基于粒子群算法的GM(1,1)模型优化＊

王鲁欣

（江苏航运职业技术学院 基础教学部，江苏南通 226010）

0 引言

灰色系统理论是由我国著名学者邓聚龙教授首创的一门系统科学理论，其产生与发展为人们科学认识和解决不确定的系统问题提供了一个新的视角[1]。GM(1,1)模型作为经典的灰色预测模型，具有所需原始数据量少、计算简便、适用性强等优点，在农业、工业、经济管理、工程技术等领域中得到了广泛应用。然而传统GM(1,1)模型也存在一定的局限性，当发展系数越大时，GM(1,1)模型的预测精度越低。为提升传统GM(1,1)模型的精度，扩大适用范围，学者们进行了大量的研究，结果表明，模型背景值构造以及初始值选取极大程度上影响了预测精度。背景值优化方面，一是优化传统的背景值公式，如蒋诗泉[2]利用复化梯形公式优化背景值，王晓佳等[3]将分段线性插值函数与Newton 插值公式相结合，改进了背景值的构造方法。背景值公式优化方法尽管在一定程度上提升了模型精度，但是背景值计算均较为复杂。基于此，张可[4]结合非线性优化的粒子群算法对背景值参数直接进行寻优，提升了预测精度，扩大了模型使用范围；杨孝良[5]提出三参数背景值构造的新方法，提升了背景值的平滑效果；徐宁[6]基于误差最小化对GM(1,1)模型背景值进行优化，该方法改善了发展系数较大时建模精度低的不足，保持了较好的无偏性，计算过程也很简便，但是证明基于原始序列有齐次指数增长规律的前提，限制了模型的适用范围。初始条件优化方面，熊萍萍[7]针对非等间距 GM(1,1) 模型的预测问题，提出以非等间距一阶累加生成序列各分量的加权平均数作为优化的初始值，通过算例验证了所提出的非等间距优化模型的有效性和可行性；张彬[8]将背景值优化公式和边值修正相结合对模型进行改进；郑雪平[9]借鉴徐宁和张彬的思路，将初值优化方法和背景值优化结合起来进行模型优化,使近似齐次指数序列拟合效果得到明显提升。

为提升模型的适应性，本文利用智能算法实现动态寻优的目的，采用平均相对误差最小准则，构建适应度函数，将传统GM(1,1)模型的背景值系数与初始条件同时优化后，运用粒子群算法得到最优值，通过算例对优化后GM(1,1)模型的适用范围和有效性进行了验证。

1 传统GM(1,1)模型

2 GM(1,1)模型优化

2.1 背景值优化

2.2 初始值优化

2.3 背景值系数α 的确定

3 实例分析

为验证提出的优化模型对齐次指数序列的适应性，选取齐次指数函数xi(0)(k)=e-ak，k= 0,1,2,3,4,5，发展系数 -a=0.1,1.0,2.0,3.0,4.0,5.0,6.0。生成齐次指数序列，如表1 所示。

表1 不同发展系数生成的齐次指数序列

将表1 中的每行序列作为初始序列，分别采用传统模型和提出的经过背景值粒子群算法优化与初始值最小误差修正的GM(1,1)模型进行预测，每个序列所得的平均相对误差见表2，平均相对误差计算公式为：

由表2 可知，传统GM(1,1)模型误差随着发展系数的增大迅速增加，新的模型精度均高于99%，且随着发展系数增加，误差不断减少，这说明模型能够高度拟合齐次指数增长序列。

表2 模型精度对比

在实际应用方面，选取2017～2021 年我国新能源汽车保有量（见表3）为原始序列进行预测，将本文模型的预测结果分别与传统模型（模型一）、文献[6]提出的基于误差最小化的背景值优化GM(1,1)预测模型（模型二）和文献[9]提出的对初值条件及背景值进行综合优化的预测模型（模型三）进行对比（见表4）。

表3 我国2017—2021年新能源汽车保有量 （单位：万辆）

表4 4种模型精度对比

从表4 中4 种模型的模拟值、相对误差以及平均相对误差可知，模型一、模型二、模型三所得模拟数据的平均相对误差分别为4.3777%、4.9543%、3.9476%，模型的平均相对误差为 3.4036%，综合优化模型的预测精度优于其他模型。

4 结语

采用平均相对误差最小准则，构建适应度函数，结合粒子群算法动态有效寻优的特性，实现了传统GM(1,1)模型的背景值系数和初始值同时优化。通过对齐次指数序列的模拟分析可知，当发展系数α接近6 时，接近完全拟合，这说明提出的模型可用于中长期预测，其适用范围较传统GM(1,1)模型有了较大的扩展。实例验证可知，该模型在预测精度上优于已有的背景值和初始条件综合优化的GM(1,1)模型。