对2023 年四省联考第16 题的探索

江西省上饶中学(334600) 俞 振

2023 年为加强教考衔接,实现平稳过渡,教育部教育考试院命制了适应性测试卷,教育部新课标四省联考(云南、吉林、黑龙江、安徽)于2023 年2 月23-24 日举行,试题创意新颖,难度大,现就第16 题尝试探索解题思路及备考方案.

题目(2023 年四省联考第16 题)下图为一个开关阵列,每个开关只有“开”和“关”两种状态,按其中一个开关1 次,将导致自身和所有相邻的开关改变状态. 例如,按(2,2)将导致(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2)改变状态. 如果要求只改变(1,1)的状态,则需按开关的最少次数为____.

解法1设该开关阵列的原始状态为

记为A0=(0,0,0,0,0,0,0,0,0).

若依次按下(1,1),(1,2),(1,3),则状态情况分别变为:

状态变化分别记为A1= (1,1,0,1,0,0,0,0,0),A2=(1,1,1,0,1,0,0,0,0),A3=(0,1,1,0,0,1,0,0,0).

易见,若某开关连按两次,则还原为初始状态,故最多只需按1 次. 以下同理.

若依次按下(2,1),(2,2),(2,3),则状态情况分别变为:

状态变化分别记为A4= (1,0,0,1,1,0,1,0,0),A5=(0,1,0,1,1,1,0,1,0),A6=(0,0,1,0,1,1,0,0,1).

若依次按下(3,1),(3,2),(3,3),则状态情况分别变为:

状态变化分别记为A7= (0,0,0,1,0,0,1,1,0),A8=(0,0,0,0,1,0,1,1,1),A9=(0,0,0,0,0,1,0,1,1).

最终的状态(题目中的目标状态)应是

记为A10= (1,0,0,0,0,0,0,0,0). 则原问题转化为经过怎样的变化, 状态可以从A0到A10. 设Ai的变化次数为ai,i=1,2,···,9,则ai∈{0,1}.

可得方程组

解得a1=1,a2=0,a3=1,a4=0,a5=0,a6=1,a7=1,a8=1,a9=0,即按下(1,1),(1,3),(2,3),(3,1),(3,2)各一次即可,顺序可变,故最少需要5 次.

注记考虑到对称性,不妨令a1=1,由a1+a2+a4=1,得a2=0,a4=0,由a2+a3+a6=2,则a3=1,a6=1,由a4+a7+a8=2,得a7=1,a8=1,即可得a5=0,a9=0,可较快解出结果.

此题重在考查数学建模思想,把状态变化问题转化为方程组的解问题,是一道非常有特色的题,如果用列举法,得碰运气.

解法2考虑到在考试时不可能有较多时间详细分析,故可以从问题的对称性开始. 设该开关阵列的原始状态为

考虑到图形关于对角线对称,故先按(1,1),则为

注意到按关于对角线对称的两个开关,不影响对角线的状态,故再按(3,1)和(1,3),得

思考题右图为一个开关阵列,每个开关只有“开”和“关”两种状态,按其中一个开关1 次, 将导致自身和所有相邻的开关改变状态. 例如, 按(2,2)将导致(1,2),(2,1),(2,2),改变状态. 如果要求只改变(1,1)的状态,则需按开关的最少次数为_____.

若依次按下(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),则状态情况分别变为

状态变化分别记为A1= (1,1,1,0),A2= (1,1,0,1),A3=(1,0,1,1),A4=(0,1,1,1).

易见,连按两次,则还原为初始状态,故最多只需按1 次.

全部相加可得,3(a1+a2+a3+a4)=7,可知无整数解. 即原问题无解.

由此可类比得: 偶数阶问题无单状态变化解. 奇数阶问题存在最小次数解.