分类思想在初中数学教学中的有效运用策略

葛中敏

(颍上县第七中学 安徽阜阳 236200)

分类思想是数学问题常见的解决方法之一,将复杂的问题简单化,达到化整为零的效果。可以说,学习分类思想就是在培养学生更为缜密的思维,对于初中数学而言,应用分类思想需要教师准确把握分类思想概念、贯彻分类思想教学内涵、巧妙融合课堂教学步骤。

一、分类思想的概述

从定义上来说,分类思想是给予数学本质属性的相同或不同,对数学研究的对象进行分类的一种数学思想。分类思想在数学教学研究中具有充分的实践意义,不仅因为数学学科本身就具有鲜明而严谨的逻辑分类特点,更因为这种分类思想能够极大地调动学生的抽象逻辑思维,引导学生从数学思维的角度去看待问题的解决途径,可以培养学生的批判思维、周密思考能力以及探索能力和实践能力。

在分类思想中,比较是分类的前提,分类以比较为基础,而得出的结果则是通过比较而引申出的分类方式。分类思想是贯穿数学学习始终的一种思维,学生需要在学习中不断完善自己对数学问题分类的判断,包括从概念、定义、定理、求解方式等角度去进行分类,从而逐渐建立起自己独特的数学逻辑思维架构,在建模的过程中,形成更为理性、有条理和有判断的思维体系。可以说,对于分类思想概念的理解,并不是拘泥于字句说明中的学习,而是在数学学习的过程中通过练习和体会自己加以总结,每个人的数学分类方式都有属于自己的一套逻辑。对于初中生而言,有意识地运用分类思想,是打造牢固的数学理论基础和完善的思维模式的重要途径,也是当下初中数学教学值得深入探讨的教学创新思路。

二、分类思想在初中数学教学中的重要意义

随着“立德树人”教育理念的实施,学生的自主创新能力和实践能力的培养逐渐成为义务教育的热议话题,而初中阶段的数学教学是学生接触数学逻辑思维、建立理性认知的重要科目,也是学生开始形成深度思考、独立意识的关键期,因此这无疑是学生创新能力培养的重要时期。分类思想就如同一个个整齐排放的“调味瓶”,是帮助学生制作出“美味菜肴”的必备原料,正所谓“工欲善其事,必先利其器”,将这些“油盐酱醋茶”分门别类地摆放整齐,在使用时就会更加得心应手,而这显然能够更有效地提高学生的思考效率和创新能力。

数学思维是解决实际问题的高阶思维,也是最朴素、有效的提高智力的方式之一。很多人为了提高记忆力,学习“记忆宫殿”之类的记忆方法,而这些记忆方法本质上就是一种数学分类思想,将不同的知识分成类别,摆放在不同的“房间”里面,当需要用到时,大脑首先不是检索知识,而是检索分类,顺着分类的“房间”去回忆内容,极大地提高了记忆的效率和容量。因此,学习分类思想,能够帮助学生更快地解决学科以及生活中的问题,也是提高学生头脑敏感度的方式。以估算和精算的快速切换为例,无论在考试中还是在生活中,我们有时会碰到一些看似很复杂,实际很简单的问题,比如“9.9×6.9与70比较大小”这种问题,如果真的要动手去算,那显然是舍近求远了,完全可以用“10×7=70”的方式来判断出前者比较小的结果。我们的学生不仅要在面对考题时能够快速切换不同的思维方式来判断更为简便的解题途径,更要在面对一些生活困难时拥有灵活变通的能力,不要做“书呆子”。比如当面对一大堆无序的办公用品时,如何能够快速判断出分类方式并进行公平分配呢?是让取货人自己拿,还是根据用品门类快速总结出分类方式,分好类之后再进行取货呢?学生需要通过自己的判断和行动去解决问题,这就是分类思想的教育意义。因此,教师在教学过程中,不仅要在教材内容上对分类思想有所强调,更要在实际教学情境中给予学生更多的自主思考空间,学会自己判断,运用分类思想,进而解决问题。

三、分类思想在初中数学教学中的有效运用策略

(一)渗透分类思想,培养分类意识

数学是一门解决生活问题的科学,同样分类思想也是存在于生活中方方面面的思想,要做到分类思想的渗透,就必须让学生学会应用分类思想,形成分类意识。生活中存在很多分类数学问题,小到家庭用度的合理分类、家里书籍摆放分类、换季衣物存放分类,大到工资所得税计算、暖气费计算方式、银行利息计费方式等,这些都会应用到分类思想。

教师在日常教学过程中,要鼓励学生将所学知识应用到生活中,并积极布置一些需要进行实践的分类概念作业,让学生学会在生活中应用分类思想,逐渐形成自主分类意识。比如初中生普遍对自己的身高较为关注,有的比较矮的学生担心自己长不高,有的个太高的学生又担心自己还会再“蹿个”,因此教师可以给出两个方程式:y1=0.54(a+b)和y2=0.52a+0.4615b,其中y1是男孩身高,y2是女孩身高,a是爸爸的身高,b是妈妈的身高。在带入数值计算的过程中,学生会有意识地将男孩、女孩、爸爸、妈妈的概念逐渐区别开来,不仅可以计算自己的身高,还可以通过爷爷奶奶、姥姥姥爷的身高代入来检验该公式的正确性,进而将其中产生偏差的因素进行分类和思考。比如老年时期与青年时期的身高差导致数值计算有误,生长过程中药物、饮食结构不合理等因素,抑或爱运动、隔代遗传等因素,都可能造成数值的偏差。学生在研究和调查的过程中,会将诸多的可能性与生活经验结合,进行合理分类、研究,从而形成更为全面、多元化的分类意识。

