指向核心素养的单元整体教学设计及思考
——以“直线的倾斜角与斜率”教学过程为例

浙江省金华第一中学 (321015) 魏 燕

课堂教学是落实数学核心素养的关键,教学设计正是连接课程标准、教材及课堂教学的桥梁.单元整体教学是新课程强调的重点,其教学设计同样强调从知识的联系出发,关注教学目标的整体性、层次性、递进性,在学生获得“四基”、提高“四能”的过程中落实核心素养.本文以“直线的倾斜角与斜率”教学过程设计为例,谈几点思考.

1 教学过程设计

1.1 阅读章引言,构建先行组织者

引导语上一章我们以空间向量为工具研究了空间图形的位置关系和距离、角度等度量问题,与立体几何初步的方法比较,你认为用向量方法研究几何问题的特点是什么?

问题1 解析几何是一门怎样的学科?它经历了怎样的发展历程?本章要学哪些内容?按怎样的路径展开?请大家阅读章引言,并给出回答.

设计意图：通过回顾向量法、阅读章引言、展示解析几何的发展历史,初步构建用坐标法研究曲线的主体框架.

1.2 探索直角坐标系中确定直线位置的几何要素

问题2 按照以往的经验,我们从最简单的几何图形直线开始研究.根据上述研究思路,为了用代数方法研究直线,首先要明确在直角坐标系中确定直线位置的几何要素,然后用代数方法把这些几何要素表示出来.确定一条直线的几何要素是什么?对于直角坐标系中的一条直线,如何利用坐标系确定它的位置?

追问1“两点确定一条直线”不需要借助直角坐标系.我们要利用直角坐标系给直线“定位”,那么直角坐标系的定位功能体现在哪里?

追问2 为了帮助大家思考,我们来观察图1.在平面直角坐标系中,经过一点P可以作无数条直线…,它们组成一个直线束,如何利用坐标轴把这些直线区别出来?(教师用GeoGebra直观展示在平面直角坐标系中经过一点有无数条直线;学生小组合作探究,教师聆听,适时点评,引导学生以x轴为基准思考这些直线的差异,发现这些直线相对于x轴的倾斜程度不同.)

图1

追问3 如何用数学的方法刻画“直线相对于x轴的倾斜程度”?

在此基础上,推广到一般,给出倾斜角的定义.

追问4 你认为直线的倾斜角在什么范围内变化?

设计意图：探索坐标系中确定直线位置的几何要素,以发挥直角坐标系的定位功能为思维导向,通过问题引导学生开展探索活动.

第一步,明确直角坐标系的定位功能体现在原点为“基准点”、坐标轴为“基准方向”;

第二步,以公共点在x轴上的直线束为特例,探索利用坐标轴把这些直线区分开来的几何条件,在动态几何软件的帮助下实现从“倾斜程度”(定性)到“倾斜角”(定量)的过渡;

第三步,从具体到一般,得出倾斜角的定义和范围.

这是在“以直角坐标系为工具刻画直线的几何要素”的目标引领下的探究活动,本质上是以坐标法思想为指导,使学生在解析几何入门阶段就对如何发挥坐标系的作用留下深刻印象,有利于学生理解倾斜角概念的内涵,并在概念形成过程中提升理性思维水平.

1.3 推导过两点的直线斜率的计算公式

问题3 在平面直角坐标系中,一条直线l可以由一个点和一个倾斜角唯一确定,它显然也可由其上的两点P1、P2唯一确定.所以,可以断定,直线l的倾斜角一定与P1、P2两点的坐标有内在联系.到底具有怎样的联系?可以用什么方法来建立这种联系?

追问1 为了探寻思路,我们利用向量方法来解决几个具体的问题.设直线l的倾斜角为α,

追问2 你能将上述问题的解答推广到一般吗?也就是说,如果直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),那么α与P1、P2的坐标又有怎样的关系?

追问3 当直线倾斜角为0°时,上式成立吗?为什么?

设计意图：问题2与三个追问按如下思路展开:

首先,在“同一对象的两种表示一定有内在联系,可以相互转化”的思想指导下,提出问题,并启发学生从“定量刻画方向”的角度思考把直线的倾斜角和直线上两点的坐标联系在一起,进而想到直线的方向向量.

1.4 从联系的角度辨析和理解公式

问题4 请同学们思考一下,生活实际中有没有与倾斜程度、倾斜角、斜率等类似的概念?(引出当直线倾斜角为锐角时,直线的斜率与坡度类似)

追问1 直线斜率随倾斜角如何变化?为什么?

追问2 过两点的直线斜率公式适用于倾斜角为90°的直线吗?

设计意图：根据以往的学习经验,在得出一个数学概念、定理等之后,我们要从不同角度、联系相关知识以加深对它的理解.

追问3 你能发现直线的方向向量与斜率之间的关系吗?

