高考试题中数学建模能力的考查分析

周先华 郑传远 原坤 谢发超

【摘 要】数学建模能力是应用数学解决实际问题的关键能力，是推动数学发展的强劲动力。文章以2021—2023年高考数学全国卷共18套试卷为例，从情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思四个维度对高考数学建模水平層次进行量化分析，提出了整体设计数学建模活动，逐步提升数学建模能力的建议。

【关键词】数学建模；数学应用；整体设计；课程标准；高考评价

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《数学课程标准》）提出高中数学学科核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析［1］。结合《中国高考评价体系》教育部教育考试院任子朝博士等提出高考命题数学学科考查的关键能力包括五个方面，即逻辑推理能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力和创新能力［2］。随着新课程、新教材、新高考的实施，人们对高考数学试题中上述关键能力的研究日益增多，但是针对数学建模能力考查的试题研究还比较少，大多数研究者在对数学学科核心素养分析时只是稍微涉及一些数学建模内容。因此，在新高考背景下对高考试题中的数学建模能力的考查分析具有十分重要的意义。本文以2021—2023年高考数学全国卷共18套试卷中的试题为研究对象，深入分析数学建模的基本考查特征，提出提升数学建模能力的教学建议。

一、数学建模素养

（一）数学建模素养的内涵

《数学课程标准》指出，数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建模素养作为高中数学学科素养的六大组成部分之一，是对数学学科素养育人的回应，是对“三会”基本理念的实践：“会用数学眼光观察世界”——提出问题阶段；“会用数学思维思考世界”——模型建构阶段；“会用数学语言表达世界”——模型改进阶段。

《中国高考评价体系》把“关键能力”定义为，即将进入高等学校的学习者在面对与学科相关的生活实践或学习探索问题情境时，高质量地认识问题、分析问题、解决问题所必须具备的能力。为更有利于高考命题，共确立了三个方面的关键能力群，即知识获取能力群、实践操作能力群（包含数学建模能力）和思维认知能力群，并把考生在这三个方面的发展层次与水平作为主要的考查内容［3］。数学建模素养就是数学建模能力的内隐，不方便直接设置成考题进行考查；而数学建模能力是数学建模素养的外显，便于设置成高考试题进行考查［4］。

（二）数学建模素养的水平划分

《数学课程标准》把数学学科核心素养的六个方面划分为三个水平层次，并且每一个水平层次再通过情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思四个维度进行详细表述，见表1。

其中，情境与问题这一维度包括“情境”“问题”两个方面。在教学中，我们常常把情境指向具有一定情感氛围的教学活动。《数学课程标准》中的情境主要有三类：现实情境——来自生产、生活现实的情境，数学情境——来自数学学习与探究过程的情境，科学情境——来自科学探索的情境。这里主要指在数学探索过程中的跨学科情境。而问题指在具体的情境中提出的具体的数学问题。

在知识与技能维度中，知识是数学学科内容中的数学知识，主要包括集合、函数（包括方程与不等式、数列、三角函数等）、向量、立体几何、平面解析几何、概率与统计等。技能是指在数学学习中通过反复训练而形成的一些熟练动作。例如求简单函数的定义域、利用定义讨论函数的单调性等。

思维与表达主要指是在高中数学学习活动过程中所体现出的学生的理性思维品质（如独立而创新的看法，对某一数学问题的多角度思考、发散性或逆向地求解数学问题等）和严谨而精准的表达。

交流与反思主要涉及如何进行数学交流与评价方面，即能够运用包括自然语言、符号语言和图形语言等在内的数学语言对数学概念、数学思想方法等进行描述、解读、归纳总结、沟通与交流、评价等。

