渗透类比思想 理清数学算理

赵振宁

[摘  要] 类比的数学思想是促进新知与旧知的联系，提升学习能力的一种重要手段. 在教学中通过学习活动的开展，使学生通过类比自主学习，自主辨析，理解数学的思想和本质，感悟数学学习的智慧.

[关键词] 类比思想、数学算理、思维生长

数学的学习离不开类比的思想，通过已有的知识经验进行类比和推理，自主学习新知，并进行辨析，提高学习的效率. 计算是数学学习的基础，但是数学计算涉及的种类、符号、运算法则非常多，很多学生会混淆计算法则，导致计算错误. 究其原因在于教学过程中没有采用类比的思想去学习计算法则，学生采用强行记忆的方法进行学习，容易发生混淆，在教学计算的过程中忽视算理，只是通过训练加强学生的记忆，导致做题过程中的错误频出. 笔者听了一堂关于“去括号”的课，结合本人的思考对这一课的教学进行了改进，下面与各位同行进行交流.

教材内容分析

七年级代数学习的一个重要内容就是去括号的计算，在教材内容中通过具体的生活场景进行了引入，“小亮同学暑期勤工俭学售卖废品，计算获得的收入”. 通过列式计算发现是一个比较复杂的多项式计算，计算过程中需要将多项式中的括号去掉，进行化简并计算，由此说明了去括号学习的背景和必要性. 教材中通过具体的数值代入进行计算，列举特殊的值进行尝试，然后通过猜想验证的方法发现运算规律，使学生经历了尝试、观察、猜想和验证结论的过程，得到了运算的规律. 教材内容是通过由具体数值到通用公式、由特殊到一般的归纳或者类比推理的过程，进行概括和总结运算规律的法则的. 通过运算法则的实际运用，引导学生在活动中探究推理的过程，积累数学活动经验，体会从具体算式到符号公式的推理过程，激发数学知识的生长点，发展学生思维品质[1].

教学设计与改进策略

1. 创设生活情境，吸引学生注意力

示例1  在暑假的职业体验活动中，小亮从每户家庭以每斤0.4元的价格收购废品，以每斤0.5元的价格卖出了b斤（b≤a）废品，剩余的废品以每斤0.2元的价格卖给了社区废品回收处，请问小亮获利多少元？

提出问题：列出多项式-0.4a+0.5b+0.2（a-b），可以继续进行化简计算吗？

设计意图：创设生活中的情境，进而得到一个含有括号的多项式，使学生认识到学习去括号计算的必要性，为接下来的学习做好铺垫. 通过情境导入，学生能够自然地融入，体会到去括号计算在生活中的使用非常广泛，也展示出了本课的主要学习内容以及了解了为什么要学习这一内容.

设计不足：实际教学的时候发现导入的问题情境，很多学生无法解决，没有能列出准确的算式，导致后续的活动无法开展. 情境创设的目的无法顺利达成，这就表明这个问题超出了大部分学生的实际水平，也显示了教师没有能准确地估计到学生的学习程度，一些学生需要教师的帮助才能列出算式. 这个问题需要学生由生活化的问题抽象出数学模型，进而解决问题，在一开始的教学就提出这种难度的问题，很容易一下子让学生感觉到困难，从而影响了接下来学习的积极性，影响到课堂的实际教学效果.

改进设计：

计算：（1）+

+;（2）-

+;（3）3+（a-2）;（4）a-（a-2）.

改进意图：本课的学习重点是学习去括号的运算法则，其本质是在数字运算的基础上探究符号的运算. 数字计算具有很多类似的地方，运算的法则也相类似，因此可以让学生在计算的基础上进行观察和类比. 例2中的四个运算式，第（1）、（2）题是具体数字的运算，学生较为熟悉，可以运用之前学过的运算法则通过先计算括号内，再进行运算，也可以把括号去掉后再进行计算. 这里的计算是通过减法的运算法则，即a-b-c=a-（b+c），通过计算的过程，学生可以感受到去括号计算和先计算括号内再进行计算，两种方式计算的顺序是不一样的，以此感受到去括号可以使运算简便，提高运算的速度，是数学运算的需要. 第（3）、（4）题以代数式的形式出现，让学生思考是否可以直接去掉括号进行计算，在前面计算数字的基础上，感受去括号的相同方法，符合學生的认知特点，引发学生对数式去括号的认知冲突，感受去括号计算的必要性. 在这里可以逐步介绍改变运算顺序的重要性，以及括号和括号前符号的功能，使学生认识到要将括号内的代数式看作一个整体，加或者减括号内的整体，为下一步归纳去括号的运算法则奠定基础.

