创设“生动”课堂发展模型观念

刘守文 江厚庭

【摘要】义务教育数学教学强调学生学习的主体地位，重视发展学生的核心素养.模型观念是义务教育阶段数学核心素养之一，其发展具有一致性、阶段性、整体性，根植于真实问题情境之中，强调学生主动参与数学活动过程.

【关键词】“生动”课堂；模型观念；工程问题；行程问题

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）强调“学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者”[1]，首次提出义务教育阶段数学课程要培养学生的核心素养.以下是笔者进行中考复习时经历的一个课例实践，切身感受到模型观念素养的形成与发展离不开真实教学情境和有意义的数学活动.

1提出问题

原题（2021年百色中考）据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.2米，直道长87米；跑道的弯道是半圆形，环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间.某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道.小王同学计算了各圈的长：

第一圈长：87×2+2π（36+1.2×0）≈400（米）;

第二圈長：87×2+2π（36+1.2×1）≈408（米）;

第三圈长：87×2+2π（36+1.2×2）≈415（米）;

……请问：

（1）略.

（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程），在如图1的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇，若邓教练的平均速度是小王平均速度的2倍，求他们的平均速度各是多少？（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇.）

学生在解题时出现了两种理解思路，部分学生将其理解为行程问题中的相遇问题，另一部分学生认为两人合起来刚好行进了“一圈”，将其理解为工程问题.

解设小王的速度是x米/秒，教练的速度是y米/秒.

思路1（行程问题模型）：

y=2x，

20（x+y）=400+12×（415－400），

解得x=16324，

y=16312.

思路2（工程问题模型）：将两人从起点出发到第一次相遇理解为工程总量1，则

y=2x，

20x400+20y415=1，解得x=1660243，

y=3320243.

哪种解法是正确的？错误解法错在哪里？学生产生错误解法的思维误区是什么？对教学有什么启示？教师如何解释才能反映数学知识的本质？这些问题引发了笔者的深入思考.

为了突出学生的主体地位，让学生在学习中真正地“动”起来，教学时笔者并未急于给出正确答案，而是引导学生在关联的情境中发现问题，提出问题，利用观察、比较、猜想、计算等方法分析与解决问题，从而回归数学知识的本质.本题利用实际生活的真实情境考查学生选择合适的方程构建具体模型并解决问题，发展学生的模型观念.2建模求解

教师引导1：当一个模型反映数学客观规律具有不确定性时，我们可否找出一些相关联的模型，观察、比较、分析、计算，进而找出结果？请大家分组讨论.

学生1：我们组结合原题的情境，创设了一个关联的情境.如图2所示，现将跑道的中间直道舍去，将两个半圆形弯道合并构造图2所示的圆环形弯道.第一圈弯道半径为36米，每条跑道宽1.2米，当两人终点连线的延长线经过弯道圆心时，称两人相遇，其他条件不变.设小王的速度是x米/秒，则教练的速度是2x米/秒，教练从A到C经过的圆心角为α度，跑道第一圈长为2π（36+1.2×0）≈226米，第三圈长为2π（36+1.2×2）≈241米.

思路1（行程问题模型）：

241×α360=40x，（1）

226×（1－α360）=20x，（2）

解得：α=452×360693，代入（1），解得：

x=241×452693×40=272336930.

思路2（工程问题模型）：

40x241+20x226=1，

解得：x=140241+20226=272336930.

结论：两种模型结果相同.

教学说明预设是教师主导作用的重要体现.教师引导1所做的预设，目的是进一步指明研究的方向，缩小研究的范围，使问题具体化，根据原题的情境，引导学生创设关联的情境模型，发展模型观念.

教师引导2：比较两种模型，大家继续探究原题中哪一种解法是错误的？错因是什么？

学生2：原题中跑道是由直道和弯道两种图形构成，我猜想两人在直道和弯道中行进的“效率”不同，不符合工程问题的定义，如果跑道由一种图形构成，则两种模型都正确.

