高中数学“学生说题”实施探索

陈莉莉 李海军

【摘 要】  “学生说题”促使学生暴露思维过程，是让学生主动参与到学习的全过程中去的一种有效方式.通过同学间交流、教师点评，促进学生思维能力的提升.在实践的基础上，以“学生主体”为原则，从制定原则、制定计划到“学生说题”说什么、怎么指导“学生说题”进行说题的具体实施.并且从对实施的反思中提出了如何突破瓶颈.

【关键词】  高中数学;传统教学；学生说题；小组评价

在日常的教学过程中常常会碰到这样的困惑：为什么有些类型的问题我们做过多次透彻的分析，同类型的问题也多次练习，可是有些同学还是表现出不理解，不明白其中缘由，下次稍作变动，还是再错.和学生交流，学生表示课堂上老师讲的似乎都听懂了，可一到自己做题时，尤其是有难度的题，就感觉束手无措，无从下手了.相反，那些在课堂上发表自己意见的同学，在考试时碰到类似的问题时，解题条理相对清晰多了.

在传统的教学中学生学习的过程是一个知识的传授→接受→反复训练→熟练掌握→领悟的单向发展过程.在这一过程中，学生总是被动、机械地模仿，学习缺乏主动性，而被动机械接受的方法往往很难提升学生学科思维品质.要提升学生的学科思维品质，首先得要学生自愿、主动地投入到学习中去，以积极进取的心态去构建知识体系.而“学生说题”正是要求学生“学会如何学习”的过程，也是让学生体验自己做一个发现者、研究者、探索者的过程.于是笔者尝试用说题的方式去激活主体，暴露思维，提升品质.

1   “学生说题”的实施

“学生说题”并不是说不要老师的指导，相反对老师的指导提出了更高的要求，要求老师积极引导学生学会“说题”.为了“学生说题”能激活主体，暴露思维，体验成功，笔者分以下几个步骤实施.

1.1 制定原则（1）全面参与原则

组织学生说题不能只为追求气氛，应根据不同层次的问题，选择不同程度的学生全面参与进来，使每个学生都能享受到成功的喜悦，共同提高［1］.（2）点评的激励性和针对性原则学生说题并不像教师说题那样严谨、精辟、全面，所以教师在学生说题后的点评必须及时，而且要尽量用肯定的、激励的语言，增强学生说题的信心.同时点评要有针对性，使学生在说题的过程中有所收获.

1.2 制定计划“学生说题”要有目的、有计划、有组织、有针对性地进行，不能有随意性、无的放矢，更忌备课不充分时让学生课堂说题.于是笔者拟定了以下整体规划：

（1）第一阶段，让成绩较好、表达能力较强的同学说题，起着示范模仿的作用，目的是培养学生良好的思考问题的习惯和思维品质.（2）第二阶段，分成若干个小组，使每位同学在小范围内尝试说题.加强审题、说题训练，使绝大多数学生能快速理清条件、问题及其关系，准确地找到题眼，逐步培养良好的审题习惯.

（3）第三阶段，把部分习题课适当交给学生，要求学生把每天批好的作业中错误的问题在小组内消化解决，教师试图从讲评作业中解脱出来.

希望通过这三个阶段的训练，培养学生在学习过程中独立思考的习惯，提高学生的表达能力，形成自主合作式的探究性学习，增强学生的反思意识，从而提高学习能力.1.3 “学生说题”说什么“学生说题”的内容是“学生说题”的核心所在，“学生带着什么样的教材走向教师”是教师激活主体，培养学生能力，提升学生思维品质的保证.要想提高“学生说题”的有效性，教师必须对“学生说题”的内容进行设计.

（1）说题目的条件，挖掘隐含条件就是要说清题目的已知条件和问题，要求学生找准题眼和关键词.尤其要让学生学会排除干扰和挖掘题中隐含条件，通过挖掘“已知条件”和“隐含条件”来了解学生的思维偏差并帮助他们纠正偏差.

案例1  （找准题眼，题目会说话）在 R 上定义的函数f（x）是偶函数，且f（x）=f（2－x），若f（x）在区间［1，2］上是减函数，判断f（x）在区间［－2，－1］和区间［3，4］上的单调性.

这是作业中的一个题目，只有近50%的同学做对，于是安排了一位中等程度的周同学说题.

S1：条件有（1）f（x）是偶函数；（2）f（x）=f（2－x）；（3）f（x）在区间［1，2］上是减函数.所求为判断f（x）在给定区间上的单调性.由条件f（x）=f（2－x）得到图象关于直线x=1对称，基于这个条件的考虑，把f（x）是偶函数转化为图象关于y轴对称，两者一结合，可以作出如图1所示的图象.可以发现，这个函数的周期为2.由图象就不难得出答案.

师：反思这个题目，关键还是要找准题眼：条件f（x）=f（2－x）暗示我们要用图象的对称来解决问题，正所谓“题目会说话”，只要用心去分析条件和所求，就能听懂题目“说”的“话”.（2） 说解题的框架

这是说题的重点，是学生在认真、仔细、严谨地审题后，在充分思考的基础上，说出解题的大致思路，也就是解题的框架.这就像我们写作时的提纲一样重要.但是有很大一部分学生见到题就不假思索拿来就做，这样的学生是把数学解题变成了体力劳动.感觉就像脚踩“西瓜皮”，最终解决了——运气；碰壁了——放弃！通过对“学生说题”中说题框架的训练，培养学生细致地审题，认真地思考从何处下手、向何方前进的习惯.欲速则不达，磨刀不误砍柴工，这一思维的习惯一定要慢慢培养.

案例2  （草读一遍别下笔，条件目标需熟悉）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosB=－ 5 13 ，cosC= 4 5 .

（1）求sinA的值；（2）设△ABC的面积S△ABC= 33 2 ，求边a的长.

这是一次单元测试中的题目，很多同学在做第2問时花费了很长时间，包括平时数学成绩还不错的同学考后都表示“算砸了”.还有部分同学算了半天也计算不出结果，最后心慌，放弃.其中高一（11）班的叶同学条理很清楚，便安排她备课说题.

S2：第2问同学们不难想到把△ABC的面积转化为两边ac的乘积.要求边a，怎么办呢？根据方程思想，关键是要找到与边a边c这两边有关的另外一个等式.到哪里找这个等式呢？已知三角去求两边关系，想到用正弦定理得到.

这样就不难得到解题的大致框架：第一步，转化面积得到ac的关系式；第二步，通过正弦定理找边a边c的另一个关系式；第三步，联立方程即可解出a.（板书解题过程）

师：这题其实并不难，可是为什么我们同学做得不是很好呢？因为很多同学草草看一遍题目就去做题，结果越算心越慌，以致最终放弃.我们在做题时要认真分析条件和结论，把题目都分析透了，才能得到解题的框架，从而从容地解出这个题目.所以审题的慢，是为了后面答题的快！用学生的“嘴”说出老师所“想”，这就要求教师大胆地把课堂交给学生，听学生所“思”，听学生所“想”，从而无形中告诉同学们，其实你们也可以，你们也很棒！（3）说读题后的直觉

在数学学习中，许多问题求解思路的发现，往往是依靠数学直觉提供的猜想.直觉思维来自对已有成果的深刻认识和冷静审查，需要广博的知识、敏锐的观察、丰富的联想、恰当的类比、合理的延拓以及标新立异的勇气和胆识.在平时的数学学习与数学应用中应有意识地培养，做到将直觉与理性相结合，直观地感知问题，理性地分析问题，最后科学地解决问题［2］.

案例3  （直觉引领，理性分析）在一次考试中有这样一道题：若直线 x a + y b =1通过点M（cosα，sinα），则（  ）.

A.a2+b2≤1   B.a2+b2≥1

C. 1 a2 + 1 b2 ≤1   D. 1 a2 + 1 b2 ≥1

本题的正确率不到30%，安排了班里数学比较好的朱同学来说这个题.

S3：这是选择题的最后一题，很多同学一看这个题目就暗示自己“我做不出来的”，结果思考也变得不积极.其实看到条件M（cosα，sinα），直觉告诉我点M（cosα，sinα）的坐标与单位圆有关.沿着这条思路往下想，点M在单位圆x2+y2=1上.直线 x a + y b =1通过点M（cosα，sinα），就可以转化为直线 x a + y b =1和圆x2+y2=1有公共点.所以圆心到直线的距离小于或等于半径，即得到： 1    1 a  2+  1 b  2  ≤1.整理可得到： 1 a2 + 1 b2 ≥1.

