一道2022 年全国数学联赛题的探究与思考

华南师范大学数学科学学院(510630) 洪森鸿

1 试题分析

题目(2022 全国数学联赛A 卷第11 题)在平面直角坐标系中, 双曲线. 对平面内不在Γ 上的任意一点P,记ΩP为过点P且与Γ 有两个交点的直线的全体. 对任意直线l∈ΩP,记M,N为l与Γ 的两个交点,定义fP(l) = |PM|·|PN|. 若存在一条直线l0∈ΩP满足:l0与Γ 的两个交点位于y轴的异侧,且对任意直线l∈ΩP,l̸=l0,均有fP(l) >fP(l0),则称P为“好点”. 求所有好点构成的区域的面积.

分析《全国数学联赛教学大纲》指出“要培养学生对数学的兴趣,激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性”.历年的全国数学联赛试题在考查学生深层次逻辑思维和运算能力上有着重要作用,对基础较好的学生的习题学习也有着重要的教学价值. 此题选自2022 年全国数学联赛A 卷的11 题,相对于加试题而言,其难度和技巧性中等偏上. 题目的求解关键在于利用条件将问题转化为由过P点的直线斜率决定的模长乘积最值问题. 本文从题目解法角度探究圆锥曲线的蕴含性质.

图1

点评处理与圆锥曲线相关的线段模长问题,比较通用的方法便是使用韦达定理和弦长公式直接进行求解运算. 抓住在异侧存在交点时|PM|·|PN|取得最小值这一关键点,进一步讨论k的取值范围与∆的关系是这一题的最终突破点,这值得深入领会.

2 性质探究

2.1 两条过P点的垂直弦性质探究

图2

2.2 n条过P点的相交弦性质探究

3 总结

全国数学联赛试题对于提升学生数学问题解决能力和训练数学思维有着重要的教学价值,基于解法的性质探究一方面能够加深学生对解法的理解,另一方面也拓展学生的思维与知识面. 数学探究能够使得学生在遇见新的问题时候可以灵活从容应对.