圆锥曲线中一个直线过定点的性质

内蒙古巴彦淖尔市第一中学(015000) 杨松松 王东伟

题目(2022年广州一模第21 题)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(−2,0),B(2,0),点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为,点M的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程;

(2)已知点F(1,0),直线l:x=4 与x轴的交点为D.直线AM与l交于点N,是否存在常数λ,使得∠MFD=λ∠NFD? 若存在,求λ的值.若不存在,说明理由.

文[1]探究了题目,并从文[2]中找到了题目所考查的椭圆性质:

设F(−c,0)为椭圆的左焦点,不过点F的直线与椭圆交于A、M两点,且与椭圆的左准线l交于N,则NF平分∠AFM的外角.

笔者思考,关于∠AFM平分线有怎样的结论,经探究,笔者得到了圆锥曲线中一个直线过定点的性质:

命题1已知椭圆C:的左顶点为A,右焦点为F,M为椭圆C上异于其左右顶点的一点,∠AFM的平分线交MA于点N,若直线MF交椭圆C于另一点P,则直线NP过定点(e为椭圆C的离心率).

证明设点P(x2,y2),N(xN,yN),由FN平分∠AFM得因此,设直线MP的方程为x=my+c,代入椭圆C的方程并整理得:(b2m2+a2)y2+ 2b2mcy−b4=0,于是∆>0,且从而是直线NP的一条方向向量,又因此,直线NP的方程为:(x2−xN)·(y−y2)=(y2−yN)·(x−x2),把xN,yN代入并整理得:

注意到

于是直线NP的方程可改写为:

命题2已知椭圆C:的离心率为e,点M为椭圆C上异于其左右顶点的一点,∠AFM的平分线交MA于点N,若直线MF交椭圆C于另一点P,则直线NP过定点

在双曲线中得到:

命题3已知双曲线C:(a>0,b>0)的顶点A(λa,0),焦点M(异于点A)为双曲线C上一点且与点A位于同一支,∠AFM的平分线交MA于点N,若直线MF交双曲线C于另一点P,则直线NP过定点(e为双曲线C的离心率,当λ·µ=−1 时e ̸=3).

于是在椭圆中得到:.

在抛物线中得到:

命题4已知抛物线C:y2=2px(p >0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线C上异于点O的一点,∠MFO的平分线交MO于点N,若直线MF交抛物线C于另一点P,则直线NP过定点.

证明设点M(x1,y1),P(x2,y2),N(xN,yN),由FN平分∠MFO得:于是又设直线MP的方程为代入抛物线C的方程并整理得:y2−2pmy−p2=0,于是∆>0,且y1+y2=2pm,y1y2=−p2.

于是直线NP的方程可改写为: