对一道抛物线平行弦模考题的探究

广东省中山市桂山中学(528463) 蔡晓波

一、题目再现

题目(深圳市2021 届高三第二次调研考试第21 题)在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,P是直线x= −2上的动点, 过P作两条相异直线l1和l2, 其中l1与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,l2与C交于M,N两点,记l1、l2和直线OP的斜率分别为k1,k2和k3.

(1)当P在x轴上,且A为PB中点时,求|k1|;

(2)当AM为∆PBN的中位线时,请问是否存在常数µ,使得? 若存在,求出µ的值;若不存在,请说明理由.

评注该题属于压轴题,具有一定的难度. 第一问较为简单,其解答从略. 我们着重对第2 问进行解法与结论的探究.

二、解法探究

图1

图2

评注这是深圳二模当时给出的官方答案,该解题过程的主要难点在于有一定的计算量,而计算量来自于直线代入抛物线以及由方程①②③得出的过程,而这些计算量皆是由直线l1,l2方程的复杂性引起的. 为了降低复杂度,我们不难想到如果以P为原点重新建立直角坐标系,则直线l1,l2的方程可以简化,因此我们可得如下解法2.

解法2设P(−2,y0),以P为新坐标原点O′,过P平行于x轴且与x轴同向为x′轴,平行于y轴且与y轴同向为y′轴如图2 建立新的直角坐标系x′O′y′,易知抛物线C的方程为: (y+y0)2= 4(x−2),原来的坐标原点O(2,−y0),P(0,0)

评注解法2 利用坐标的平移变换使得计算量下降,当直线方程过于复杂(尤其是过普通点的点斜式方程时),则代入曲线时会带来不少的计算量,而坐标的平移变换会让直线便为过原点的直线,从而使得直线易于代入曲线方程.

实际上, 由AM为∆PBN的中位线我们不难得到AM//BN,结合点差法的思想,我们不难得到如下更加巧妙的解法:

评注解法3 利用了中点弦问题中常用的点差法思想,避免了直线代入曲线方程的复杂计算,此解法具有一定的巧妙性.

三、抛物线平行弦的若干结论

上述解法3 中,我们不难发现,如果把题目中的“AM为∆PBN的中位线”改为“AM//BN”结论仍然成立.

那么对于本题,如果把“AM为∆PBN的中位线”改为“AM//BN”,对任意的抛物线结论是否依然成立呢? 本题的本质又是什么呢? 笔者探究得出一些结论.

在给出相关结论之前,我们先来看2 个引理:

引理1在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,A,B,M,N为抛物线C:y2= 2px上不相同的四点, 且AM//BN,设AM,BN的中点分别为D,E,则直线DE垂直于y轴.

类似于解法3 的证明过程可得引理1 的证明,故这里不再赘述.

引理2在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,P是不在抛物线C:y2= 2px上的任意一点, 过P做直线l交抛物线于A,B两点, 且, 则有且仅有另外一条不同于l的直线l1,使得l1交C于M,N,且.

证明设点P的坐标为(x0,y0), 类似于上述解法2以P为新坐标原点O′重新建立直角坐标系可得: 抛物线C的方程为: (y+y0)2= 2p(x+x0), 原来的坐标原点O(−x0,−y0),P(0,0). 依题意可知直线l的斜率不可能为0,故设直线l的方程为:x=my,A(x1,y1),B(x2,y2), 因为,故y1=ty2. 由可得:

利用韦达定理可得关于m的方程:

由P是不在抛物线C上可知t0,故方程⑥为关于m的二次方程,此时.

(1)当P在抛物线C的内侧时,显然,此时A,B必在点P两侧,故t<0,又因为t−1,故∆>0.

(2)当P在抛物线C的外侧时,显然,此时A,B必在点P同侧,故t>0,故∆>0.

因此方程⑤有且仅有两个解, 因此存在一个不同于m的另一个解,即有且仅有另外一条不同于l的直线l1,使得l1交C于M,N,且.

