圆的内接四边形与外切四边形问题的常见题型解析

2023-05-25 19:14台占青
数理天地(初中版) 2023年9期
关键词:外切圆周角切点

台占青

【摘要】在初中数学的学习内容中,圆与四边形特殊的位置关系可分为两种:一种是四边形内接于圆,它的一条重要性质定理是内接四边形的对角互补;另一种是四边形外切于圆,它的一条常用性质定理是外切四边形的对边长度之和相等.在考查圆与四边形的综合问题时,通常围绕着这两个性质进行出题.本文列举4道利用“圆的内接四边形对角互补”和“圆的外切四边形对边长度之和相等”性质进行解题的例题,针对这些常见题型给出详细的分析思路和解题过程,希望可以使学生对圆与四边形的综合问题了解更全面,思路更清晰.

【关键词】圆;四边形;题型解析

1圆的内接四边形题型解析

例1如图1,已知线段AE是△ABC的外角∠CAD的角平分线,AE与△ABC的外接圆相交于点E,求证:EC=EB.

分析采用倒推法进行分析:若想要证明EC=EB,只需要先证明∠ECB=∠EBC即可,而证明这两个角相等,则要用到以下两个性质:①=1\*GB3圆内接四边形对角互补的性质定理;②=2\*GB3在同圆中,公共弦所对的圆周角相等.二者结合使用,这道问题便可迎刃而解.

证明因为AE是∠CAD的角平分线,

所以∠EAC=∠EAD,

因为∠EAD是圆内接四边形ABCE的外角,根据圆的内接四边形对角互补定理,

有∠EAD=∠ECB.

又因为∠EAC与∠EBC所对的弦同为CE,

所以∠EAC=∠EBC,

所以∠EBC=∠ECB,

△EBC为等腰三角形,即证得EC=EB.

例2如图2,点A、B两圆O1与圆O2的交点,P是圆O1上的任意一点,连接PA、PB并延长,与圆O2交于C、D两点,连接CD,过圆O1的圆心作PN交CD于点N,交圆O1于M,求证:PN⊥CD.

分析想要证明PN⊥CD,应先证明∠CDP+∠DPN=90°,连接MB及AB,根据圆的内接四边形对角互补,有∠CDP=∠PAB;又由圆的直径对应的圆周角为90°,再结合圆周角与弦的关系,找到∠PBM、∠PMB、∠DPN、∠CDP这些角之间的数量关系,即可求证.

证明连接MB、AB,

在圆O1中,∠PMB=∠PAB,

在四边形ABCD和圆O2中,根据圆的内接四边形对角互补,

有∠CDP=∠PAB,

即∠CDP=∠PMB,

又因为圆O1的直径是PM,

所以∠PBM=90°,

所以∠PMB+∠DPN=90°,

即∠CDP+∠DPN=90°,

所以∠DNP=90°,

即PN⊥CD.

2圆的外切四边形题型解析

例3如图3,直角梯形ABCD是圆O的外切四边形,切点分别为E、F、G、H,已知直角梯形ABCD的周长为18,其中CD长为5,求圆O的半径.

分析本题是对圆的外切四边形对边之和相等的性质的利用,首先作辅助线连接圆心与四边形的4个顶点和4个切点,再根据全等三角形的知识证得四边形ABCD的对边之和相等,再根据已知条件求得直角腰的长,最后找到圆O半径与直角腰的关系,求得最终答案.

解连接OA、OB、OC、OD、OE、OF、OG、OH,

因为四边形ABCD圆O的外切四边形,

所以OE=OF=OG=OH,

∠AEO=∠AGO=90°,

又OA为公共边,

所以△AEO≌△AGO,

所以AE=AG,

同理可证得BE=BF、CH=CF、DH=DG,

AE+BE+CH+DH=AG+BF+CF+DG,

AB+CD=AD+BC,

又因为已知直角梯形ABCD的周长为18,

所以AB+CD=9,

而其中CD长为5,则AB=4,

又因为∠ABC=90°,

OE=OF,BE=BF,

所以四边形BEOF为正方形,

即OE=BE=12AB=2,

所以圆O的半径为2.

例4如图4,四边形ABCD是圆O的外切四边形,切点分别为E、F、G、H,已知∠A=∠B=120°,∠D=90°,BC的長为10,求AD的长.

分析将圆心与切点相连,可以发现四边形OGDH为正方形,又易证∠A与∠OBA互补,OB∥AH,即可证得B、O、G三点共线,而题目中已经给出BC的长,所以可以根据勾股定理求出BG、CG的长;再根据例3中的证明,当设AH=x时,有AE=BE=BF=x,再次利用勾股定理可求得OE=3x,也就是圆的半径为3x,最后根据这些线段之间的数量关系求出AH、OG的长,即可得到AD的长.

解连接OF、OB、OE、OD、OG、OH,

因为∠D=90°,OH⊥AD,OG⊥CD,

所以四边形OGDH为正方形,即OG∥HD,

又因为∠B=120°,则∠OBA=60°,

即∠A与∠OBA互补,所以OB∥AH,

所以点B、O、G三点共线,

因为∠OBF=60°,∠BOE=30°,BC=10,

根据勾股定理可求得BG=5,

设AH=x,根据例3中的证明,

有AE=BE=BF=AH=x,

因为∠OBE=60°,∠BOE=30°,

根据勾股定理有OB=2x,OE=3x,

则OG=3x,

那么有OB+OG=BG,

2x+3x=5,

x=10-53,

即AH=10-53,

HD=OG=103-15,

则AD=HD+AH

=10-53+103-15

=53-5.

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