从一道联考试题谈米勒定理及其简单应用

2023-09-15 07:03陈艺平
数理化解题研究·高中版 2023年8期
关键词:数学建模应用

摘 要:文章从一道质检试题出发,简要阐述米勒问题及其应用,以此提高学生应用模型解决数学问题的能力和数学建模素养,促进其深度学习.

关键词:米勒问题;应用;数学建模

中图分类号:G632 文献标识码:A 文章编号:1008-0333(2023)22-0014-04

米勒问题涉及三角形、直线、圆、椭圆、双曲线等众多知识点,经常与角度的最值问题结合考查.借助米勒定理可以迅速求解此类角度的最值问题.

1 试题呈现

题1 (华南师大附中,广东省实验中学,广雅中学,深圳中学2022届高三四校联考第7题)

在足球比赛中,球员在双方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的,出球点对球门的张角越大,射门的命中率就越高.如图1为室内5人制足球场示意图,设球场(矩形)长BC图1 2022届高三四校联考第7题图大约为40米,宽AB大约为20米,球门长PQ大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上某点M处射门(假设球贴地直线运行),为使得张角∠PMQ最大,则BM大约为()(精确到米).

A.8B.9C.10D.11

2 试题分析

本题以5人制足球场为背景,求足球运动员最佳射门位置.显然这是一道现实生活中的问题,体现了数学来源于现实并用于解决实践问题的理念,突出了对数学建模素养的考查.试题入手宽,解法多,但是不同的解法繁简程度不一,要求考生择优选择最佳路径解决问题,突出了对数学运算素养的考查.

3 试题解析

思路1 从解析几何的角度入手.如图1所示,要使得张角∠PMQ最大,即tan∠PMQ最大.从函数的观点来看,要解决最值问题,必须引入变量,即将tan∠PMQ表示成某个变量的函数,再借助函数求最值的方法解决问题.观察图1可知,∠PMQ=∠BMQ-∠BMP,所以可以将tan∠PMQ转化成

tan∠BMQ-∠BMP.进一步借助两角差的正切公式展开并引入变量解决问题.

当且仅当x2=96,即x≈10时,tan∠PMQ取得最大值.

此时张角∠PMQ最大,所以当BM大约为10米时,张角∠PMQ最大.

思路2 思路1虽然解法自然,但是计算量大,同时也没有看到试题背后隐含的本质.本题要寻找最佳射门位置,实则是著名的米勒问题[1].米勒是德国的一名数学家,他于1471年提出一个有趣的问题:在地球表面的什么位置,一根垂直的悬杆呈现最长?即在什么位置,视角最大?这个问题被称为最大视角问题,又称之为“米勒问题”.其数学表述如下:

已知点A,B是∠MON的边ON上的两个定点,点C是边OM上的动点,则当点C在何处时,∠ACB最大?

可以证明如下结论:

已知点A,B是∠MON的边ON上的两个定点,点C是边OM上的动点,则当且仅当△ABC的外圆与边OM相切于点C时,∠ACB最大.

该结论简称为米勒定理.主要有以下三种模型.

模型1 如图2所示,设直线a//b,直线a上有两个定点M,N.在直线b上取一個动点P,则当点P位于过点M,N的圆与直线b相切的切点时,∠MPN最大,此时PM=PN.

模型2 如图3所示,设直线a和b相交于点O,直线a上有两个定点M,N.在直线b上取一个动点P,则当点P位于过点M,N的圆与直线b相切的切点时,∠MPN最大,此时OP2=OM·ON.图2 模型1图 图3 模型2图 图4 模型3图

模型3 如图4所示,设直线a与圆O1相切于点Q,直线a上有两个定点M,N.动点P在圆O1上运动,则当点P位于过点M,N的圆O2与圆O1相切的切点时,∠MPN最大.

运用该定理可以解决数学上一些与最大角有关的问题.因此对于本题,还可以有如下解法.

解法2 如图1所示,作以线段PQ为弦且与BC相切的圆,切点M0.连接M0P,M0Q,当点M不为点M0时,∠PMQ<∠PM0Q.又BP=AQ=8,根据圆的切割线定理,有BM20=BP·BQ,即BM0=96,当点M为点M0,即BM大约为10米时,张角∠PMQ最大.

显然思路2比思路1在思维上更胜一筹,在计算上更加简捷,体现了多思少算的良好数学品质.这也体现了命题者命制本道试题的初衷——对数学建模思想的考查,

4 拓展应用

例1 (2022年上海交大强基试题)已知椭圆x24+y2=1的焦点为F1,F2,点P在直线x+23y-

43=0上,当∠F1PF2最大时,则PF1PF2=.

解析 如图5所示,当过点F1,F2的圆与直线x+23y-43=0相切,切点为点P时,∠F1PF2最大.此时△QPF2∽△QF1P.

故QPQF1=PF2PF1.

由于QP2=QF2·QF1=45,

所以QP=35.

因此3553=PF2PF1,

所以PF1PF2=153.

例2 (2022年9月清华大学中学生标准学术能力诊断性测试)在平面直角坐标系中,A0,1,

B0,2,若动点C在直线y=x上,圆M过A,B,C三点,则圆M的面积最小值为.

解析 如图6所示,当圆M与直线y=x相切于点C时, 圆M的面积最小.

由割线定理可知,OC2=OA·OB=2.

解得OC=2.

在△BOC中由余弦定理可得BC2=2.

则BC2+OC2=OB2.

所以BC⊥OC.

故BC为圆M的直径.

所以此时圆M的面积最小为π2.例3 (长沙市雅礼中学2023届高三月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若ccosA+acosC=2,AC边上的高为3,则∠ABC的最大值为.

解析 由已知可得b=2.

作直线l∥AC,当过A,C两点的圆与直线l相切于点B时,∠ABC最大.结合已知条件易知此时△ABC为正三角形[2].

所以∠ABC的最大值为π3.

例4 已知点P为抛物线y2=4x上一动点,A1,0,B3,0,则∠APB的最大值为.

解析 根据米勒定理,当点P为过A,B的圆与y2=4x相切的切点时,∠APB取最大值.

在一些现实问题中,涉及到视野的最大值问题也可以借助米勒定理解决,体现了数学建模的思想.数学建模是六大数学核心素养之一,贯穿于新教材必修一和必修二两册的教学内容当中.数学建模素养是教师在课堂教学中应该着力培养的素养,在平时的教学中教师可以适当介绍米勒问题,并与高中内容相结合,以此为抓手培养建模思想,提高数学思辨智慧,促进深度学习.

参考文献:

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2017.

[2] 教育部考试中心.中国高考评价体系[M].北京:人民教育出版社,2019.

[3] 张俊畅.米勒问题的数学建模及应用[J].数理化解题研究,2020(34):14-15.

[4] 彭博.最大视角问题与米勒定理[J].高中数学教与学,2021(05):17-19.

[责任编辑:李 璟]

收稿日期:2023-05-05

作者简介:陈艺平(1977.11-),男,福建省龙海人,本科,中学高级教师,从事高中数学教学研究.

基金项目:福建省教育科学“十四五”规划2022年度“协同创新”(含帮扶项目)专项课题“新课程大单元理念下高中数学集体备课模式构建”(项目编号:Fjxczx22-073)

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