数学直觉不受逻辑思维的约束与限制，使人的认知结构向外无限扩展，具有反常规的独创性.在数学课堂教学中，要对数学直觉加以渗透，培养学生数学发现、数学探究能力.引导学生在反思的基础上，调动自己的全部知识经验进行理性地分析［2］.（4）说解题的“错因”学生的数学学习过程是一个自主构建自己对数学知识的理解的过程.他们带着自己原有的知识背景、活动经验和理解走进学习活动，并通过自己的主动活动，包括独立思考、与他人交流和反思等，去建构对数学的理解［3］.因此，学生答错了也不见得是件不好的事，错误不过是学生在数学学习过程中所做的某种尝试，是非常正常的.当学生出现错误时，教师要给学生足够的时间和机会去发现、表达、纠正，从而使学生主动构建知识.

案例4  （失败乃成功之母）已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的正整数n，都有 Sn Tn = 2n 3n+2 ，则 a6 b6 =     .這是一次限时训练中的一道题，有近25%的同学答案是 2 3 ，于是我安排了其中一位张同学来说说她解这道题的心路历程.

S4：我当时是这样解决的：因为{an}，{bn}都是等差数列，它们的前n项和都是关于n的二次函数且都没有常数项，而且题目条件中是一个比值形式，所以我想当然地认为n约掉，于是我便设Sn=2nk，Tn=（3n+2）k，则a6=S6－S5=2k，b6=T6－T5=3k，所以 a6 b6 = 2 3 .老师安排我说题，我去问了答案同样是 2 3 的几个同学，她们的解答过程和我类似， a6 b6 = S6－S5 T6－T5 = 2×6－2×5 3×6+2－3×5－2 = 2 3 .

我调查了一下班里我们这样做的同学有16人.这样做错在哪里呢？我们先来看正确的解法：设Sn=2n2k，Tn=（3n+2）nk，

a6 b6 = S6－S5 T6－T5 = 2×62k－2×52k （3×6+2）×6k－（3×5+2）×5k = 22k 35k = 22 35 .我们看到了，其实a6=S6－S5，S6中的n为6，S5中的n为5，其实是不能提出公共的n的，也就不能约了，这就是错因所在.和我一样的同学要注意了，做题不能太想当然.师：反思这一题目，我有两点感想：（1）做题不能想当然，要仔细深入地思考；（2）做错之后的反思很重要.我想同学们做错题目时要多思考，才不至于在同一个地方摔跤.“失败是成功之母”，只有反思失败，失败才能成为成功“之母”.

只有让学生大胆说出自己的想法，教师才能发现他们错误的根源所在，教学才能有的放矢.事实上做错了不要紧，重要的是让学生知道自己错在哪里，并且纠正这种错误［4］.

（5）说题目的变式学生说题目变式的过程，既是应用知识的过程，同时也是认识产生飞跃的过程.这一环节给了学生自由发挥的空间，有助于培养学生的创新能力与实践能力.所以这一环节的展示意味着学生的说题已有较高的水平.笔者认为对于一些表达能力好、基本功扎实的学生，老师也可以放手尝试.虽然不是每一次尝试都能成功，但经过这样的尝试，学生对知识的理解和对知识的迁移能力一定会越来越出色. 案例5  已知定点A（1，－3），点P为圆C：（x－3）2+y2=4上的动点.

（1）求点P与定点A的距离的最大值；

（2）求点P到直线x－y+5=0的距离的最小值；

（3）求直线AP的斜率的最小值.

这是在讲直线和圆的位置关系中的一个作业题，同学们的答题情况整体不错.笔者认为此题还有点意犹未尽，于是安排了班里思维活跃的陈同学说说对这道题的想法，可不可以有一些变式.下面选取他说题的片段：

S5：我把题目条件改成已知实数x，y满足方程（x－3）2+y2=4.其本质和原题的条件是一样的.再把（1）求点P与定点A的距离的最大值改成：求（x－1）2+（y+3）2的最大值；把（3）求直线AP的斜率的最小值改成求 y+3 x－1 的最小值.这两题的改编应该不难，这样一改以后，就变成了一个纯代数问题.关于第2题的改编我费了一番脑筋.把（2）变成求 x－y+5 的最小值.