二、分析对象的选择

高考“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能，决定了高考试题的三大工具性：学科育人目标检测、高等学校人才选拔和中小学教学引导工具。高考数学试题对提升数学学科的育人功能、人才选拔功能起着至关重要的作用。数学建模源于对现实生活问题的数学抽象，这也是将其作为分析对象的关键性依据。本文以2021—2023年高考数学全国卷18套试卷为例，采用定量分析与定性分析法相结合，从题号分布、内容特征两个方面分析近三年高考试题的特点及命题现状。

三、数学建模素养的考查特征分析

（一）试题题号分布

笔者对2021—2023年高考数学全国卷的建模试题进行归类及分析，结果如下（见表2至表4）。

从表2至表4可以看出，数学建模客观题的考查试题数不稳定，一般在1—2道，多则3道，少则0道；解答题的考查试题数比较稳定，基本上有1道以概率统计为背景的解答题（2022年全国甲卷文科除外）。客观题大多数分布在前9题，以简单应用情境考查基础知识和基本技能，尤其是以时事为背景的试题偏多，主要考查学生从现实问题中提取数学问题，并运用已学知识简单计算或推理，体现了数学的应用性。解答题的题目总体上所在的位置变化不大，一般处在第17、18和19题的位置，而新高考卷变化较大，在第20、21题中均有出现，这说明在新高考理念下，试题加大了对实际应用的考查，尤其侧重在综合情境下对学生能力的考查。例如2021年新高考Ⅱ卷第21题和2023年新高考Ⅰ卷第21题，分别以微生物繁殖、投篮为背景考查概率、等比数列及导函数等知识的应用，使得试题情境复杂，解答灵活，更能体现新课改的力度，也印证了为什么新教材上会出现大量现实情境问题的引入案例。

（二）考查内容特征分析

以上文表1所述的数学建模素养四个方面的维度以及各自在三个层次水平下的质量描述为依据，对上述高考试题中的客观题、解答题的考查情况做出量化分析（如图1至图4）。

基于以上分析，可以得出以下结论：

1.我们把数学建模素养的情境与问题维度下的质量水平层次分别称为基础性关联、一般性关联、和综合性关联，分别与表1中的水平一、水平二和水平三对应。从图1中可以看出，客观题和解答题在基础性关联的试题数远超过一般性关联。因此，从情境与问题维度来看，高考中数学建模问题着重考查对熟悉的数学模型的识别（即深刻理解其现实背景与数学表达）和从现实情境中抽象出数学问题的能力。学生必须具备相应的信息获取、研究探索和科学思维能力等数学学科关键能力。例如2023年全国甲卷理科第6题以报名体育俱乐部作为情境考查条件概率，2023年新高考Ⅰ卷第10题在噪声污染问题情境中考查指数、对数运算，2023年新高考Ⅱ卷第12题在信号传输情境中考查相互独立事件的概率计算，2022年全国甲卷理科第19题在学校体育比赛情境中考查概率计算，2022年全国乙卷理科第4题以探月任务为情境考查数列模型。

2.知识与技能维度的特征包括三个层次：模仿型理解（水平一）、选择型理解（水平二）、创造型理解（水平三）。其中，模仿型理解主要对应技能程度的考查，即能否模仿已知的数学建模过程进行问题求解；选择型理解则指在现实问题情境下进行恰当的数学模型的选择，显然，这依赖于对各种可能的数学模型所能解决问题的类型、参数的意义与确定、结果的检验与模型完善等方面的深入理解。从图2可看出，客观题与解答题在水平二的试题数均远远多于水平一。数学模型的选取取决于所考查的现实问题背后所蕴含的数学本质与规律。

下面，笔者根据各知识板块内容对试题数量的占比进行统计（如图5），以便让大家更好地了解数学建模能力在各个知识板块下的考查比重。

从图5可以看出，对概率与统计的考查占比最大，其次是排列与组合。技能上强化了所建立的数学模型中的参数的选取、参数的数学意义（代数或几何意义）、建立模型及求解模型的基本方法与步骤等。如2022年新高考Ⅰ卷第4题考查了在南水北调工程情境下的棱台模型，涉及棱台的体积计算；第20题考查在地方性疾病情境下的相关性，主要是运用相关公式进行数学运算及逻辑推理，综合性强，对条件概率模型的识别与运用的理解要求较高；2023年新高考Ⅰ卷第10题不仅考查学生快速抽象出基本数学模型，还考查对数运算及估算等基本技能。

