培养模型意识 发展数学思维

刘小慧

［摘  要］ 数学模型作为沟通数学理论和实际应用的桥梁，在数学学习和生产生活中有着重要的应用. 研究者采用“情境—探究—交流—反馈”的方法带领学生参与一次函数概念形成和一次函数模型建立的过程，有效地培养了学生的模型意识，发展了学生的数学思维，提升了学生的数学素养.

［关键词］ 数学模型；数学思维；数学素养

笔者在教学“一次函数（1）”时，从学生的具体学情出发，运用建模思想引导学生认识函数、理解函数、应用函数，有效地培养了学生的模型意识，提升了学生的数学应用能力. 现将教学过程呈现给大家，仅供参考，若有不足，请指正.

教学分析

1. 学情分析

学习本节内容前，学生已经具备了一些分析量与量之间关系的能力，这就为进一步分析情境中量与量之间的关系、理解和建构一次函数模型奠定了基础. 此外，初中生还具有一定的数学活动经验，所以他们参与课堂的积极性比较高，这有助于生本课堂的展开.

2. 教学目标

（1）借助具体情境抽象出一次函数概念，建构一次函数模型.

（2）理解正比例函数的概念.

（3）借助实际背景，培养学生的探究能力、抽象能力，积累数学建模经验.

（4）感受建模思想、从特殊到一般思想、分类思想等数学思想方法，落实数学核心素养.

3. 教学重、难点

（1）理解一次函数的概念、特点和意义.

（2）建立一次函数模型.

教学实录

1. 借助情境，引入新课

师：前面我们已经学习了函数的概念，对其图象也有了一定的认识，今天我们就开始研究一类具体的函数. 下面我们来看一下几个具体的问题. （教师用PPT出示问题）

问题1  已知注水管的注水速度为25 L/min.

（1）若注水前水箱里没有水，则水箱里的水量y（L）与注水时间x（min）之间的函数表达式是______.

（2）若注水前水箱里有6 L水，则水箱里的水量y（L）与注水时间x（min）之间的函数表达式是______.

问题2  若身高x（cm）减去常数105所得的差为成人的标准体重y（kg），则标准体重y（kg）与身高x（cm）之间的函数关系式是______.

问题3  一个长10 cm、宽5 cm的长方形的长减少x cm，宽不变，则长方形的面积y（cm2）与x之间的函数关系式是______.

设计意图  从学生已有知识出发，借助具体情境引导学生写出一次函数表达式，为抽象的一次函数模型做铺垫.

教学反思：以上问题情境是教师结合学生已有生活经验及教学内容精心设计的，如上述函数表达式中的k值有正有负，b值有正、有负、有0，这能为后面研究一次函数表达式中“k，b的限制条件”做铺垫. 另外，从学生熟悉的情境出发，可以拉近学生与新知的距离，有助于激发学生的探究欲.

2. 互动交流，建构模型

师：对于上述几个问题，你们的答案是——

生1：问题1中第（1）（2）问的答案分别为y=25x，y=25x+6.

生2：问题2的答案为y=x－105.

生3：问题3的答案为y=－5x+50（0<x<10）.

師：答案正确！生3还给出了x的取值范围，非常好.

师：仔细观察上面几个表达式，思考一下它们有什么共同点. （教师预留时间让学生自由交流）

生4：都有x和y两个变量，y是x的函数，x是自变量，y是因变量.

生5：都是“y=…”的形式.

生6：右边为一个数与x的积，再加上或者减去一个常数.

师：加上或者减去一个常数是否可以都用加来表示呢？

生6：可以，减去一个正数相当于加上一个负数.

师：如果把与x相乘的数用字母k表示，常数用字母b表示，你能写出它们的一般形式吗？

生7：y=kx+b.

师：很好，结合以上表达式，说一说k，b的取值有什么限制.

生8：b只要是常数即可；k为常数，且k≠0. 也就是k，b均为常数，且k≠0.

师：很好！那自变量x的次数有什么特点呢？

生（齐）：次数都为1.

师：是的，次数都是1. 如果想给这样的函数命名，应该叫什么呢？

生（齐）：一次函数.

经历以上过程，学生总结和归纳一次函数的概念水到渠成.

师：对于一次函数y=kx+b，其中k≠0，那b是否可以为0呢？

生9：可以，比如表达式y=25x，这里的b就等于0.

师：很好，当b=0时，y=kx（k为常数，且k≠0），y叫x的正比例函数.

