子弹打木块模型及应用

成树明

子弹打木块问题是力学中的常见模型，综合性强，涉及运动学、牛顿运动定律、动量和能量等知识点.同学们从不同角度来分析探究该问题，不仅能巩固所学的物理知识，还能提高灵活分析问题、解答问题的能力.

一、子弹打木块模型的两种情况

（一）子弹未射穿木块

1.1模型呈现

如图1所示，质量为M的木块放在光滑的水平面上，一质量为m的子弹以初速度v0水平飞来打进木块并留在其中.设子弹在木块内运动受到恒定阻力f作用，经时间t子弹和木块达到共同速度v，子弹和木块的位移分别为x1、x2，子弹打进木块的深度为d.

1.2模型规律

1.2.1v-t图像

子弹做匀减速直线运动，木块做匀加速直线运动，二者的v-t图像如图2所示

①为子弹图像；②为木块图像；③为共同运动图像.由图像中可以看出I区为子弹和木块的相对位移，即子弹打进木块的深度为d.由图可以判定：不论m、M关系怎样总有d>x2，x1>2x2；若m2x2，x1>3x2.

1.2.2牛顿运动定律和运动学公式

对子弹和木块分别应用牛顿第二定律，得

f=ma1

f=Ma1

对子弹和木块分别应用运动学公式，得

v=v0-a1t

x1=v0+v2t

v=a2t

x2=v2t

子弹和木块的位移大小关系为

d=x1-x2

1.2.3动能定理与能量守恒定律

对子弹和木块分别应用动能定理，得

-fx1=12mv2-12mv20

fx2=12Mv2

系统损失的机械能等于产生的内能，有

Q=ΔEk=12mv20-12（m+M）v2

整理得Q=fd

说明：相互作用力与相对位移（或路程）的乘积等于系统机械能的减少，这是一个重要关系，通常都可直接运用.

1.2.4动量定理与动量守恒定律

对子弹和木块分别应用动量定理，得

-ft=mv-mv0

ft=Mv

对系统应用动量守恒定律，得

mv0=（m+M）v

（二）子弹射穿木块

2.1模型呈现

如图3所示，质量为M的木块放在光滑的水平面上，一质量为m的子弹以初速度v0水平飞来打进木块，经时间t子弹射穿木块时二者的速度分别为v1、v2，子弹和木块的位移分别为x1、x2.设子弹在木块内运动受到恒定阻力f作用，木块的长度为L.

2.2模型规律

2.2.1 v-t图像

①为子弹穿过木块过程中的速度图像；②为子弹穿过木块过程中木块的速度图像；③为射出后子弹的速度图像；④为子弹射出后木块的速度图像.

2.2.2牛顿运动定律和运动学公式

对子弹和木块分别应用牛顿第二定律，得

f=ma1

f=Ma1

对子弹和木块分别应用运动学公式，得

v1=v0-a1t

x1=v0+v12t

v2=a2t

x2=v22t

子弹和木块的位移大小关系为

L=x1-x2

2.2.3动能定理与能量守恒定律

对子弹和木块分别应用动能定理，得

-fx1=12mv21-12mv20

fx2=12Mv22

系統损失的机械能等于产生的内能，有

Q=ΔEk=12mv20-12mv21-12Mv22

整理得Q=fL

2.2.4动量定理与动量守恒定律

对子弹和木块分别应用动量定理，得

-ft=mv1-mv0

ft=Mv2

对系统应用动量守恒定律，得

mv0=mv1+Mv2

二、子弹打木块模型的拓展

1. 模型拓展

根据子弹打木块模型的特点，可以将该模型拓展到板块模型.如图5所示，一质量为M的木板静止于光滑的水平面上，一质量为m的滑块以速度v0从木板的左端滑上木板，二者之间的动摩擦因数为μ.

2.板块模型两种类型

类型图示规律分析

木板B带动物块A，物块恰好不从木板上掉下的临界条件是物块恰好滑到木板左端时二者速度相等，则位移关系为xB=xA+L

物块A带动木板B，物块恰好不从木板上掉下的临界条件是物块恰好滑到木板右端时二者速度相等，则位移关系为xB+L=xA

3.分析“板块”模型时要抓住一个转折和两个关联

4.分析板块模型的四点注意事项

（1）用隔离法分析滑块和木板的受力，分别求出滑块和木板的加速度.

（2）建立滑块位移、木板位移、滑块相对木板位移之间的关系式.

（3）不要忽略滑块和木板的运动存在等时关系.

（4）在运动学公式中，位移、速度和加速度都是相对地面的.

