管状结构内电磁传输特性理论研究*

吴 昊 苏新彦 姚金杰 李嘉浩

（中北大学信息探测与处理山西省重点实验室 太原 030051）

1 引言

电磁场在人类社会进步以及科技发展中起着至关重要的推进作用，由于电磁波可在传播过程中完成信息探测和能量传递的特点，使电磁波在军事领域、工业生产领域都得到了广泛应用，如使用雷达进行非接触式膛内弹道信息获取，通过分析其膛内运动姿态进行火炮性能评估；在进行机械生产时，某些密闭高压区域需要使用电磁设备进行信息获取，譬如特殊金属管状结构内信息检测等。

针对各类场景的电磁理论也日渐完善，J.Rayleigh［1］和H.Lamb［2］研究了无约束条件下弹性波在各向同性板中的传播特性，开启了导波技术理论研究的序幕。J.Ghosh［3］求解了导波在空心圆柱中的传播，得到了纵轴对称模态的数值解，但他缺少数值分析，也没有验证所得结论正确性。Jing Mu［4］用半解析有限元（SAFE）方法求解了带粘弹性涂层的自由空心圆柱中的导波传播，给出了轴对称和弯曲模态的导波频散曲线和衰减特性。孙继平［5］用金属波导法分析了电磁波在隧道中的传播特性，给出了不同截面形状隧道衰减的近似计算公式。刘满堂［6］分析了短波通信的传输特性，并给出了短波信道传播损耗计算模型。王玉龙［7］通过分析微波在输气管状结构中的传输衰减规律，计算出微波在管状结构中的传输距离，实现远距离微波加热。由于现有对管状结构内电磁研究大多集中于隧道、矿井等且没有准确数值，针对雷达波在特殊管状结构环境（火炮、液压缸等）内的传输特性研究还未见相关报道。

当使用雷达用于管状结构内的目标探测时，在复杂工作环境下，电磁波传输收到很大限制，主要影响因素有管状结构横截面半径、管状结构长度、传输介质和工作频率等。本文的研究重点是分析电磁波在金属管状结构内的传输特性及在环境中传输的衰减特性，为分析管状结构内物体运动情况及设计管状结构内特制雷达系统提供理论支撑。

2 管状结构电磁波传输建模

2.1 管状结构内电磁波传输基本理论

根据实际情况，建立如图1 所示圆柱坐标系，管状结构半径为a，选定电磁波沿z轴方向传播。

图1 圆柱坐标系

假定在图1 所示均匀圆柱体内的电磁场为时谐场，电磁波沿轴向（z轴方向）传播时，其内的场分布满足复数形式的亥姆霍兹方程［8］：

其中∇2为拉普拉斯算子，k2=ω2με为电磁波波数，μ为磁导率，ε为介电常数，另假设圆柱体内场量表达式：

其中γ为传播常数，当圆柱体内没有场源分布，不存在自由电荷和传导电流，场分布满足复数形式的亥姆霍兹方程，已知圆柱坐标系下：

其中t方向与导波传播方向垂直，将式（1）到式（5）联立求解可以得到：

同理可得：

将式（7）、式（8）在圆柱坐标系下展开成标量形式并整理，得到4 个横向量分量Eρ、Eφ、Hρ、Hφ与纵向分量Ez、Hz之间的关系如下：

把Ez=P(ρ)Q(φ)e-γz带入式（7）、式（8），通过分离变量法［9］得到

式（13）的解P(ρ)与的取值有关，其通解如下：

式中，Jm(kc ρ)是以kc ρ为自变量的m 阶第一类贝塞尔函数，Nm(kc ρ)是以kc ρ为自变量的m 阶第二类贝塞尔函数；Im(kc ρ)和Km(kc ρ)则分别是与Jm(kc ρ)和Nm(kc ρ)相对应的m 阶第一类和第二类修正贝塞尔函数。上述各类贝塞尔函数的曲线如图2所示。

图2 贝塞尔函数

从图2（a）、（b）可以看出第一类、第二类贝塞尔函数Jm(kc ρ)和Jm(kc ρ)为振荡型，主要分布于有限半径区域。从图2（c）、（d）可以看出修正贝塞尔函数Im(kc ρ)和Km(kc ρ)则为非振荡型，主要分布于无限半径区域。