2. 探究过程

示例2  填表

[a b c a+（-b+c） a-b+c a-（-b+c） a+b-c 5 2 -1 -6 -4 3 -9.5 -5 -7 ]

观察表格，你发现什么规律了吗？可以自己随意想几个数验证一下.

设计意图：探究新知的过程设计了一个填表的教学活动，学生通过使用具体的数字进行代入计算，用最后的计算结果作为依据，发现结果之间的联系，进而猜想结果：a+（-b+c）=a-b+c、a-（-b+c）=a+b-c，由数字到字母，体会数和式之间的联系，经过充分的验证，证实了学生的猜想，锻炼了逻辑推理能力，学会了如何从具体的数字中进行归纳和概括，发展了学生的数学思维能力.

设计不足：学生在实际计算当中，填表花了很长时间，甚至出现计算错误，导致计算结果不一致的想象，使得接下来的发现规律，总结归纳的探究非常不顺畅. 探究过程的不顺利反映出教师在课前的预设不够充分，以致没有有效生成，偏离研究的主题. 重新观察这项探究活动的实施，总体的意图是非常好的，但是填表计算涉及到之前学习的求代数式的值，是学生代数学习中的易错点，特别表现在代入时的规范计算、符号处理等等，而这张表格当中还涉及的数字运算是非常复杂的，并且数字也非常多，实际有十几道计算题的计算量，而且还要再换几个数值进行计算，其运算量和难度是非常大的，这也是导致探究新知的活动推进不够顺利的原因.

改进设计：完成表格

观察表格，你发现了什么呢？

改进意图：探究活动除了要思考如何调动学生的思维，进行新知的探索之外，还要注意活动的时间、学生的完成度、可操作性等等，才能保证探究活动的效果. 因此根据实际操作中的问题进行了一些改进，把原来十几题的计算量减少了，数字也变得简单一些，这样可以有效保证活动有充足的時间，也能提高计算的正确率和计算速度，保证每位学生都有能力参与探究活动，关注到所有学生的发展，而对于计算速度快的学生可以多尝试几个数，能够主动发现规律，进行猜想a+（-b+c）=a-b+c、a-（-b+c）=a+b-c.

3. 理解算理

示例3  回忆乘法分配律的知识，你能使用乘法分配律进行验证吗？

（1） a-（-b+c）

=a+（-1）（-b+c）

=a+（-1）（-b）+（-1）（+c）

=a+b-c

（2）

=a+（-b+c）

=a+（+1）（-b+c）

=a+（+1）（-b）+（+1）（+c）

=a-b+c

设计意图：这个环节是回忆旧知，利用学生已经学习过的乘法分配律进行应用，在应用过程中可以进行联想并证明，以此使学生感受数学的类比和推理思想，提高学习效率.

设计不足：学生在实际进行验证的时候不能自主完成，与教师的预设相去甚远. 不禁反思是不是学生对于乘法分配律的掌握不扎实呢？为何无法有效完成验证呢？仔细分析不难发现：一是乘法分配律与要验证的代数式之间的关系不够明朗，比较隐蔽，学生难以发现其中的联系;第二乘法分配律和验证的数式之间都有相同的符号a，影响了学生的建模，所以就很难完成验证[2].

改进设计：计算a+2（a+b），a-3（a-b），再验证a+（-b+c），a-（-b+c）.

改进意图：本例的改进主要是通过类比辨析让学生感受到乘法分配律的应用，两个计算式看起来类似，不同点主要是在于系数不同，首先进行具体计算，再进行验证，这样就使学生对于去括号是特殊乘法分配律的应用能够顺其自然地获得认知，理解了去括号计算的算理，为学生思维的发展搭建了“脚手架”.

4. 总结法则

示例4  教师引导学生一起归纳本课学习的计算法则.

设计意图：通过总结概括让学生进一步生成对运算法则的理解.

预设不足：在总结归纳时发现学生很难用语言进行概括，即便在教师的帮助下理解和识记也非常困难，基本是教师强行灌输下去了，没有起到应有的效果.

改进设计：请学生用自己的语言表达a+（-b+c）=a-b+c，a-（-b+c）=a+b-c的特征. 经过运算定律的验证之后，再次引导学生用语言概括去括号的特征，通过比较观察和辨析，从感性的直观认识上升到理性的规范，真正理解所学到的运算法则.

