数学建模教学：从问题提出到知识运用

郑瑄

摘 要：杭州市阮洲奕老师上的一节题为“用吸管演奏乐曲”的数学课，开场生动，收尾升华，中间用环环相扣的问题链，一步一步地引导学生通过数据拟合建立吸管长度与所吹音调的函数模型，完成用吸管演奏奏乐曲的任务。由此得到关于数学建模教学的一些启示：问题提出要真实自然、综合开放，过程探究要从感性经验上升到理性思考，知识运用要打破学科的界限。

关键词：初中数学；数学建模；吸管奏乐；数据拟合；学科融合

近期，笔者参加了一个专题教研活动，听了杭州市阮洲奕老师上的一节题为“用吸管演奏乐曲”的数学课。课上，阮老师引导学生通过数据拟合建立吸管长度与所吹音调的函数模型，完成用吸管演奏乐曲的任务。这节课使笔者受到了一些触动，对数学建模教学的设计与实施有了更深的感悟。下面，先以欣赏的态度展现这节课的主要教学过程，再从教学启示的角度谈谈笔者的感悟。

一、 教学过程欣赏

（一） 出人意表的开场

课始，大屏幕上出现五线谱，其上翻腾着各种音符。笔者和学生一样满怀好奇和期待，遐思翩跹：数学课怎么出现了乐谱？理性的数学与感性的音乐有什么关系？

“我们先来欣赏一段音乐。闭上眼睛，用心感受。”阮老师话音刚落，一股旋律流淌而出。如此，师生共同了进入一个音乐的磁场。

“好听吗？大家猜一猜：这段音樂是用什么乐器来演奏的呢？”学生猜测纷纭：笛子？排箫？卡祖笛？管风琴？……

“其实，这段音乐是用老师手中这根小小的吸管演奏的。”阮老师展示手中的吸管。学生惊叹：哇哦！真没想到！这是真的吗？

紧接着，阮老师提出一个富有挑战性的任务：“今天，我们就试着用吸管演奏乐曲。”

（二） 引人入胜的进程

挑战性任务的提出出乎学生意料，那么，任务的完成如何引导学生入胜？阮老师通过环环相扣的问题链，一步一步地在学生的“最近发展区”搭建适切的学习支架，提供适当的解题线索，让学生拾级而上，逐渐确定变量、设计实验、收集数据、建立模型，从而利用数学知识解决音乐问题——特别是第四个问题，引导学生完成从定性到定量（从感性到理性）的飞跃。教学进程就在教师的发问、追问与学生的思考、实践、讨论、分享中逐渐展开——

师 （出示问题1）

吸管怎样才能演奏音乐？

生 首先要能发出声音，然后要能吹出不同的音调。

师 （出示问题2）

要吹出不同的音调，这又与哪些因素相关呢？

生 （众说纷纭）

与空气流速有关；与吸管的长度有关；与吸管的厚度有关；与吹气的力度有关；与振动的频率有关……

师 同学们的想法都很值得研究。今天，我们就先把问题聚焦到音调与吸管长度之间的关系上，看看长度改变了，音调到底会不会发生改变。（出示问题3）

改变吸管的长度，能吹出不同的音调吗？有没有同学愿意来试一试？

（两位学生自告奋勇，上台合作，一个剪、一个吹。大家发现：吸管剪得越短，吹出的音调越高。）

师  （出示问题4）

要想吹出中音la，应该使用长度为多少的吸管呢？

（学生陷入沉思之中。）

师 今天，我们就利用数学的方法来解决这个音乐的问题。不妨回想刚才的实践尝试——当吸管长度发生变化时，音调也随之发生变化。在数学中，我们会联想到什么知识呢？（出示问题5）

在数学中，我们如何研究两个变量之间的关系？

生 （异口同声）

利用函数。

师 对啊！长度和音调就是上述过程中的两个变量，而函数正是数学中刻画两个变量之间对应关系的一种数学模型。（出示问题6）

用函数来研究，具体应怎么做？

生 先收集数据，再建立平面直角坐标系，画出图像，看看图像长什么样儿。

师 那么，要收集哪些数据呢？

生 要测量吸管的长度和用吸管吹出的音调。

生 在科学中，音调可以用振动频率来表示，所以，测量音调就是测量振动频率。

师 接下来，阮老师就带领同学们一起收集数据。我们利用专业的声学软件（App）Phyphox测量振动频率。取一根吸管，吹出稳定的波形时，软件就会显示出对应的振动频率，这样就可以得到相应的数据。

