巧用“中心”分空地

徐小冬

我们知道三角形的稳定性在生活中被广泛运用，如自行车车架、篮球架、三脚架、斜拉桥等，而平行四边形的不稳定性也大有用处，如电动伸缩门、折叠伞棚、伸缩晾衣架等。平行四边形有三角形所不具备的中心对称性，那么平行四边形的中心对称性在生活中又有什么样的妙用呢？下面，我们通过实例一起感受一下。

例题 如图1所示，甲、乙、丙为小区的三块空地，为美化小区环境，小区物业决定分别将三块空地进行绿化。要求用一条直线将每块空地分成面积相等的两块地，一块用来种花，一块用来种植绿色植被，特邀本小区居民提供设计方案。

爱动脑的小明结合近期所学中心对称图形的相关知识，设计了如下方案。

甲地设计方案：

方法一：利用特殊点或特殊位置（如图3）。特殊点（矩形的顶点）：直线AC或BD；特殊位置（矩形各边中点）：直线EF或GH。

方法二：利用矩形的中心对称性（如图4）。过矩形对称中心的任意一条直线平分矩形面积。

我们不难推断，对于任意的中心对称图形，经过对称中心的任意一条直线平分图形的面积。因此，今后我们平分图形面积时，应先考虑它是否是中心对称图形，如果是，只要找到它的“中心”即可。但在生活实际中，我们遇到的也不都是中心对称图形，对于非中心对称图形的面积平分问题，又该如何解决呢？

乙地设计方案：

对于非中心对称图形，解决问题的关键在于能否将非中心对称图形转化成中心对称图形。

方法一：如图5、图6，利用“割”的方法将非中心对称图形（多边形ABCEFG）分割成两个中心对称图形（矩形AHFG和矩形HBCE或矩形ABIG和矩形FICE），找出两个中心对称图形的“中心”O1、O2，则直线O1O2将原非中心对称图形（多边形ABCEFG）的面积平分。

方法二：如图7，利用“补”的方法将非中心对称图形（多边形ABCEFG）补成两个中心对称图形（矩形ABCJ和矩形EFGJ），找出两个中心对称图形的“中心”O1、O2，则直线O1O2将原非中心对称图形（多边形ABCEFG）的面积平分。

其实，通过“割”或者“补”寻找“中心”的方法具有局限性，即“割”或者“补”所得到的两个图形也必须都是中心对称图形。如果其中一个图形不是中心对称图形，那又该如何解决呢？

如图8、图9，若通过简单的“割”“补”，则无法平分△CFG的面积。我们可以利用本题EF∥BC这个条件，通过“等积”转化，将非中心对称图形转化为中心对称图形。

如图10，过CF中点H作BE的平行线，交EF的延长线于点M，交BC于点N，连接EN、BM，交点为O。∵EF∥BC，H为CF中点，∴△CHN≌△FHM，即S△CHN=S△FHM，∴S四边形BNME=S四边形BCFE。则过O点的任意直线（直线必须与边EF相交）将四边形BCFE的面积平分。

數学源于生活又应用于生活，像小明这样巧用“中心”设计平分空地方案的生活实例还有很多。我们只有学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界，数学学习才会更有价值和意义。

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区白米初级中学）