从直观感知走向抽象概括

钟岳鸿

【摘   要】图形的认识的教学要让学生通过观察、感知、操作、思考等数学活动认识图形的特征，比较图形之间的共性与区别，形成空间观念。在人教版教材三年级“长方形和正方形的认识”这一内容的教学中，可通过“呈现错觉图组”“提供结构材料”“借助比较过程”“留足想象空间”等教学策略，让学生在数学活动中，对长方形和正方形的认识从直观感知走向抽象概括。

【关键词】图形的认识；长方形和正方形的认识；直观；抽象；空间观念

图形的认识是“图形与几何”学习领域的内容之一。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）提出：“图形的认识主要是对图形的抽象。学生经历从实际物体抽象出几何图形的过程，认识图形的特征，感悟点、线、面、体的关系；积累观察和思考的经验，逐步形成空间观念。”因此，图形的认识的教学要让学生通过观察、感知、操作、思考等数学活动认识图形的特征，比较图形之间的共性与区别，形成空间观念。以人教版教材三年级“长方形和正方形的认识”这一内容为例，笔者从图形的认识的教学目标出发研读教材、了解学情，在此基础上，选择合适的学习素材，设计符合学生的学习路径，从而发展学的空间观念。

【教学思考】

一、教学内容分析

长方形和正方形是最基本的平面几何图形。它们的形状比较简单，特征比较明显，应用也十分广泛。小学生的年龄特征决定了他们对图形的识别活动处于以表象为主的直观辨认水平，且正逐步向以特征为主的初级概念判断水平发展。因此，人教版教材分三次编排“长方形和正方形的认识”的内容：1.在一年级下册“认识图形（二）”单元，“直观认识认识长方形、正方形，能够辨认和区分”；2.在三年级上册“长方形和正方形”单元，“从边和角的角度认识长方形、正方形的特征”；3.在四年级上册“平行四边形和梯形”单元，“从与平行四边形的关系角度进一步认识长方形、正方形”。基于教材编排的特点，对于三年级“长方形和正方形的认识”的教学内容，教师需要引导学生注重自主探究，通过观察、感知、操作、验证、思考等方式来研究长方形、正方形的基本特征，并学会用数学语言抽象概括出图形的特征。

二、学生情况分析

学生有丰富的生活经验和直观感受，长方形和正方形对他们而言并不陌生。另外，学生已经学习了长度单位、角的认识、图形的对称性等相关内容，具备一定的测量、操作技能，又为本内容的学习提供了认知、探究基础。为了清晰地了解学生是否能凭借经验画出长方形和正方形，会用哪些方法研究它们的基本特征，笔者选择45名三年级学生进行了前测。

通过前测可得：1.从画图形的角度看，大部分学生都能依据自己的经验画出长方形和正方形。其中，约95.56%的学生能正确画出长方形，约93.33%的学生能正确画出正方形。2.从描述特征角度看，大多数学生仅停留在感性认识层面。其中，约86.67%的学生能描述出长方形的边具有长短特征，如“长方形有两条长边、两条短边”“长方形的两条长边相等、两条短边相等”，但很少有学生能用“长方形的对边相等”进行描述；约97.78%的学生能描述出正方形边的特征，如“正方形是方方正正的”“正方形的四条边一样长”；极少有学生关注长方形、正方形角的特征，如“四个角是直角”。

同时，通过对10名学生进行访谈，发现：学生对长方形和正方形的验证活动缺乏兴趣，当问及“你会用什么方法来验证自己的发现”时，有些学生能说出量一量的方法，更多的学生则表现得很茫然，这说明學生判断图形的基础是直观感知，验证经验明显不足。

三、确立教学目标

通过对教学内容和学情的分析，笔者作了以下思考：首先，学生具有量、折、比等的操作经验，但验证经验明显不足，故教师要让学生激活已有的知识经验，以进行验证活动；其次，教师要选择学习素材，促进学生既关注边的特征又关注角的特征，通过数学活动帮助学生感悟长方形“对边相等”的特点；再次，教师要整合教学内容，做到既能凸显图形的要素特征，又能建立各种图形间的关系；最后，教师要引导学生经历观察、操作、思考、想象等活动，发展空间观念。

基于上述分析和思考，本内容的教学目标可定位为：1.通过搭一搭、验一验、辨一辨、猜一猜等操作活动，发现并验证长方形和正方形的特征，并用数学语言归纳出长方形和正方形的特征；2.在验证、交流活动中，培养学生验证、推理等数学思维能力；3.通过观察、操作、思考、想象等活动，发展学生的空间观念。

【教学实践】

一、呈现错视图组，激活经验

学生具有量、折、比等的操作经验，而要把这些操作经验运用到验证活动中，则需要运用现实情境对学生进行激发。因此，笔者利用2幅错视图，让学生在猜线段长短的活动中，激活验证经验，思考验证方法。

v教学片段1

（教师出示图1）

师：考考大家的眼力。第①幅图中线段ɑ和线段b，哪条更长一些？

生：线段ɑ长。

生：线段b长。

生：一样长。

师：有什么办法可以验证吗？

生：可以用直尺量一量。

师：第②幅图中的两条线段哪条长？

生：线段ɑ长。

生：一样长。

师：有什么办法可以验证吗？

生：量一量。

师：还有其他办法吗？

生：可以把两条线段重合在一起，比一比。

师：其实这2幅图叫作错视图，两个长度相等的线段因摆放和背景不同给人造成了错觉。大家能想到用量一量、比一比的方法验证长度，真棒！

教师利用错视图激发学生的认知冲突，当学生意见不统一时，自然会去思考验证的方法。学生通过思考，用“量一量”“比一比”的方法来验证两个图形中的线段是否相等。可见，图1的使用激活了学生动手量、比的经验，也为后续验证长方形和正方形的基本特征积累了经验。