改进意图：教学过程中对于去括号运算法则的概括就是对代数式符号化的概括，在教学过程中，引导学生注意括号前符号的变化与不变，发现去括号计算的实质，使学生加深对运算法则的认识，并能自觉形成如何计算的步骤和法则，获得事半功倍的效果.

5. 板书设计

示例5  将本课所学的重点知识进行板书.

改进设计：如图1

改进意图：用框架结构的形式对本课的知识点进行总结，使学生能够直观地看到运算法则生成的过程，理解去括号运算的本质，并且能够再次明晰探究这一法则的过程，真正提升运算的能力，使学生深刻理解去括号的运算法则和其中的算理.

改进设计的认识

1. 提高计算能力，发展符号思维满足符号教学的要求

数学符号是数学中的重要使用工具，每一个数学符号都有着特定的意义，因此学生理解数学符号的意义是学习数学的基本能力要求. 那么什么是符号意识呢？符号意识在数学学科中首先表现为能够利用符号表示数以及数量关系和数字的变化规律. 学会使用符号进行计算和推理，能够利用符号总结一般性的结论等. 数学符号的本质是对数学学习的抽象化的结果，在教学中数学符号具有广泛而不可替代的作用. 其中运算符号是学生比较熟悉的一类符号，主要是规定了如何计算，如+，-，×，÷，，sin，cos等. 综合符号则是指在计算中可以改变运算顺序一类的符号，如（），[]等. 因此，去括号计算实际上是一种化简运算. 学生在之前的计算学习中已经具备了不少的符号化简的经验，如+（-5），-（-5），--3，7-（-3），（+4）×（-5）等代数式的符号化简. 本课学习的去括号计算是有关括号计算的进一步学习，是数学符号学习的一次补充和拓展，因此教师要在教学中给学生渗透括号事实上是一种综合性数学符号的思想，在数学计算中具备调整运算顺序的作用，而根据运算法则和算理要将括号看作一个整体. 学生理解了数学符号的实质对于如何进行符号化简就有了更深的理解，为学习如何进行去括号的运算打下了基础. 在教学设计时突出教学主体，发展学生的符号意识，是提升学生综合素养的有效途径，可以提高学生的运算能力，落实学科素养的要求.

2. 探究类比有效促进数学学习的生长点

从学生最初学习的数字运算到代数式的运算，是运算对象的推广和拓展，代数式的运算可以说是一种特殊的数字运算，因此两者是可以进行转换的. 代数式的计算是建立在数字计算基础上的学习，是数字运算的抽象表达，其中涉及的符号运算更加抽象和复杂，有利于提高学生的运算能力和抽象概括能力. 学生运算能力的提高是一个长期的过程，需要在数学知识的不断丰富中逐渐形成. 数学概念的学习、数学技能的运用都是为数学计算的学习助力. 而计算能力的形成一般都需要经历从具体到抽象、从常量到变量、从单向思维到多向思维的发展过程. 改进后的教学设计主要是从数的计算进行探究，符合学生的认知规律和认知习惯，围绕学生运算能力慢生成的特点，运用类比思想，由具体到抽象，由法则到数理，逐渐深化，理解数学本质，促进了数学知识的生长[3].

3. 符号学习促成数学智慧的生成

课堂教学的核心是学生如何学，因此教学设计不仅要关注教的内容更要关注学习者的学情. 本课在探究活动中从研究学情出发，通过类比的方法由数的运算类比符号的运算，便于学生自然地理解去括号的运算法则和算理. 去括号的计算实际上就是符号计算的一种化简，因此在教学中要着重引导学生理解符号运算的实质，使学生能够通过运算方法自然理解运算算理和法则.

综上所述，在教学设计中应从学生的理解出发，围绕去括号计算的主题，以学生的最近发展区为基础，选择合适的内容，引导学生类比思考，促进学生思维的生长.

参考文献：

[1]冯爱银. 借图式之力 促教学之效——基于图式理论的数学教学探讨[J].中学数学教学参考，2015（22）：22-24.

[2]潘忠. 初中数学教学中“变式训练”的几个案例[J]. 科学大众（科学教育），2011（10）：9.

[3]常磊，鲍建生. 情境视角下的数学核心素养[J]. 数学教育学报，2017，26（02）：24-28.