（师生合作收集实验数据，结果如表1所示。）

师 观察表中数据，大家有什么发现？

生 随着吸管长度的增加，它的振动频率逐渐降低，即它的音调慢慢变低。

师 为了更直观地表示这组数据的变化规律，大家有什么方法？

生 可以在平面直角坐标系中描点，然后用光滑曲线连接，画出图像。

师 好，现在请同学们动手，在自己的学案纸上画一画这个函数的图像。

（学生画图。）

师 观察图像，你认为可以用什么函数来刻画这两个变量之间的关系？

生 我认为它更接近于一个反比例函数。

师 其实，同学们画的图会存在一定的误差。我们可以用现代科学技术更精准地拟合这个函数。请同学们在平板电脑上把所有的数据输入老师提供的数据拟合软件中。

（学生输入数据后，软件自动完成描点。师生先用一次函数模型试验，发现很多点都不能落在一条直线上；再用反比例函数模型试验，发现大多数点都落在一条反比例函数的曲线上。最后，计算机拟合出了这个反比例函数模型：f=86610/l。）

师 再回到刚才的问题4——要想吹出中音la，应该使用长度为多少的吸管呢？这个问题其实就变成已知反比例函数的某个函数值，求相应自变量值的简单计算问题了。当然，先要利用“音调振动频率表”查出中音la的振动频率f=880Hz，从而可以算出吸管的长度l=984mm。（稍停）

现在，阮老师要布置用吸管演奏乐曲的具体任务了——请各小组合作，根据乐谱吹奏莫扎特的乐曲《小星星》。（出示问题7）

七人小组要完成《小星星》的演奏，具体应该做？

（教师出示表2，提供完成任务的方法。各个小组开始活动，进入井然有序、忘我专注的状态。）

师 这真的是阮老师听过的最动人、最独特的《小星星》了。

（教师引导学生回顾梳理整个数学建模的过程，得到图1；体悟数学与音乐千丝万缕的关系，得到下页图2。）

师 从古至今，数学与音乐一直是相辅相成的。2500年前，毕达哥拉斯第一次发现了音乐和数学的关系；中国古代通过数学运算研究音律；莱布尼茨认为音乐是一种隐藏的数学练习；傅立叶发现声波是一种周期函数；而我们熟悉的音乐家贝多芬、肖邦、柴可夫斯基等，常用他们脑海中的曲线来谱曲。

（三）  动人心弦的尾声

这是一个令人动容的尾声。素昧平生的师生，45分钟的一节课，人生际遇中短短的缘聚，何为教育？笔者以为，衡量教育是否真正发生以及是否真正起到作用最真诚的标准，是看其有没有激活和点燃学生的心灵，有没有让学生感知、感悟和感动。

师 同学们通过整节课的学习有什么感受和体会？

生 阮老师今天带领我们经历了一个完整的数学建模过程。我们平时都是先学函数，再到应用；而今天是先从生活中找音乐的应用，再回到数学中去找原理。真的很新颖、很神奇！

生 通过这节课，我知道数学还可以运用到生活中，可以与音乐相结合；感觉数学不只是纸上的运算，还是生活，有一种美丽的感受。

生 通过阮老师刚才举出的那些古今中外名人轶事，我们知道，可以将数学运用在音乐中，也就是将数学运用于创造。阮老师这节课让我感觉到数学学习的乐趣，使我更加热爱生活，热爱数学。

生 在这节课的学习过程中，我们为了研究数学与音乐的关系，用到了平板电脑等电子设备，还用了声学软件来测量声音的振动频率等。这使我感受到科技的力量，现代科学技术能够有效帮助我们学习、研究。

生 这节课，我们一直在通过数学的美，彰显音乐的韵律美。其实，我们还可以发散发联想。比如，笛子、葫芦丝都是通过开孔，运用气流的振动来发出声音的。所以，我们小组在讨论的过程中，就从中汲取灵感，模仿其原理，在吸管上挖了很多的孔，制作了一种乐器。

（教师表扬了这个小组的创举，也提出了意见：开孔太大，手捂不住。大家都快乐地笑出了声。）

生 这节课教给我们，数学学习并不只是枯燥地掌握知识点，枯燥地“刷题”，单纯地应付考试，更要将数学与生活结合。即教会了我们一种新的学习数学的方式，也让我们体会到学习数学的乐趣。所以，非常感谢您！

生 这节课刚开始的时候，我完全想象不出数学与音乐究竟有什么关系，相信大多数同学也是一样的感觉吧。但是，阮老师带领我们一起探究，通过普通的吸管，让音乐与数学进行了一个大大的碰撞。而且，小组同学之间讨论得也很欢快，有一种在玩中学的感觉。然后，我还想问阮老师：数学源于生活，但也要回到生活，那么今天从吸管中学到的原理是否也可以用到其他东西上呢？

师 这个问题提得非常好！也就是说，我们能不能用今天学习的方法制作其他乐器？而且，改变乐器的载体后，刚才建立的反比例函数模型是否还适用？我们也许需要重新选择函数模型，但是，其中蕴含的数学思想和研究方法是一脉相承的。实际上，这位同学也很好地说出了阮老师今天想给大家布置的作业——请每个小组运用不同的载体自制一个乐器，然后全班开一场不一样的音乐会。到时候，记得发视频给阮老师看哦。今天的课就上到这里。谢谢！

二、 教学启示感悟

（一） 问题提出：真实自然、综合开放

阮老师的课从本质上看，是带领学生经历了一次完整的数学建模过程。其实，初中数学教材中不乏要求学生进行数学建模的例子。比如，浙教版初中数学八年级上册《5.5一次函数的简单应用》的例1：