二、提供结构材料，聚焦要素

结构化的学习材料能激活学生的已有知识经验，也有利于学生的探究和发现。笔者给学生准备了两组结构化的学习材料：第1组是长度不同、数量不等的小棒，第2组是两个错误示例图。

（一）结构化的操作材料

笔者创设搭一搭活动，并布置学习任务。学生根据对长方形和正方形的认识，选择不同的小棒进行拼搭，在操作活动中感悟它们边和角的特征。

v教学片段2

师：长方形和正方形是什么样子的？让我们来试着搭一搭。老师给大家准备了一些小棒，你能从中选择4根小棒搭出一个长方形或正方形吗？

（教师出示下面的学习任务，学生独立操作）

师：你们这么快就搭出了一个长方形或正方形，那你们选小棒时有什么窍门吗？

生：搭正方形时，我选4根同样长的小棒。

生：搭长方形时，我选2根长的小棒和2根短的小棒。

生：搭长方形时，我选2根4厘米的小棒和2根5厘米的小棒。

（二）结构化的冲突材料

通过搭一搭的操作活动，学生初步理解了长方形和正方形边的特征，但不能很好地用语言表述长方形“对边相等”的特点，对角的特征的关注也不够。笔者在操作活动后呈现2个反例图形（如图2），以凸显长方形对边相等、长方形和正方形4个角都是直角的特征。

v教学片段3

师：用你们这样的窍门选择小棒一定能搭出一个长方形或正方形吗？

（教师用课件呈现图2中的①号图形）

师：这个图形是长方形吗？

生：不是，2根同样长的小棒必须面对面。

生：长方形的对边要相等。

（教师用课件呈现图2中的②号图形）

师：这个图形符合你们说的对边相等，它是长方形吗？

生：不行。长方形的四个角应该是直角。

师：看来我们在搭长方形或正方形时，除了要关注边，还要关注角。

三、借助比较过程，联结关系

为了促进学生进一步理解长方形和正方形的特征，教师要引导学生进行比较，帮助学生辨别长方形和正方形的特征和其他图形特征的之间的异同，揭示它们之间的内在联系，使知识系统化。因此，笔者把长方形、正方形和四边形同时呈现，引导学生运用图形的特征辨析这些图形，通过比较建立图形之间的关系。

实施过程中，教师通过呈现一组不同的四边形（如图3），让学生先从这些四边形中找到长方形和正方形，再说说这些四边形的共同点，引出四边形概念；接着引导他们比较长方形、正方形与一般四边形有什么不同，让他们在思辨中进一步理解长方形和正方形的特征，并认识到长方形、正方形是特殊的四边形。

v教学片段4

师：你们能从图3中找到长方形或正方形吗？

生：①号图形、⑤号图形是长方形，③号图形是正方形。

师：你找得真准。这6个图形看似不同，其实它们也有相同点，你发现了吗？

生：它们都有四条边、四个角，都叫四边形。

师：和其他几个四边形相比，长方形、正方形有什么特别的地方吗？

生：长方形、正方形的四个角都是直角。

生：长方形、正方形的对边相等。

师：长方形、正方形有四条边、四个角，它们也是四边形；而且长方形、正方形的对边相等，四个角都是直角，所以它们是特殊的四边形。

四、留足想象空间，形成观念

《课程标准》描述了空间观念的主要表现，其中包括“根据几何图形想象出所描述的实际物体”。这是一个包括观察、想象、比较、分析的思考过程，也是发展空间观念的基本途徑。教学时，教师呈现大小不一的长方形和正方形（如图4），引导学生想象这些图形是生活中哪些物体的一个平面（它可能会是什么物体上的面），让学生利用比画、想象，把它们和生活中的物体建立联系。这一过程有助于学生理解现实生活中空间物体的形态与结构，是他们形成空间想象力的经验基础。

v教学片段5

师：图4中的图形表示的是某个物体的一个面，请你想象一下，①号图形可能是什么物体的面？

生：我根据长方形中长和宽的长度猜测，它可能是数学书的封面。

生：可能是快递盒的一个面。

生：可能是半张试卷。

师：②号图形可能是什么物体的面？

生：魔方的一个面。

生：茶杯包装盒的一个面。

师：③号图形可能是什么物体的面？

生：手机的面，也就是手机屏幕。

在教学实践中，通过“呈现错觉图组”“提供结构材料”“借助比较过程”“留足想象空间”等教学策略，能够让学生在观察、操作、猜想、验证、思考、想象等数学活动中，对长方形和正方形的认识从直观感知走向抽象概括，发展学生的空间观念。

（浙江省建德市明镜小学）