由一道试题探究圆锥曲线的一组线段中点性质

北京市第十二中学(100071) 周 瑾 刘 刚

1. 试题与解答

2. 推广

由以上性质可以得到圆锥曲线的一个统一性质:

性质4已知L是圆锥曲线ω的一条对称轴,E是L上不同于顶点的一点,E关于圆锥曲线ω的极线是l1,直线l2与L垂直,过点E作与L不重合的直线l交圆锥曲线ω于点A,B(A,B异于l2,L与ω的交点),交l1于点P,过点P作l2的垂线,垂足为Q,直线AQ交L于点C,直线BQ交L于点D,则E是线段CD的中点.

证明如图,以椭圆为例,连接QE, 因为E关于圆锥曲线ω的极线是l1, 所以P,B,E,A是调和点列, 即QP,QB,QE,QA是调和线束. 因为L//PQ,L∩QA=C,L∩QE=E,L∩QB=D,所以E是线段CD的中点.