式】将上题中的“二次函数”改为反比例函数y=，试问双曲线上是否存在点M，使∠BAM=∠BAO？

【解析】函数背景变了，但解决问题的方法一样。画出图像（如图10），不难发现M只能在直线落在第一象限的部分上，故求得M（3，）。

图10

【归纳】关注交点的多重“身份”，不要被复杂的函数背景所迷惑。先利用角度求出它所在的直线，再联立求交点，则会使运算更简便。