(二)讨论数学概念,构建分类基础

从概念认知出发的分类是分类思想的重要组成部分,定义中所包含的要素如“点的位置”“直线与圆的位置关系”“性质判定原则”等,都是掌握和判断概念的重要影响因素,数学中常常存在很多雷同的概念,放在一起时或许可以区分开,但如果在实际应用中进行区分,就很容易造成混乱。学生在分类时必须具有清晰的发散思维,为不同的概念选择合适的分类区块,为雷同的概念寻找更为清晰、立体的定位,构建更为稳健的分类认知基础。

比如在学习“圆的基本性质”时,对于“弦心距”“圆心角”等概念的认知,以及以此推理出来的“垂径定理”“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”“在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距相等”等系列定理的理解,很容易混淆,尤其在面对综合性大题时,如何有效区分、应用这些概念,是十分考验学生的分类思维能力的。以下列这道题为例:“如图,O是∠EPF的平分线上一点,以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D,求证:AB=CD。”在这道题目中,要证明AB=CD,首先想到的可能是用全等的概念去证明,但这种方式要画较多的辅助线,比较麻烦,那如果注意到AB和CD同属于⊙O的弦,那么只要画出弦心距的辅助线,证明弦心距相等就可以了。

可以看出,要区分不同的概念,不仅要区分得清楚,更要在解题时能有效选择最简洁的概念来获得最优解。只有在学习概念的过程中不断尝试反向理解,进行更为细化的概念分类,才能更为灵活地运用这些相近而不同的概念,这便是分类教学的意义所在。

(三)解决实际问题,锻炼分类能力

将理论知识落实到实践应用中,对于初中生而言并非易事,一方面是因为教学任务较重,教师难以提供足够的时间让学生去实践应用;另一方面是因为初中阶段的数学在学习任务和难度上都较小学阶段有很大的区别,学生需要付出大部分精力用于掌握这些知识。然而,正所谓磨刀不误砍柴工,我们当下的素质教育要想真正突破传统应试教育的枷锁,就必须从学生的综合素质培养出发,适当进行取舍,给予学生更多的自主学习和实践的机会,其中,数学综合实践活动就是一种较为合理的数学学习方式。

而在实践活动中培养学生的应用分类能力,则是一个水到渠成的事情。以小组合作为例,面对一项课题,学生首先要面对的就是“任务分配”,如何将任务按照能力类别、难易程度、素材类型进行有效分类,尽快促成课题的圆满完成,这便是考验学生分类思想能力的第一步。理论设想与实践操作是截然不同的两种概念,学生从旁观者转变为参与者,在选择、记忆与创新方面都会应用到意识中存在的分类概念,从而不断完善自己的分类逻辑架构,形成更为完整的分类模式。以“圆”的学习为例,为了让学生能够对生活中的“圆”的应用有一个更为立体的认知,教师可以让学生以活动小组的形式研究古代“月亮门”的制作工艺,并利用简单的原材料制作一个可以立起来的圆形拱门。这项活动看似简单,却包含了中国传统工艺的智慧,要将数块木料通过榫卯连接、组合,拼装成一个工整的圆形拱门,并非易事,不仅要会应用到圆周率、直径、圆心等概念,更十分考验学生的动手能力和小组合作能力,能够帮助学生将学习到的知识进行有效的分类整理,“归档”到自己的“记忆库”中去。

(四)定期回顾总结,加深分类理解

就像围棋中要“复盘”一样,学习任何东西如果不懂得“温故而知新”的道理,即便当下学会了,也无法变为自己脑袋里的东西,最后多会“还给老师”。由此,教师可以通过“思维导图”的方式,让学生定期对自己掌握的知识进行有效的“分类整理”,引导学生养成定期分类的习惯,如此不仅能够让学生在学习的过程中逐渐养成留心分类的习惯,也能在思维导图的绘制过程中完成一次知识的梳理,做到查漏补缺、加深理解和记忆。就以“直线与圆的位置关系”这一章节为例,该章节的内容对于“圆”这一几何知识有承前启后的“链接”作用,学生在学习的过程中能够将前面学过的“圆的基本性质”“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”“圆的确定”等知识都应用到这一章节的学习中来,同时也为后面学习“三角形与圆的关系”打下基础。

因此,教师在引导学生进行思维导图的绘制时,要在概念整理的过程中引导学生进行“知识点回顾”说明,比如在整理“切线”相关定理时,将涉及“同位角”“圆周角”相关概念的综合题目在思维导图中进行知识链接,帮助学生建立个性化的“分类体系”。

结语

分类思想作为一种常用的解决数学问题的方法,在数学教学中应该被普遍应用,且应用的方式应该更趋向于实用化和个性化。随着“双减”政策的推行,初中数学教学应积极响应国家政策的有关规定,在课堂教学改革上更加注重效率、简化程序,将更多的自主权交到学生手中,真正教育出有能力、有目标、有方向的当代合格中学生,而分类思想的培养能够帮助学生形成更为严谨的价值观和数学素养,这对于提升学生的综合能力无疑是大有裨益的。相信伴随着分类思想在数学课堂上的深度应用,我们的中学教育一定会取得由内而外的进步与发展。