3.思维与表达维度包括基礎性运用（水平一）、关联性运用（水平二）、本质性应用（水平三）。基础性运用聚焦于对已学的数学模型的意义的说明；关联性运用聚焦于在思维层面上经历数学建模的过程；本质性应用则聚焦于对数学模型所蕴含的作用与价值的理解。通过图3，我们发现，客观题与解答题在水平二的试题数远多于水平一，即高考试题着力于考查数学建模的思维全过程。例如2022年新高考Ⅱ卷第3题考查以中国古建筑屋顶为情境的等差数列模型，需要考生通过确定等差数列的基本参数（首项与公差）建立模型，并通过模型解决问题——求数列的某一确定项。2021年新高考Ⅰ卷第16题考查在剪纸艺术情境下的等比数列模型，需要考生确定等比数列的基本参数建立模型并通过此模型解决问题——求前n项和。2023年新高考Ⅰ卷第21题考查以篮球运动为情境的概率统计模型，在问题解决过程中还需要根据数列递推式构造新数列求和，即需要确定等比数列的基本参数建立模型并求解。以上试题均聚焦于完整的数学模型建立的过程。

4.交流与反思维度包括基本性解释（水平一）、一般化解释（水平二）、综合性解释（水平三）。三个水平层次分别聚焦于借助建模结果解释问题，通过建模思想解释问题、阐释规律。从图4可以看出，客观题和解答题均侧重考查水平一。例如2021年新高考Ⅱ卷第4题考查以卫星导航系统为情境的球体模型，通过球体表面积公式等相关计算结果说明卫星信号覆盖率情况；2021年新高考Ⅱ卷第21题考查以微生物繁殖为情境的函数模型，通过相应概率及函数运算的结果解释微生物继续繁殖或灭绝的基本规律。

四、教学建议

基于上述认识，在教学实践中，教师应努力提升情境问题设计能力，特别是设计真实的、激发学生兴趣的情境。同时，整体设计数学建模活动的教学，让学生在数学实践与应用中逐步提升数学建模核心素养。

（一）分层设计，重视数学建模活动

数学建模是数学学科核心素养的重要组成部分，其综合性较强，与其他五个核心素养之间紧密联系并相互融合。数学建模素养的提升是一个有层次且循序渐近的过程，需要在教学中整体设计，逐步渗透。根据数学建模素养的发展水平层次，可以进行以下7个层次的整体过程设计。

1.设计实际情境：为帮助学生理解数学基础知识而进行实际情境设计。例如为理解指数函数而设计人口增长、病毒繁殖的函数模型。

2.理解实际意义：直接或间接地运用数学知识得到有实际意义的结果或解释结果的实际意义。例如根据指数函数计算出经过10次繁殖后的病毒数量，理解短期内感染人数的剧烈增长。

3.初识实际问题：通过讲解、合作等方式，带领学生解决一些简单、具体的实际应用问题。

4.解决简单问题：让学生独立自主地解决一些简单、具体的实际应用问题。

5.提出实际问题：在给出的生产生活情境中，引导学生自主提出实际问题，然后师生再共同进行“建立模型”“模型求解”两个过程的数学活动，让学生初步经历数学建模活动经验。

6.部分自主建模：在发现问题、提出问题、模型选择、模型建立、模型求解、结果解释等环节中，教师部分参与（即主要提供思维方向引导），让学生经历数学建模的选题、开题、做题与结题的全过程。