因此，可以得到圆柱坐标系中Ez的一般解为

同上，圆柱坐标系中Hz的一般解为

式中的A1，A2，B1，B2均为待定系数。三角函数sinmφ、cosmφ与激励源有关。待定系数A1，A2，B1，B2的值与激励源强度有关，贝塞尔函数的解与截止波数kc、传输结构以及边界条件［10］有关。

2.2 传输模式与截止频率

圆柱形管状结构内电磁波可分为两种模式，即横电波（TE 波）与横磁波（TM 波），且不存在TEM波。

对于TM 波，即不存在纵向磁场分量，即Hz=0，所以Ez满足的方程和边界条件如下：

通过分析贝塞尔方程曲线，可以得到纵向梁分量Ez只满足第一类贝塞尔方程，即：

由边界条件Ez|ρ=a=0 得到截止波数kc：

式中，μmn为Jm(kca)=0 的根，表示m阶第一类贝塞尔方程的第n 个零点。m、n 选取整数值的不同，对应的μmn也就不同，一个μmn的值对应一个TM 模式，记作TMmn，其截止波长的计算公式为

其中μmn的部分值如表1所示［11］。

表1 TM模的μmn 部分值

对于TE 波，不存在纵向电场分量，即Ez=0，所以Hz满足的方程和边界条件如下：

同理得到：

式中一个的值对应一个TE 模式，记作TEmn。其中的部分值如表2所示［11］。

表2 TE模式的 部分值

表2 TE模式的 部分值

m=0 m=1 m=2 m=3 n=1 3.832 1.841 3.054 4.201 n=2 7.016 5.332 6.705 8.015 n=3 10.174 8.536 9.965 11.344 n=4 13.324 11.706 13.107 14.586

TMmn模式波和TEmn模式波在圆柱体中传播特性由传播常数γ确定。截止频率fc和截止波长λc计算公式为

当电磁波的工作波长λ小于截止波长时λc，该截止频率或截止波长所对应模式的电磁波便可在圆柱体内传播。通过对圆柱体内不同模式截止波长大小的计算，可以得到各模式波截止波长分布图如图3所示。

图3 部分模式波截止波长分布图

TE11作为圆柱体传播的的主模，是最低截止频率模式，它的截止波长λc最大，约为3.41a；TM01则为最低型的高次模，约为2.613a；当传输波长大于3.41a 时，此时处于截止状态，没有模式可以传播，当传输波长在2.613a 与3.41a 之间时，处于单模工作区，此时只能传播TE11主模，当传输波长小于2.613a 时，此时为多模工作区，传输波长越短，则能传输的波形越多。

3 管状结构电磁损耗建模

在管状结构内，当电磁波进行传输时，主要受管状结构半径、传输距离、工作频率，以及管壁粗糙度和多径效应等影响。由于电磁波在管状结构内内传播时，电场与磁场均呈指数倍衰减［12］。结合实际情况，构建如图4所示模型结构。

图4 管状结构截面图

在图4 所示的平面圆形管状结构中，管状结构内壁半径为a1，管状结构外壁半径为a2，管状结构内磁导率为μ1，介电常数为ε1的传输媒介，管状结构本身是由磁导率为μ2，介电常数为ε2的有损材质构成（一般为钢材），管状结构长度为d。根据传输损耗的定义，即输出功率与输入功率之比值，可以定义损耗公式：

式中L 为传输损耗比值，P 为d 点远处的接收功率，P0为发射功率，d 为传输距离，α为衰减常数。衰减常数α由导体衰减常数αc和介质衰减常数αm构成。当管状结构内电磁波传输存在TE 和TM 两种模式时，导体衰减常数表示为［13］

式中：Rs为管壁表面阻抗，a 为管状结构半径，μ2为导体磁导率，ε2为导体介电常数，λ为传输波长，μmn和μ'mn分别为第一类贝塞尔函数与第一类贝塞尔函数导函数的解。

