一道预赛题的解法探究与变式推广

安徽省芜湖市第一中学(241000) 刘海涛 聂 坤

1 问题呈现与分析

题目1(2021 年全国高中数学联赛福建省预赛第12 题)已知椭圆的离心率为,A1,A2分别是椭圆C的左、右顶点,B是椭圆C的上顶点,F1是椭圆C的左焦点,且∆A1F1B的面积为.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设过点D(1,0)的直线l交椭圆C于E,F两点(点E在x轴上方),M,N分别是直线A1E,A2F与y轴的交点,求的值.

分析该题椭圆的简单几何性质,直线与椭圆的位置关系等知识,考查了学生分析、解决问题的能力及转化与化归、数形结合等数学思想,体现了逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养. 第(1)问求椭圆方程,属于常规问题,答案是,此处不再赘述;第(2)问求线段比值,看似结构简单实则内涵丰富,有着很深的命题背景,笔者通过对该问的解法探析及变式推广,揭示该问的命题背景.

2 多解探析与解法评注

评注从目标式入手,将问题转化为M,N两点纵坐标比的绝对值, 设M(0,m),N(0,n),得到直线A1M,A1N的方程, 与椭圆方程联立得到E,F两点坐标(用m,n表示),最后利用向量共线表示D,E,F三点公式,得到2m+n= 0,问题顺利解决. 这时,若我们大胆尝试,过点D作x轴的垂线l′:x= 1,设l′分别与A1E,A2F交于P,Q两点, 则有,由2m+n=0,得|DP|=|DQ|,这便是著名的蝴蝶定理.

图1

一般地, 当我们遇到这样的情形可考虑双直线方程法,圆锥曲线C上三点A,P,Q,其中A为定点(一般为曲线C与坐标轴的交点),P,Q为两动点,已知直线PQ过定点,求直线AP,AQ斜率积(或和)为定值;或已知直线AP,AQ斜率积(或和)为定值,求直线PQ过定点. 双直线方程法的步骤:

(1)写出直线AP,AQ的点斜式方程y−y0=k1(x−x0),y−y0=k2(x−x0)(其中(x0,y0)为点A坐标,k1,k2为直线AP,AQ的斜率);

(2)写出双直线方程[y−y0−k1(x−x0)][y−y0−k2(x−x0)] = 0,与曲线C的方程联立,得到A,P,Q三点满足的曲线系方程;

(3) 将步骤(2) 中的曲线系方程因式分解出x−x0(或y−y0),余下即为直线PQ的方程,若已知k1+k2(或k1k2)的值,则可求出直线PQ所过定点坐标;若已知直线PQ所过定点坐标,则可求出k1+k2(或k1k2)的值.

3 一般化推广,挖掘命题背景

4 变式迁移,解法巩固

4.1 对非对称结构处理方法的练习

4.2 对双直线方程法的练习