7.全过程自主建模：让学生独立经历数学建模的全过程，并在此过程中自主决定是否寻求教师的指导。

其中，第1—3层次应在日常教学中完成，第4层次则在章末复习时完成，最后再根据学生的具体情况，逐步实现第5—7层次的要求。

（二）逐步渗透，提升数学应用意识

学以致用是素质教育的根本目的。在数学学习中，可以在知识学习的同时，将典型的生产生活应用与之建立联系。以贴近生活、社会、时代的生活实践和学习探索情境为载体，联系社会发展、科学进步、生产生活实际进行应用性考查，让学生体会数学源于生活，并应用于生活。例如，指数函数与病毒繁殖、指数爆炸；半衰期和声强的对数模型；概率与运动击中目标（如投篮、射击等）；数列与存款的本息和；三角函数与高度、长度、角度；等等。教师将数学知识在生活中的应用渗透于每一节课中，让学生将模型应用到实际当中，并用计算结果去说明实际问题。这样不仅能让学生强化知识，而且对提升学生的数学应用意识和学习数学的兴趣都会产生积极作用。

（三）追根求源，挖掘概念应用背景

重要的数学概念，其产生一定具有某种应用背景，让学生体会数学概念的生成过程，实现从被动接受数学概念到主动参与数学概念的诞生，对提升其数学应用意识具有重要价值。如复数的产生归根于在求解部分实系数一元三次方程中无法回避的问题——求一元二次方程x2=-1的根；数列递推公式——大自然中的斐波那契数列；而函数的概念源于17世纪人们对运动的研究。挖掘并引导学生理解重要的数学概念的应用（包括生活中的应用或数学自身的应用）背景，还可以提升学生对数学的科学价值、文化价值甚至审美价值的认识。

（四）顺藤摸瓜，梳理重要结论的应用

重要的数学结论应用非常广泛。如余弦定理是勾股定理的一般性結论，不仅可以解决直角三角形问题，还可以解决任意三角形的相关问题；圆锥曲线的焦点性质，决定了其对光学的聚合作用，从而在电影机、手电筒等光学器材，甚至建筑领域的应用；函数的周期性在未知领域的规律探索中的应用；坐标系在卫星导航中的应用；等等。

在数学教学中，教师要用心引导学生经历以下学习过程：从已学过的知识与方法，到自主选择知识与方法解决实际问题；从套用已学的数学模型，到自主选择恰当的数学模型解决实际问题；从简单、熟悉的情境，到复杂、综合的情境；从单纯做题，到发现生活中的问题的数学解释，从而进行数学探究和数学建模；从单纯的数学知识与方法的学习，到解决实际问题，并在此过程中获得充分的数学活动经验，从而提升学生数学建模能力。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］任子朝，赵轩. 基于高考评价体系的数学科考试内容改革实施路径［J］. 中国考试，2019（12）：27-32.

［3］教育部考试中心. 中国高考评价体系［M］.北京：人民教育出版社，2020．

［4］原坤，吴智敏，谢发超，等. 高考试题中运算求解关键能力的考查分析：以2019—2021年高考全国卷中解析几何试题为例［J］. 教育科学论坛，2022（4）：37-39.

（责任编辑：陆顺演）

【作者简介】周先华，高级教师，成都市特级教师，主要研究方向为中学数学教育教学；郑传远，一级教师，主要研究方向为中学数学教育教学；原坤，一级教师，成都高新区学科带头人，主要研究方向为中学数学教育教学；谢发超，成都市玉林中学校长，成都市学科带头人，主要研究方向为学校管理、中学数学教育教学。

【立项课题】四川省2022年度教育科研重点课题“从复现到运用——回归知识脉络的问题情境教学研究”（SCJG22A033）；四川省教育学会2022年度教育科研课题“深度学习视阈下高中数学课堂教学设计研究”（川教学会〔2022〕18号）；成都市2022年度教育科研规划名师专项课题“回归知识脉络的问题情境教学研究”（CY2022ZM28）