教师引导3：结合学生2的猜想，请大家尝试再构建关联情境的模型，观察、猜想、计算、检验模型的结果.

学生3：我们小组类比图2的模型将原跑道的弯道舍去，按黄金分割比构建了一个长方形环形跑道.如图3所示，最内侧的长方形长87米，宽54米，每条跑道宽1.2米，经过20秒2人在左侧直道第一次相遇，其他条件不改变.设小王的速度是x米/秒，则教练的速度是2x米/秒，教练从A顺时针到C经过的路程为40x米，小王从B逆时针到D经过的路程为20x米.

思路1（行程问题模型）：

20（x+2x）=（87+54）×2+2×2×2×1.2，解得：x=291.660=4.86米/秒.

思路2（工程问题模型）：

将两人从起点出发到第一次相遇理解为工程总量1.则

20x（87+54）×2+40x（87+1.2×2×2+54+1.2×2×2）×2=1，解得：x=353917210≈4.91米/秒.

结论：两种模型结果不同.

学生4：我们小组为了便于计算构建了一个正方形环形跑道模型，并简化了数据.如图4所示，最内侧的正方形边长为40米，每条跑道宽2米，经过20秒2人在左侧直道第一次相遇，不改变其他条件.设小王的速度是x米/秒，则教练的速度是2x米/秒，教练从A顺时针到C经过的路程为40x米，小王从B逆时针到D经过的路程为20x米.

思路1（行程问题模型）：

20（x+2x）=40×4+2×2×2×2，解得：x=17660=4415米/秒.

思路2（工程问题模型）：

将两人从起点出发到第一次相遇理解为工程总量1.则20x40×4+40x（40+2×2×2）×4=1，解得：x=3米/秒.

结论：两种模型结果不同.

教师引导4：学生4在保留问题本质属性的前提下，简化数据，更有利于运算结果.这种删繁就简、抓问题本质的思维方式可以帮助我们把握数学知识的本质，顺利解决问题.从结果来看，学生2的猜想是错误的.请大家观察、思考以上几种模型的图形特征，尝试通过计算探究结果.

学生5：“特殊化”学生4的模型，如图5所示，将起跑点放在与最内侧跑道的上侧跑道平行的A、B两点，小王逆时针方向由B到D的路程是20×3=60米，终点D在左侧直道的中点.教练顺时针方向由A到C1的路程是44+48+24=116≠120米，矛盾.

教学说明生成强调教学活动中学生的主体地位.首先，生成促进学生主动“动”起来参与到建模、算模、验模的活动探究中来.其次，教师根据学生的生成，可以了解学生的知识结构和思维方式，对建模过程中出现的普遍错误做出针对性的解释，有利于教师整体把握课堂教学，做到“有的放矢”.再次，学生“集思广益”的生成，能够激发灵感，碰撞出“灵性”的思维火花，拓展学生的思考深度和广度，帮助学生多方向、多角度建立模型，改进模型.

3检验模型

教师引导5：结合图5，你能从工程问题定义的角度探究原题中思路2的思维误区吗？

学生6：如图5所示，小王逆时针方向由B到D，完成了全程的60160=38，教练顺时针方向由A到C1，完成了全程的116192=2948，但38+2948≠1.原题的原理和本题相同，所以原题不是工程问题模型.

追问：图2模型是否满足工程问题的定义？这对理解图5是否有更进一步的启发？

学生7：如图6所示，“对应边”劣弧AC和BD与各自跑道的总长之比都等于360－α360.故可以用小王20秒的“行程量”360－α360（类比工程问题的工作量）代替教练20秒后（未骑行）的“剩余量”，这样可以理解为小王和教练合在一起走完了“全程”，二者之和为1.究其根本原因，是因为两个“同心扇形”AOC和BOD是“相似”的.对于图5的模型，如图7所示，由于教练的速度是小王的2倍，四边形BGHD与AEFC不可能“相似”，故图5模型不是工程问题模型.