针对实际的工程问题，当电磁波在管状结构内传播时，电磁波波长远小于管状结构深度，由于电磁波工作在受限空间内，所以会受到管状结构壁影响，因此导体衰减常数会随管壁粗糙度相变化，当前解决粗糙面散射的方法有基尔霍夫近似法和微扰法等［14～15］，通过文献［16］，得到受管壁粗糙度影响下的衰减常数与理想导体下衰减常数的关系式：

式中：α'c为考虑管壁粗糙度后管状结构内电磁波衰减常数，Δ 为管状结构管壁内表面均方根高度，为趋肤深度，与电磁波频率f和导体电导率σ2有关［17～18］。

当管状结构内存在多模传输时，接收到的电磁波将是各种模式波相累积，因此导体衰减常数αc将由以下公式计算：

当金属管状结构内填充有损介质时，不仅存在由金属管壁引起的导体损耗，同时还将存在由填充介质引起的介质损耗，并且，当填充介质不是弱导电媒质时，由于填充介质产生的介质损耗将会远大于管壁引起的导体损耗，成为传输过程中的主要衰减因素。管状结构内介质的衰减常数αm可近似为［19］

式中：μ1为媒质磁导率，ε1为媒质介电常数，σ1为媒质电导率，f为工作频率，且为损耗角正切。由此我们可以得到计算传输损耗值（单位：dB）的公式为

由于电磁波传输是朝四周扩散的，所以电磁波在受限空间内传输时，还会产生多径效应，但是由于其不确定性以及复杂性，这里暂不讨论。

4 仿真验证

4.1 管状结构电磁分布仿真

通过第一部分理论分析，可以知道电磁波在低损耗媒质或无损媒质中沿轴向呈正弦型的波动变化［20］，如图5所示。

图5 电磁波传输状态

根据电磁场的基本概念可知，如果空间内存在周期性变化的电场，则在其周围产生周期性变化的磁场。通过Ansys Electronics Suite仿真软件构建半径为30mm，长度为500mm，材质为特制钢的空心圆柱体，其内填充介质为空气时，得到其电磁场分布如图6所示。

图6 电磁场分布图

通过图6 可以清晰地观察到管状结构内电磁场的分布情况，其中图6（a）为管状结构内电场分布图，可以看到电场大小波动呈周期性变化，且符合正弦型变化规律，同时通过图6（b）可以看出管状结构内磁场随电场进行周期性变化。总体而言，与管状结构内场量分布理论相吻合。

4.2 理论数值与仿真对比

当电磁波通过发射设备进入管状结构时，其衰减损耗主要由入射波在两种介质分界面上产生的损耗和电磁波在介质内传输产生的损耗构成，其中在介质中传输产生的损耗占重要部分，因此分析管状结构的结构变量对传输造成的影响是更为重要的一环，其中主要包括管状结构半径、传输距离以及管状结构内填充介质等在内的一系列可变因素。

针对实际工程需要，电磁一般工作在特种钢制身管内，身管半径在30mm～100mm 及以上不等，长度一般在500mm 以上，通过电磁仿真软件进行建模并提取仿真数据作图，当管状结构半径为30mm，传输距离为500mm 时，其工作频率与传输衰减关系图如图7所示。

图7 频率与衰减损耗值关系图

从图7 可以看出，当工作频率在1GHz～3GHz区间时，由于传输波长大于3.41a，其损耗值大于-70dB，此时几乎处于截止状态。因此，后续仿真所选定电磁波的中心频率为10GHz。在常规工作环境中，特种钢制管状结构其电导率σ为1.8×106S/m，磁导率μ为4π×107H/mm ，当管状结构内无任何填充介质且为空气时，其介电常数ε为8.85×10-12F/m ，管壁表面阻抗Rs为1.702，当管状结构半径在30mm～80mm 变化时，传输距离为500mm 时，传输损耗随半径变化曲线如图8（a）所示。当传输距离在500mm～1000mm 变化时，管状结构半径为30mm 时，传输损耗随距离变化曲线如图8（b）所示。图中由圆形点所连成的曲线是由Ansys Electronics Suite 仿真软件所得数据点，由方形点所连成的曲线是把变量值带入衰减损耗公式后计算得到，由星形点构成的曲线是仿真数值与理论数值的差值，反映出理论计算与仿真之间的差异值。

