“双线”并进提升学生的核心素养

李俊强

【摘要】本文呈现人教版高中数学教材必修第一册第三章“函数的概念与性质”第2节“函数的基本性质”“单调性与最大（小）值”一课的教学片段，从教学目标、教学策略、概念辨析过程、教学组织以及其他细节等五个方面进行评析，为高中数学教师“双线”并行推进概念教学、发展学生数学学科核心素养提供范例。

【关键词】函数单调性 函数最值 数学建模 高中数学 核心素养

【中图分类号】G63 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2023）23-0079-04

中国教育学会中学数学教学专业委员会主办的第十一届高中青年数学教师课例展示活动于2022年12月落下帷幕，广西籍参展选手王学建老师执教的“单调性与最大（小）值”一课因其具备“明暗双主线”教学特点，给笔者留下了深刻的印象，本文呈现课例片段并进行评析，旨在为教师教学提供范例。

一、课例片段

“单调性与最大（小）值”为人教版高中数学教材必修第一册第三章“函数的概念与性质”第2节“函数的基本性质”的内容。

（一）提出问题，建立模型

引导语：“诗圣”杜甫在《望岳》一诗中写道，“会当凌绝顶，一览众山小”。这句诗描绘了山顶的绝妙风景。周末我们去爬山，想在山的最高处拍一张合照，请问哪里是山的最高处（如图1所示）？

问题1：我们如何判断到达了山的最高处？

师生活动：教师利用多媒体创设真实的情境，追问学生判断最高处的依据，引导学生用数学的观点描述问题。学生观察发现，可以将山的轮廓抽象为函数图象，水平位移是自变量，海拔高度是函数值，山顶可以抽象为函数图象的最高点，山顶的海拔高度可以抽象为函数的最大值。学生自主建模，教师板书标题，引出研究的问题。

（二）形成概念，研究模型

问题2：如何求函数的最大（小）值？请举例说明。

师生活动：教师引导学生举出具体的例子，并追问学生。如学生举例“f（x）=-x2的最大值为0”，教师追问“为什么0是这个函数的最大值？”

预设：从图象上看，f（x）=-x2是开口向下的二次函数，顶点坐标为（0，0），即在对称轴处取到最大值0；从解析式上看，-x2恒不大于0，则最大值为0。

教师活动：教师利用GeoGebra动态演示函数图象上动点纵坐标的变化情况，引导学生明确最大值的本质特征。从函数图象上看，任意一点的纵坐标都不超过最高点的纵坐标；从函数要素上看，该函数的所有函数值都不大于函数的最大值。

问题3：你能否用数学语言刻画函数y=f（x）的最大（小）值？

师生活动：教师引导学生将上述特例推广到一般情形，学生先独立思考或小组讨论，然后组织全班交流。教师根据学生的回答，引导学生用符号语言表示“任意”“所有”“不超过”“不大于”等意义，启发学生明确先要给出函数y=f（x）的定义域为I，存在一个实数M，引导学生说出“（1）[∀]x∈I，都有f（x）≤M；（2）[∃]x0∈I，使得f（x0）=M”。教师总结“这里借助符号语言，给出了最大值M是最大的函数值的本质特征，两个条件缺一不可，条件与结论互为充要条件”。

教师追问：你能仿照函数最大值的定义，给出函数y=f（x）最小值的定义吗？

师生活动：教师引导学生明确任意函数值都不小于最小值，学会用类比的方法获得最小值的概念。

（三）深化概念，明确模型特征

函数的最大值与最小值统称函数的最值。注意到定义中的第二个条件，最大（小）值是其中一个函数值，因此函数最大（小）值的定义还可以有以下表述。

①如果有x0∈I，使得不等式f（x）≤f（x0）对一切x∈I成立，就说f（x）在x=x0处取到最大值M=f（x0），称M为f（x）的最大值，x0为f（x）的最大值点。

②如果有x0∈I，使得不等式f（x）≥f（x0）对一切x∈I成立，就说f（x）在x=x0处取到最小值N=f（x0），称N为f（x）的最小值，x0为f（x）的最小值点。

师生活动：教师引导学生注意定义中的关键词，给出函数最值定义的另一种表述。引导学生理解函数最大（小）值是整个定义域上的整体性质。

问题4：是不是所有的函数都有最大（小）值？请举例。

师生活动：学生先独立思考，再集体交流。学生容易举出一次函数、二次函数的例子，教师引导学生根据定义说明函数有无最值的原因。教师提醒学生，函数的表示方式有三种，即解析法、图象法、列表法，让学生展开讨论，尝试用不同的方法表示函数。学生通过投影展示所举例子，教师再进行补充，全班讨论交流最值存在与否的情况。

教师追问：函数取到最大（小）值时，x的取值可能有多少個？

师生活动：教师引导学生观察前面的例子，容易发现x的取值个数可能是1个、2个、3个……甚至是无数个，教师要求学生举出“无数个”的例子。学生可能举出周期函数的例子，教师利用GeoGebra画图进行验证。

问题5：如何说明定义中的“任意性”？

师生活动：教师引导学生明确说明“任意性”的困难，理论上需要将所有函数值无一例外地逐个比较，但这显然是难以执行的。教师引导学生利用函数单调性的本质特征来说明，让学生明确函数单调性描述了随着自变量的变化，函数值在增大或者减小，正好是比较函数值的大小，因此可以先证明单调性再求最值。教师通过多媒体展示课本例5，引导学生通过具体的例子来说明。

［2，6］，求函数的最大值和最小值。

师生活动：教师引导学生明确以下两点。1.利用定义证明单调性的五个步骤：取值、作差、变形、定号、得出结论。2.结合图象，指出函数f（x）在闭区间［a，b］上的最值与单调性的联系（如表1所示）。