教学说明学生在建立模型——求解模型——优化模型——检验模型的过程中独立思考、自主探索、合作交流，真正参与到课堂活动中来，落实了“生动”课堂的目标，完成了知识学习从知其然到知其所以然的跨越，数学学习回归到数学的知识本质.

4数学课堂发展模型观念的几点思考

4.1模型观念的发展具有一致性、阶段性和整体性

学生通过数学学习获取的核心素养具有三个特征：内涵的一致性、表现的阶段性和表述的整体性[2].模型素养是义务教育阶段核心素养之一，贯穿于学生学习的各个阶段.小学阶段更具体，侧重于基于经验的感悟，即模型意识;初中阶段相对抽象，侧重于概念的理解和实践的掌握，即观念和能力.实际上，小学阶段的相遇问题、追及问题是行程问题模型的初始阶段，分数的学习使学生理解了“1”作为总体的涵义，自此埋下了工程问题模型的萌芽，学生在这些知识的学习过程中，积累了模型实践应用的经验，初步形成了模型意识，模型观念的发展尚未成熟，若隐若現地存在于大脑的潜意识里.随着知识的不断积累和认知思维的不断成熟与深入，初中阶段的学习可以开展一些简单的数学建模活动，如本课例的代数方法解决实际应用问题的建模探究，具备了数学建模活动的部分特点，有助于学生进一步形成和发展模型观念，促进模型观念素养的连续性和阶段性发展.

4.2模型观念的发展需强化真实情境设计与问题提出

《课标（2022年版）》在教学建议中强调，强化情境设计与问题提出，“注重创设真实情境、重视设计合理问题”[1]87.本课例通过操场跑道这个生活实际问题，引导学生创设圆形、黄金矩形、正方形跑道等熟悉的生活情境，这个探究过程符合《课标（2022年版）》在学业质量描述中强调的“从学生熟悉的生活与社会情境中，在经历用数学的眼光发现和提出问题，用数学的思维和语言分析和解决问题的过程中形成模型观念”[1]80的理念.在探究过程中，笔者循序渐进地提出合适的问题引导学生探索真实情境中蕴含的数学知识，从真实情境中提炼有用的数学信息，用数学的方法分析和解决问题.这个过程即弗赖登塔尔的“数学化”过程，“数学化”过程是初中阶段形成和发展模型观念的重要途径.本课例的问题设计根植于真实情境，兼顾到思维含量，基于数学知识本质.采用追问的方式对教师引导5进行补充，推动学生思维层层递进，引领学生探究活动不断深入，揭示概念本质.模型观念核心素养在学生与情境、问题的有效互动中得到提升，其表现出来的知识、能力和态度是在创设的真实情境中领悟和习得的.

4.3模型观念的发展强调“活动”和“过程”

《课标（2022年版）》的理念之一是“实施促进学生发展的教学活动，强调学生的学习是一个主动的过程，动手实践、自主探索、合作交流是学习的重要方式”[1]3.基于上述要求，模型观念的形成与数学建模“活动”密不可分，参与活动的全“过程”是发展模型观念的重要保证.本课例重视学生在独立思考、合作交流后提出问题和假设，引导学生借助试题模型，自己建立相关联的、熟悉的数学模型，并运算求解模型，给予结果解释或赋予实际意义.学生在“活动”和“过程”中经历数学“再发现”的过程，获取数学建模的基础知识、基本技能，感悟数学建模的基本思想，积累数学建模的基本活动经验，如“特殊化”思想，再如保留模型的本质属性，简化数据进行运算，这种抓问题本质的思考方式，可以上升到哲学抓主要矛盾的思辨高度.凡此种种，无不是学生在数学建模“活动”和“过程”中感悟和积累的.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.4：3.

[2]义务教育数学课程标准修订组.义务教育数学课程标准（2022年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2022.8：2.

作者简介刘守文（1983—），男，安徽合肥人，中学高级教师，合肥市数学学科带头人;合肥市教坛新星;发表论文10余篇.

江厚庭（1983— ） ，男 ，安徽六安人，中学高级教师，合肥市骨干教师，合肥市优秀班主任 ;发表论文多篇.