图8 空气介质中传输损耗关系图

图8（a）中x 轴为管状结构半径，y 轴为传输损耗值，可以看出当管状结构半径增大时，损耗值呈抛物线式减小，造成这种现象的主要原因是因为随着管状结构半径的增大，电磁波收到管状结构壁的影响越来越小。图8（b）中x 为传输距离，y 轴为传输损耗值，随着传输距离的逐渐变远，传输损耗值按照0.1dB/m 直线式增大。因此，当环境变量为固定不变值时，管状结构半径越大，传输损耗越小；传输距离越远，传输损耗越大。

从图8 中可以看到理论计算与仿真之间有一定的差异值，且差异值为0.02dB 左右，这是因为在进行理论计算时没有考虑到由于多径效应所产生的影响。

在实际工程应用中，当管状结构内填充介质为工程油液时，其相对介电常数ε一般在1 到6 之间（本次取2.1），相对磁导率为1，电导率σ一般为1.0×10-4S/m。当管径在30mm 到100mm 变化时，传输距离为500mm 时，传输损耗随半径变化曲线如图9（a）所示。当传输距离在500mm 到1000mm 变化时，管状结构半径为30mm 时，传输损耗随距离变化曲线如图9（b）所示。

图9 工程油液介质中传输损耗关系图

通过图9（a）与图9（b）可以看出，在工程油液介质中电磁传输损耗规律与在空气介质中相同，随着管径的增大，电磁波在工程油液中传输损耗变小，同样的，随着传输距离的变远，电磁波在工程油液中的传输损耗值按照0.2dB/m速度变大。

值得注意的是图9 与图8 结果相对比，当研究介质由空气转变为工程油液时，理论计算值与仿真值之间的差异值在0.1dB 左右，而在空气介质中的差异值为0.02dB，分析其原因，除去多径效应这一个影响因素外，主要可能是由于工程油液中电磁波传输状况更加复杂，存在一些考虑不周的情况。

通过之前的对比分析，可以基本判定管状结构内电磁波传输理论推导的正确性，接下来将通过仿真数据，对比分析当管状结构内填充空气时与填充工程油液时电磁波传输损耗的差异，当管状结构半径在30mm～80mm 变化时，传输距离为500mm 时，传输损耗随半径变化曲线如图10（a）所示。当传输距离在500mm～1000mm 变化时，管状结构半径为30mm 时，传输损耗随距离变化曲线如图10（b）所示。

图10 空气与工程油液损耗对比

从图10 中可以看出，总体上，相比空气而言，在工程油液中，电磁波衰减值更大。通过图10（a）可以看出，随着管径的变大，两种介质下的传输损耗同时呈抛物线式变小；，同时两者的差值趋向于约0.12dB 的稳定值，因此，由于填充介质改变而产生的损耗差值不受管径变化的影响，通过图10（b）可以看出，随着传输距离的变远，两种介质下的损耗同时变大，但是两者的差值从0.12dB 开始逐渐变大，说明在工程油液中，电磁衰减幅度更大，衰减更快，因此，当传输距离改变时，两种填充介质所造成的影响不同，电磁波受工程油液的影响更大。

5 结语

本文首先对管状结构内的电磁环境、传输模式进行了理论分析，并总结出了针对管状结构环境下计算电磁波传输损耗值的理论公式，并通过使用Ansys Electronics Suite仿真软件对其进行建模并仿真。重点分析了传输损耗值与管状结构半径、传输距离以及不同传输介质的关系，通过对比分析，验证了理论的正确性。研究结论表明：随着管状结构半径的变大，衰减损耗值在逐渐减小；随着传输距离的变远，衰减损耗值在逐渐增大；且对比空气衰减值，电磁波在工程油液中衰减值更大，管状结构半径变化对损耗差值几乎无影响，传输距离对损耗差值影响较大。本文研究方法及结论对使用雷达进行管状结构内信息探测和设计管状结构内特制雷达天线系统具有理论指导意义。