Euler不等式的加强

湖南省长沙市望城区中小学教师发展中心(410200) 刘先明

设ΔABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径与半周长分别为a,b,c,R,r,s,用表示循环求和.

文[1]记载: 1967年,L.Bankoff——洛杉矶的一名牙科医生在《Math Mog》上将Euler 不等式R≥2r加强为:

本文得到(1)式的两个加强.

先有几个引理:

引理1(见文 [2]) 在 ΔABC中, 有当且仅当ΔABC为正三角形时取等号.

引理2(见文 [3]) 在 ΔABC中, 有s2≥当且仅当ΔABC为正三角形时取等号.

引理3(见文[4])在ΔABC中,有当且仅当ΔABC为正三角形时取等号.

引理4在ΔABC中,有当且仅当ΔABC为正三角形时取等号.

证明由引理1,要证明引理4,只需要证明:

■

∴引理4 成立.

定理1在ΔABC中,有当且仅当ΔABC为正三角形时取等号.

证明∵,∴由引理4,得:.在上式两边分别乘以R和r,然后将两式相加,得:由引理2 和引理3 得:

定理2在ΔABC中,有当且仅当ΔABC为正三角形时取等号.

证明由引理1 和引理4,得:即:仿照定理1 的证明方法,在上式两边分别乘以R和r,然后将两式相加,得:

注1定理1 和定理2 可直接证明:

注2定理2 强于定理1.