虽然我只是在语言上给予了翻译，把几何语言翻译成了代数语言，但是正是这种简单的翻译使我明白一个道理：数形其实是不分家的.老师平时经常强调数形结合，要能够很好地数形结合关键还是要学会翻译.就像用形来解决数的问题，要找到式子的几何意义一样.

如果学生能对题目中的条件分析、变式与引申，由学生说出本质的异同，是提高学生分析问题、解决问题的好途径.

2   “学生说题”教师要思考的几个问题

适合学生的才是最好的，“学生说题”也是如此.为了使说题能顺利开展，安排学生说题前教师必须思考的几个问题：

（1）选什么题

说题不能搞题海战术，见一题说一题，要选择有代表性、针对性的题目.根据教学内容选择不同的题型，但一般要选择有思维含量的习题.

（2）怎样让学生说

教师可以在前一天布置一些思维含量较高的题目，然后第二天在上课前让学生给老师演示说题.如果教师一开始就放手让学生说题，学生往往会冷场，造成既浪费时间，又严重挫伤学生的自信心.所以在说题开始时，应选一些基础的、简单的题目，在教师的指导下让学生说.

（3）让怎样的学生说

说题前要进行摸底，因为如果一开始就让一些基础差、表达能力弱的同学说题往往会事倍功半，所以一开始教师可以让基本功扎实、语言表达能力强的学生来说题，增强学生的自信心.再慢慢以点带面，保证人人参与.一旦绝大多数学生都适应了这样的学习氛围，就预示着“学生说题”取得了成功.

（4）什么时候说

一开始可以让学生对着老师进行预演说题，教师进行适时点评并给予一定的建议，然后说得比较好时，可以让其在课堂的讲台前“当老师”，给同学进行分析讲解，让其体验成功的喜悦.

（5）说多长时间以及多少人说

实施初期，可以在课堂5分钟左右让学生说题，2-3人说，如果实施较好可以在习题课或复习课多让学生说，还可以让学生即兴说题，说错时教师及时进行点拨.“学生说题”要逐步深入、螺旋上升.切忌急于求成，一蹴而就.要尽量从学生的认知水准出发，选一些思维含量相对较高的题目让学生进行展示.

3   “学生说题”的瓶颈

在实施“学生说题”的过程中，特别是即兴说题的课堂，那些学习能力相对薄弱的同学表现得虽然和开始相比积极了些，但还是不能成为主角.特别是要求说题目变式时，他们的思维更是像受到了禁锢一般打不开.其次，在“学生说题”实现到一定阶段时，笔者想放手大部分错误不是特别集中的作业的讲评，把订正作业交给每个小组，但是一旦失去了教师的检查，有些小组的“说题”就不能像在课堂里那样认真对待，作业的订正在个别小组就打了折扣.针对以上两个方面，笔者想先在小组学习上深入研究，借鉴其他成功的案例，做出有效的小组评价.

“学生说题”就是在学生经过认真、仔细、严谨地审题后，在充分思考的基礎上，让学生把审题、分析、解答以及对习题的变式、拓展按一定准则说出来，能让学生主动参与到学习的全过程中去，促使学生暴露整个思维过程，然后通过同学间交流、教师点评，自我反思来提升思维品质，可以改变学生只听老师讲的被动的学习局面，从而提升学生的数学素养.

参考文献

［1］  殷伟康.“说题”，数学课堂因你而精彩[J].中国数学教 育，2010（11）：6-8.

［2］  范金泉．例说数学直觉的养成与运用[J].中学数学月刊，2013（11）：8-10.

［3］  李学平.倡导猜想 促进创新[J].数学学习与研究，2011（07）：58-59.

［4］  汪志强.如何“说题”，数学习题课教学才更有效[J].数学教学通讯，2010（12）：31-33.

作者简介  陈莉莉（1981—），女，吉林白城市人，中学一级教师;研究方向是高中数学教育教学;发表论文多篇.李海军（1978—），男，吉林镇赉县人，中学高级教师;研究方向是高中数学教学.