三、子弹打木块模型的典型应用

题型一 子弹单向打木块

【例1】（2022届北京交大附中检测）如图6所示，质量为2m、长为L的木块静止在光滑水平面上，质量为m的子弹（可视为质点）以初速度v0水平向右射向木块，穿出木块时速度减为v02.若再将另一相同木块固定在传送带上（如图7所示），使木块随传送带以v=38v0的速度水平向左运动，相同的子弹仍以初速度v0水平向右射向木块，木块的速度始终不变.已知木块对子弹的阻力恒定，下列说法正确的是（）

A.第一次子弹穿过木块过程中，木块的位移大小为15L

B.第一次子弹穿过木块过程中，子弹克服阻力做的功为116mv20

C.子弹前后两次穿过木块的时间之比为2：1

D.第二次子弹穿出木块时的速度为56v0

解析：第一次子弹穿过木块过程中，子弹与木块组成的系统动量守恒，有mv0=m·v02+2mv1，解得v1=v04，对木块和子弹分别应用动能定理，得fx=12·2mv21、-f（x+L）=12m（v02）2-12mv20=-38mv20，即子弹克服阻力做的功为38mv20，联立解得x=L5，f=5mv2016L，选项A正确、选项B错误；第一次，对物块应用动量定理得ft1=2mv1，联立解得t1=8L5v0，第二次，子弹在木块中做匀减速运动，加速度为a=fm=5v2016L，子弹穿过木块时满足vt2+v0t2-12at22=L，联立解得t2=4L5v0，则子弹前后两次穿过木块的时间之比为t1t2=21，选项C正确；第二次子弹穿出木块时的速度为v'=v0-at2=34v0，选项D错误.故选AC.

【点评】第一次是常规的子弹打木块问题，本题创新之处是第二次子弹打木块.第一次子弹做匀减速直线运动，木块做初速为零的匀加速直线运动，二者运动方向相同；第二次子弹做匀减速直线运动，木块保持匀速运动，二者运动方向相反.要弄清两次子弹和木块的位移大小关系.

题型二子弹双向打木块

【例2】（2022届河南开封二模）如图8所示，木块静止在光滑水平面上，两颗不同的子弹A、B从木块两侧同时射入木块，最终都停在木块内，这一过程中木块始终保持靜止，若子弹A射入木块的深度大于子弹B射入木块的深度，则（）

A.子弹A的质量一定比子弹B的质量小

B.入射过程中子弹A受到的阻力比子弹B受到的阻力大

C.子弹A在木块中运动的时间比子弹B在木块中运动的时间长

D.子弹A射入木块时的初动能一定比子弹B射入木块时的初动能大

解析：由于木块始终保持静止状态，则两子弹对木块的作用力大小相等，由牛顿第三定律知两子弹所受的阻力大小相等，设为f，对子弹A、B分别动能定理得-fdA=0-EkA、-fdB=0-EkB，由于dA＞dB，则有子弹入射时的初动能EkA＞EkB，选项B错误、选项D正确；子弹A、B从木块两侧同时射入木块，木块始终保持静止，所以两子弹在木块中运动时间必定相等，否则木块就会运动，选项C错误；两子弹和木块组成的系统动量守恒，则有2mAEkA=2mBEkB，因EkA＞EkB，则有mA＜mB，选项A正确.故选AD.

【点评】审题是解答问题的前提和关键.两颗不同的子弹A、B从木块两侧同时射入木块，最终都停在木块内，这一过程中木块始终保持静止，这一信息就告诉我们两子弹对木块的作用力大小相等，作用时间相同，排除选项B、C；若本题告诉是多选题，在考场上由逻辑关系便可快速选出答案AD.

题型三子弹打木块与板块模型综合

【例3】如图9所示，质量为M=1.0kg的长木板放在光滑水平面上，木板上放有两个可视为质点的木块A和B，它们的质量分别为m1=0.95kg和m2=1.0kg.木块A位于长木板的左端，A、B间相距l=2.0m，一颗质量为m=50g的子弹以速度v0水平射入木块A并留在其中.已知两木块与长木板间动摩擦因数均为0.2，取重力加速度g=10m/s2，子弹打入木块及木块相撞时作用时间极短.回答下面问题：

（1）要使木块A、B能发生碰撞，子弹速度v0应满足什么条件；

（2）若A、B碰撞后粘在一起运动，当v0=80m/s时，要使A、B不从木板上掉下来，木板至少需要多长（保留三位有效数字）.

（3）当v0=80m/s时，求子弹与木块A和木块A、B作用时损失的机械能△E.

解析：（1）子弹打入木块时动量守恒，有

mv0=（m+m1）v1

木块A在长木板上滑动到与B碰撞前，设A的加速度为a1，长木板和B的加速度为a2，则

μ（m+m1）g=（m+m1）a1

μ（m+m1）g=（M+m2）a2

若碰前长木板的位移为x，则A的位移为l+x，设运动时间为t，有

x=12a2t2

l+x=v1t-12a1t2

联立解得 t2-v030t+43=0

当v0302-4×43>0时，A、B发生碰撞，解得

v0>403m/s

（2）将v0=80m/s代入t2-v030t+43=0解得

t=2s（舍去）或t=23s

设A碰撞前、后速度分别为v2、v3，碰撞前木板及B的速度为v′2，则

v2=v1-a1t

v'2=a2t

（m+m1）v2+m2v'2=（m+m1+m2）v3

设两木块及长木板最终共同速度为v.碰后A、B在长木板上滑行的距离为Δl，根据动量守恒定律和能量守恒定律则有

mv0=（m+m1+m2+M）v

μ（m+m1+m2）gΔl=12（m+m1+m2）v23+12Mv′22-12（m+m1+m2+M）v2

联立解得Δl=112m

则木板长度

L=l+Δl=2512m=2.08m

（3）由能量守恒定律得

ΔE=12mv20-12（m+m1+m2+M）v2-μ（m+m1）gl-μ（m+m1+m2）g·Δl

联立解得ΔE=153J.