结论1在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,P(x0,y0)是不在抛物线C:y2= 2px上的动点,过P作两条相异直线l1和l2,其倾斜角的余切值分别为m1,m2,其中l1与抛物线C交于A,B两点,l2与C交于M,N两点(P不为AB或MN的中点),则AM//BN或AN//BM的充要条件是:.

证明以P为新坐标原点O′,类似于上述解法2 以P为新坐标原点O′重新建立直角坐标系可得: 抛物线C的方程为: (y+y0)2= 2p(x+x0), 直线l1和l2的方程分别为x=m1y,x=m2y(平移坐标系不改变直线的倾斜角).

结合解法2 和引理2 的分析过程不难得出必要性的证法,故这里不再赘述.

在结论1,我们不难发现,当y0为定值时,此时m1+m2也为定值,由此可得相关推论,另外,如果进一步让还可以得到m1+m2=1 的更加特殊的推论,相关推论请读者自行总结.

在结论1 中,当P的横坐标时,则,而具有明显的几何意义,它就是OP的斜率,因此我们可得如下推论:

推论1在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,P是不在y轴上且不在抛物线C:y2=2px上的动点,过P作两条相异直线l1和l2,其斜率分别为k1,k2,其中l1与抛物线C交于A,B两点,l2与C交于M,N两点(P不为AB或MN中点),点P的横坐标为x0,则AM//BN或AN//BM的充要条件是:.

在推论1 中,如果令x0=−2,p=2,则其必要性便为深圳市2021 届高三第二次调研考试第21 题的结论.

对于推论1 中,如果l2垂直于x轴时,此时m2为0,则可以得到更加特殊的推论,相关推论由笔者自己总结.

结论1 中,P不为AB中点且不为MN中点,因为由引理2 证明过程可知,当P是为AB或MN中点时l1与l2重合,那么当P为AB中点时有何类似于结论1 的结论呢? 探究可得:

结论2直线l交抛物线C:y2= 2px于A,B不同两点,且直线l的倾斜角的余切值为m,P为A,B的中点,且P的纵坐标为y0,则.

该结论较易证明,这里不再赘述. 结论2 可以看成是对结论1 的补充,也可以看成是结论1 的极限情况.

结论1 告诉我们, 抛物线中任意两条平行弦可以构成一个梯形, 该梯形的两条腰所在的直线的倾斜角的余切值之和与弦中点纵坐标成正比, 比例系数为; 显然,该梯形的两条对角线所在的直线的倾斜角的余弦值也满足这个关系. 梯形的两条腰会交于一点,两条对角线也会交于一点,且由引理1 结合平面几何知识可知这两个交点的纵坐标与弦中点纵坐标是相等的,那么这两个交点的横坐标有什么关系呢? 笔者探究之得出如下结论:

图3

结论3在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,A,B,M,N为抛物线C:y2= 2px上不相同的四点, 且AM//BN,设直线AB与MN于P,AN与BM于Q,P,Q的横坐标分别为xP,xQ,P的纵坐标为y0,则.

根据结论3,我们容易得到如下推论:

推论2在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,A,B,M,N为抛物线C:y2= 2px上不相同的四点,AM//BN且AM不垂直于x轴, 设直线AB与MN于P,AN与BM于Q,若直线OP与OQ的倾斜角的余切值分别为m1,m2,P的纵坐标为y0,则.

对于推论2中, 我们不难发现, 若y0为定值a时, 则m1+m2为定值,此时点P恒在定直线y=a上运动,故可以另一个推论,该推论由读者自己完成,这里不再赘述.

推论2 与结论1 的必要性从形式上看十分相似,很好的体现了数学美;结合这2 个结论,我们可得如下结论:

结论4在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,A,B,M,N为抛物线C:y2= 2px上不相同的四点,AM//BN且AM不垂直于x轴, 设直线AB与MN于P,AN与BM于Q, 若直线OP,OQ,AB,MN,AN,BM的倾斜角的余切值分别为m1,m2,m3,m4,m5,m6, 则有m1+m2=4(m3+m4+m5+m6).

相关证明过程由读者完成.