生物学家测得7条成熟的雄性鲸的全长y和吻尖到喷水孔的长度x的数据如表3所示。问：能否用一次函数刻画x和y这两个变量的关系？如果能，请求出这个一次函数的表达式。

同样是让学生经历数学建模的过程，两者的区别何在？笔者以为，教材举的例子离学生的现实甚远，而且数据的来源是提供式的，没有让学生理解测量这些数据的意义是什么。而阮老师课例中提出的问题贴近学生的现实，是真实自然的、有趣好玩的，富有吸引力，能够培养学生提出问题的意识和能力；而且，是综合开放的、结构不良的，充满挑战性，能让学生经历数学建模的全部过程。类似的例子还有“跑道上的数学问题”：何为400米标准半圆式跑道？如何画出400米、800米分道跑的起跑线？……

数学建模的开端和关键是提出需要通过数学建模解决的有价值的问题。作为数学核心素养的表现，提出这样的问题，需要在司空见惯的生活场景中、在错综复杂的学科情境中，用敏锐的数学眼光捕捉到有关的现象，转化为相应的问题（任务）。其中蕴含着一系列心理活动：直觉——萌芽；关注——方向；酝酿——形成；理解——关系；提出——内心认定其有很好的生长趋势。因此，教师不仅要具备这样的意识和能力，而且要培养学生提出数学建模問题的意识和能力。

（二） 过程探究：从感性经验上升到理性思考

中央电视台《是真的吗》栏目，曾经播出过一个关于吸管奏乐的节目。节目中，主持人向观众展示了一位网友提供的吸管长度数据，然后用按照如此长度制作的吸管吹出了音准很好的美妙音乐。这里展示的结果就是阮老师这节课带领学生探究的问题。这个结果最初是怎么得到的呢？

当然，可以经过多次剪切、试音，从而非常接近音准，再将数据记录下来。这种基于经验的感性认知能够带来发现与创造，古往今来劳动人民用这样的方法发现了大量知识，创造了大量财富。阮老师这节课也让学生从感性认知出发展开探索：课始让学生欣赏用吸管吹奏的乐曲，课中让学生尝试用吸管吹奏乐曲。

但若拥有数学素养，就可以用数学的眼光去观察，用数学的思维去思考，用数学的语言去表达，从而进入理性研究的层面，高效地探寻精确的规律。正如阮老师这节课带领学生做的：收集数据→借助技术→画出图像→计算机拟合→数学模型→回归生活→解决问题。

总体而言，对好的数学建模问题的探索应该经历一个从感性经验上升到理性思考的过程。这也符合“大胆假设，小心求证”这一科学研究的一般范式。

（三） 知识运用：打破学科的界限

何珊云教授多次提到要“打破学科的界限”。她举过这样一个例子：你觉得“环游世界”会是一门什么课？大多数人的回答是“地理课”。而真实的学校课程（英国小学三年级）涉及11个学科，并以不同学科与环游世界的关联作为学习内容和学习任务。

阮老师这节课亦然，不仅涉及数学和音乐，还涉及物理、材料、信息技术等学科。回顾阮老师这节课，其实学生在回答教师的问题时，呈现出了科学的思考——吸管奏乐可能与空气流速有关、与振动频率有关，只是阮老师没有及时捕捉回应，抑或因为不在其预设中而忽略了。如果阮老师能对这些课堂生成给予适当的关注，引导学生课后展开自然而然的、能力所及的探究，那么这节课的教学价值将得到更充分的发挥。这也是我们在数学建模教学中应该特别注意的。

数学建模通常是基于问题和学习（problembased learning，简称PBL）或基于项目的学习（projectbased learning，也简称PBL）。其受到重视的根本原因就在于，我们生活的世界是一个复杂的世界，它是由无数问题、无数知识相互交织在一起的。其中的问题并不都是良构的，而常常是跨界的；知识是由问题引发的，其学科划分常常是人为的；没有跨界的“相辅”，就不易达成研究的“相成”。要培養学生的批判精神、创新意识、独特思想，以适应当下与未来的现实，教育就要发生改变：让学生不仅学习单一学科的知识，而且体验更加真实而广阔的世界。当然，这对教师的要求颇高，需要教师通过修炼从专才向通才转型；对学生而言，也会在学习过程中感悟到学好数学以外其他学科的重要性。

进一步来看那些获得伟大成就的人：阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，还是百科式的科学家；弗朗西斯·培根是英国文艺复兴时期的散文家、哲学家，也是实验科学、近代归纳法的创始人；伯特兰·罗素是英国著名的数学家、哲学家、逻辑学家、历史学家，更是诺贝尔文学奖的获得者……人为的学科划分将世界割裂成若干个区域、若干个条块，但是整个世界的整体联系是真实存在的。学科的经纬愈分明，离教育的本质也愈偏远。跨界无痕的学习，才是教育的本来面目。