【点评】解答多物体多过程问题的关键是将复杂问题拆分成一个个简单的问题.本题过程一为子弹打木块A；过程一结束后将子弹和木块A视为一个新的子弹，将长木板和木块B视为一个新的木块，第二个过程是新子弹打新木块，这一过程到A、B碰前结束；第三个过程是木块A、B完全非弹性碰撞；过程三结束后，子弹、木块A、B再次组成一个新的子弹，与长木板相互作用，这便是第四个物理过程，再次构成一个子弹打木块模型.

题型四子弹打木块与传送带模型综合

【例4】（2022届湖南长郡中学模拟）如图10所示，水平传送带AB长L=8.3m，质量M=1kg的木块随传送带一起以v1=2m/s的速度向左匀速运动（传送带的速度恒定），木块与传送带间的动摩擦因数为μ=0.5，当木块运动到最左端的A点时，一颗质量为m=20g的子弹以v0=300m/s的水平向右的速度正对射入木块并穿出，穿出速度为u=50m/s，以后每隔Δt=1s就有一颗子弹水平地射中木块，设子弹射穿木块的时间极短，且每次射穿时阻力相同，重力加速度取g=10m/s2，子弹和木块均可视为质点，求：

（1）在第二颗子弹击中前，木块向右运动离A点的最大距离；

（2）木块在传送带上最多能被几颗子弹击中；

（3）从第一颗子弹击中木块到木块最终离开传送带的过程中，子弹、木块和传送带这一系统所产生的内能是多少.

解析：（1）第一颗子弹射入木块过程中，由动量守恒定律，得

mv0-Mv1=mu+Mv2

解得子弹穿出后，木块的速度为

v2=3m/s，方向向右

由牛顿第二定律，得

μMg=Ma

解得木块在传送带上滑行的加速度为

a=5m/s2

则木块速度减为零的时间为

t0=v2a=0.6s<Δt

故在第二颗子弹击中前，木块向右运动离A点的最大距离为

x1=v22t0=0.9m

x1=v222a=0.9m（备注删除该行）

（2）在第二颗子弹射中木块前，木块再向左做加速运动，加速的时间为

t1=Δt-t0=0.4s

速度增大为

v3=at1=2m/s

此时速度恰好与传送带共速，则向左运动的位移为

x2=12at21=0.4m

所以在两颗子弹射中木块的时间间隔内，木块向右运动的总位移为

x0=x1-x2=0.5m

所以在第16颗子弹击中前，木块向右移动的位移为

x=15×0.5m=7.5m

在第16颗子弹击中后，木块将会先向右移动x1的位移，此时木块的总位移为

x总=x+x1=7.5m+0.9m=8.4m>8.3m

故木块将从B端落下，所以木块在传送带上最多能被16颗子弹击中.

（3）第一颗子弹穿过木块过程中，产生的内能为

Q1=12mv20+12Mv21-12mu2-12Mv22=872.5J

木块向右减速过程中，木块相对于传送带的位移为

Δx1=x1+v1t0=2.1m

木块向右减速过程中，产生的内能为

Q2=μMg·Δx1=10.5J

木块向左加速过程中，木块相对于传送带的位移为

Δx2=v1t1-x2=0.4m

木块向左加速过程中，产生的内能为

Q3=μMg·Δx2=2J

第16颗子弹击中木块后，木块向右减速的过程有

L-x=v2t2-12at22

解得，第16颗子弹击中木块后，木块向右减速的时间为

t2=0.4s

则第16颗子弹击中木块后，木块相对于传送带的位移为

Δx3=（L-x）+v1t2=1.6m

第16颗子弹击中木块后，木块向右减速过程中，产生的内能为

Q4=μMg·Δx3=8J

则全过程产生的内能为

Q总=15（Q1+Q2+Q3）+Q1+Q4=14155.5J.

【点评】子弹打木块过程满足动量守恒和能量守恒；子弹打完木块后木块获得水平向右的速度v2，木块先向右做匀减速直线运动，再向左做匀加速直线运动，当速度增加到与传送带相同时，再次发生子弹打木块过程；每重复一次上述过程，木块向右对地位移为x0=0.5m；子弹打木块过程，木块向右减速过程和向左加速过程均产生内能.

子弹打木块模型的实质是系统在一对作用力和反用力（系统的内力）的冲量作用下，实现系统内物体的动量变化、動能变化和能量变化.通过上述几例，启示我们在解答物理问题时，必须透过其表面现象抓住本质，建立物理模型，以达到“异中求同，多题归一”.该模型也可以与其他力学模型进行综合构建更为复杂的力学研究问题，同学们要善于将所学规律进行迁移创新，将陌生、复杂的物理问题建构成熟悉、简单的某种物理模型，则能化繁为简，化难为易，收到事半功倍的效果.

责任编辑李平安