设计意图：直线的方向向量及其坐标表示是重要而有用的知识,通过建立斜率与它们之间的联系,一是加深对斜率的理解;二是要让学生在今后的学习中养成运用向量表达几何元素、研究几何问题的习惯,特别是在解决与大小和方向相关的问题时,联系向量及其运算是非常奏效的方法;三是使学生体会向量法和坐标法的内在关联,为后续学习奠定基础.

1.5 学以致用,解决问题

例已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),分别求直线AB、BC、CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角?

设计意图：巩固斜率公式,在应用中感受倾斜角与斜率之间的关系.

1.6 课堂小结,形成结构

问题5 请同学们带着如下问题回顾本节课的学习过程,并给出回答.

(1)在直角坐标系中,确定直线位置的几何要素是什么?在得出这些几何要素的过程中,我们利用了直角坐标系的哪些功能?

(2)倾斜角是刻画直线相对于x轴的倾斜程度的几何量,为了将它代数化,我们利用了哪些数学思想方法?

(3)在用向量方法推导过两点的直线斜率的计算公式时,我们经历了怎样的过程,用了哪些数学思想方法?

(4)倾斜角、斜率、直线的方向向量等都刻画了直线的方向,由此你能想到哪些问题?

(5)说说以直角坐标系为工具解决几何问题的大致步骤.

设计意图：(1)小结时关注倾斜角概念的同时,通过对直角坐标系功能的总结可以使学生明白如此定义倾斜角的理由.(2)将倾斜角代数化为斜率,首先是数形结合与转化,这是解析几何的根本思想;由“两点确定直线”而断定可用两点的坐标表示倾斜角,由倾斜角刻画了直线的方向,从而联想到直线的方向向量,并建立倾斜角与方向向量、三角函数之间的联系,反映了数学的整体性、联系性,其中“一个对象的不同表示方式之间一定有内在联系,可以相互转化”的思想指引着思考的方向.这些思想、观念蕴含于斜率概念的形成过程中,通过小结将它们揭示出来,有利于学生领悟数学基本思想、积累基本活动经验,对理性思维的发展也很有好处.(3)在推导斜率计算公式时,从特殊到一般、分类讨论、数形结合、联系与转化等众多数学思想方法都在发挥着作用.(4)倾斜角、斜率、直线的方向向量都刻画了直线的方向,首先想到的是如何建立这些概念之间的联系、实现相互转化,另一个是它们之间的差异性,倾斜角为90°时斜率不存在,此时方向向量的表达则更具有灵活性.(5)使学生在解析几何入门阶段就形成坐标法的较为深刻的印象.

1.7 目标检测,检验效果

题1 已知A(1,1),B(3,-1),C(a,8)三点共线,则a的值为________.

题2 已知点A(1,2),请在y轴上求一点P,使直线AP的倾斜角为120°.

设计意图：考查学生斜率的坐标公式及倾斜角与斜率关系的掌握情况.

2 几点思考

2.1 教学设计应聚焦在哪?

教学设计的聚焦应在于借助教学内容体现数学的基本思想和解决问题的一般思路.本节课是解析几何单元的开篇,承担着从宏观上明确研究对象、构建研究框架、形成研究路径等任务.所以,在开篇伊始就注重解析几何基本思想、用坐标法解决问题的基本思路的渗透,这是本教学设计的一个基本指导思想.引导学生类比用向量方法研究几何问题的基本思想和“三部曲”,并通过阅读教科书的章引言,使学生明确解析几何的基本思想、了解研究路径,从而构建起学习本章内容的先行组织者.

2.2 怎样发挥单元起始课在单元整体教学中的功能?

良好的开端是成功的一半,单元起始课的地位举足轻重.单元起始课应在单元整体框架下进行设计,设计中要注意把握与本单元其他内容研究方法的整体性;知识形成的逻辑性;思想方法的一致性;研究方法的普适性、思维的系统性,这样不仅可以防止碎片化的学习,也能凸显单元开篇课在单元中的开启和引领价值.

2.3 如何在教学中落实数学核心素养?

本节课是解析几何的开篇课,处于最基础阶段,但蕴含着丰富的数学思想方法,其中最突出的是确定直线位置的几何要素的多元联系表示,由此产生的数学思想方法,由此引发和提出的数学问题.本教学设计抓住“联系”,在“直线l的方向一倾斜程度(定性)一倾斜角(定量)”和“两个点确定直线l,则两个点的坐标与倾斜角必然有内在联系”这两个关键点上,通过层层递进的问题引导学生开展探究活动,体会坐标法思想,培养逻辑推理、数学抽象等关键素养.所以,教学设计要关注教学目标的整体性、层次性、递进性;充分保证能有效地开展“四基”“四能”教学,在使学生获得“四基”、提高“四能”的过程中落实数学核心素养,优化个性品质.