师：现在请同学们思考一下，对于正比例函数和一次函数，两者有何关系？

设计意图  以上教学环节，教师以生为主，引导学生总结和归纳出了一次函数的概念、一般形式，从中建立了一次函数模型，培养了学生的数学分析能力和数学抽象能力. 教学中，由具体情境抽象一次函数模型，体现了从特殊到一般的数学思想. 此外，还对比了一次函数和正比例函数，借助区别与联系，培养了学生的思辨能力.

教学反思：学生对研究函数、变量的变化规律等问题还比较陌生，加上学生的抽象概括能力较弱，因此教师应多引导学生去观察、去分析、去探索、去交流，应引导学生借助具体模型中的共性特征逐渐抽象出一般模型，让学生掌握数学研究方法，从而更好地认识数学.

3. 借助练习，巩固认知

师：刚刚我们学习了一次函数和正比例函数的概念，并建立了一次函数模型，现在请大家说一说下面的函数哪些是一次函数，哪些是正比例函数.

（1）y=5x2+6；（2）y=－5x；（3）y= －；（4）y=－0.5x－1.

以上形成概念及建立模型的过程都是学生共同参与的，学生已形成深刻的印象，因此学生可以轻松地给出正确答案. 接下来教师设计了如下练习.

练习1  已知函数y=（m+1）x+m2－1.

（1）当m_______时，y是x的一次函数；

（2）当m_______时，y是x的正比例函数.

练习2  若y=（m2－1）x2+（m－1）x－3（m为常数）是关于x的一次函数，则m的值为____.

设计意图  通过“练”进一步深化学生对一次函数概念的理解，强化他们对一次函数表达式中k，b的值的认识，为后续一次函数图象及性质的学习做好铺垫.

教学反思：练习的设计既要符合学生的具体学情，又要呈现知识的方方面面，从而培养学生思维的有序性和全面性.

4. 借助应用，强化认识

师：接下来我们再看几个具体应用，看看变量y是不是变量x的一次函数，是不是变量x的正比例函数.

（1）正方形的面积y与边长x之间的函数关系；

（2）正方形的周长y与边长x之间的函数关系；

（3）长方形的长为常数a，面积y与宽x之间的函数关系；

（4）A，B两地相距200 km，小汽车以100 km/h的速度从A地驶向B地，求小汽车离B地的距离y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系.

设计意图  引导学生运用一次函数解决实际问题，培养学生的数学应用意识，让他们感悟函数与实际生活之间的密切联系，激发学生学习函数的兴趣. 另外，借助具体问题，引导学生关注自变量的取值范围，为后续函数知识的学习奠基.

教学反思：数学模型在解决实际问题中有着重要的应用，教师有必要引导学生运用模型解决有关的实际问题，进一步发展学生的数学应用能力.

5. 课堂小结，升华认知

在实际教学中，不同的学生会有不同的收获，因此教师有必要预留一些时间组织学生交流心得、体会，这样既有助于丰富学生的认知结构，锻炼学生的数学思维，又能提升学生的数学表达能力. 在此環节，教师应以生为主，鼓励学生积极交流，激发学生学数学、用数学的热情，当然对于学生理解不深、含糊不清、表述不当的地方，教师要给予适当的补充和强化，从而帮助学生形成完善的认知.

教学反思

函数是初中数学的重点内容、核心内容，也是初中数学教学的难点. 从实际教学来看，部分学生对一次函数概念的理解往往存在不足，究其原因，与传统的教学模式息息相关. 在传统教学中，学生获得函数概念的主要方式来自教师的讲授，虽然学生能够熟背概念，但是因为缺少分析、思考、探索、概括的过程，学生对概念并未形成深刻的认识. 另外，学生学习函数只是为了解题，并没有真切地体会到函数与生活之间的密切联系，因此影响了学生函数学习的积极性，限制了他们学习能力的提升. 其实，对初中生来讲，他们已经具备了一定的文字信息和图形信息加工能力，所以教学中教师要放权给学生，让学生参与到一次函数概念的形成和一次函数模型建立的过程中来，使学生的思维在参与的过程中发生质的飞跃.

本节教学以生为主，从具体情境出发，让学生在实际问题中感悟和理解一次函数概念及一次函数与生活实际之间的联系，培养了学生的模型意识. 在实际教学中，教师引导学生经历了一次函数概念形成、发展和应用的全过程，让学生对一次函数的概念及模型形成了深刻的认识. 另外，借助“用”，学生体会到了函数学习的真正价值，激发了他们的函数学习动机，增强了他们的数学应用意识，培养了他们勇于探索、敢于创新的精神.

总之，在初中数学教学中，教师要发挥初中生参与意识强、思维活跃的优势，放手让学生去探索、去发现、去抽象，通过抽象思想、模型思想等思想方法的渗透，让学生更好地理解数学、应用数学，促进学生全面发展.