（四）应用探索，运用模型

例2（课本第80页例4）“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为h（t）=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1 m）？

师生活动：学生先独立思考“爆裂的最佳时刻”的含义，建立实际意义与函数最大值的联系。教师强调解答实际问题时要注意定义域的实际意义，引导学生根据函数图象得到函数的最大值。

解法2：开口向下的抛物线，函数在对称轴左边区间单调递增，在对称轴右边区间单调递减。先说明二次函数的单调性，可得最大值在对称轴处取到。

师生活动：实际问题的数据一般不是很简洁的，且运算量也比较大，教师通过板书，引导学生关注数据的特征，通过运用适当的运算律简化运算。

（五）归纳小结，回顾思路

教师呈现下列问题。

1.本节课从哪些方面研究了函数的最大（小）值？

2.你认为本节课知识产生的主要过程是什么？

师生活动：学生独立思考后作答，教师再进行归纳。

（六）目標检测设计（略）

二、课例评析

执教教师“明暗”双线并行推进地进行教学设计和实施课堂教学，自然融入了信息技术，设计新颖，实施顺畅，效果明显，亮点颇多，示范性强。笔者从教学目标、教学策略、概念辨析过程、教学组织以及其他细节等五个方面进行评析。

（一）教学目标清晰

本节课教学目标清晰，而且课时目标符合函数主题大单元教学的总体目标，引导学生从函数的视角发现问题、提出问题和分析问题，并运用函数模型解决问题。

教学明线为问题串贯通情境引入、概念形成、概念深化、应用探索等四个教学过程，问题设置自然贴切，指向性强。教师在学生得出一般化结论之后再引导学生去深挖概念的本质特征，分析概念的内涵与外延，重点提升了学生的数学抽象素养，在知识育人、思维育人、审美育人等三个方面都较好地完成了育人目标。

教学暗线包括将模型观念渗透于背景材料以及模型建立、分析求解、模型应用等环节，教学暗线也是本节课的最大亮点。执教教师利用“诗圣”杜甫《望岳》中的诗句“会当凌绝顶，一览众山小”引入一个实际问题：爬山时如何判断山的最高处？进而自然产生以下问题串：函数是否有最大值？如何判断一个值是否为函数的最大值或最小值？引导学生想到一个用数学解决问题的办法，即用数学语言描述，将实际问题抽象为数学问题，进而教会学生探究，再用数学的观点解决实际问题，从而引出探究函数最值模型的一般思路。学生在解决问题的过程中积累了运用数学模型解决实际问题的基本技能和基本活动经验，提升了发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，促使生活育人、活动育人等更好地融入课堂教学，从而发展了数学建模核心素养。

（二）教学策略恰当

本节课的教学策略是基于学生的知识和经验，设置一系列问题串，依托“是什么”“为什么”“怎么样”的逻辑，研究有关最值的具体内容，引导学生逐步抽象出函数最值的概念。在此过程中，执教教师给学生创造了充分表达的机会，同时适时给予学生鼓励与点拨，让学生获得了成就感，满足了学生的求知欲，提高了学生的学习兴趣，最终达成了教学目标。

例如，执教教师在深化概念教学中设置的问题5——“如何说明定义中的‘任意性’？”就起到了画龙点睛的作用；执教教师在教学中还刻意调整了课本例题的呈现顺序——将课本例5提前到函数最值概念深化环节进行呈现，让学生理解函数单调性在解释“任意性”中发挥的重要作用；课本中的例4以“烟花最佳爆裂时刻”为背景，为学生运用函数模型提供情境，执教教师在应用探索环节呈现例4，引导学生从函数图象与函数单调性两个角度解答问题，培养了学生从多角度分析问题、解决问题的能力。这样的资源重建，体现了教学策略的运用得当，也体现了执教教师深厚的专业功底和良好的专业素养，为广大数学教师提供了很好的借鉴。

（三）概念辨析到位

对数学概念中的各个要素进行辨析，重视数学概念的充分必要性，是概念课的重要组成部分。执教教师通过分析定义中的关键词，从“存在性”和“任意性”两个方面深化学生对概念的理解，为使学生更好地理解最大（小）值的符号定义做足了铺垫，让学生能更好地建构函数最大（小）值的概念意义。“任意性”确定了函数在求最值时要满足的不等式，“存在性”确定了函数能取得到这个值。

为深化学生对“存在性”和“任意性”的直观认识，执教教师还利用信息技术手段，通过现场作图等方式直观地呈现函数最大（小）值的本质特征，从而降低了学生理解概念内涵和外延的难度。

概念越辩越明。通过辨析，学生明确“任意性”和“存在性”都是函数最值概念中的关键要素，进而能够深度理解和运用函数最值模型，为发展核心素养奠定了扎实的基础。

（四）教学组织严谨

执教教师恰当地处理“预设”和“生成”的关系，重视对学生课堂展示的反馈调节，展现了很强的课堂教学组织能力。

本课中，执教教师通过“是什么”“为什么”“怎么样”“什么是最值”“最值有几个”“如何求最值”“最值与单调性有什么联系”等一系列问题，不断地发问，从而实现“概念越辩越明”。这就是反馈调节机制的具体应用。

在教学应用探索环节例2的过程中，笔者注意到了一个细节：由于本例是实际问题，所以数据不是那么的简洁，导致运算量较大，但题目背景又很真实自然。执教教师先让学生计算，在不少学生感到存在困难后再板书演示，同时引导学生关注式子结构及数据特征，运用适当的运算律简化运算。在教师的引导下，学生也完成了相关运算，学生的数学运算核心素养获得了很自然的发展。

在整节课中，师生间这种形式的互动是高频的，执教教师对教学过程的把控是到位的，教学效果也是很好的。由此可见执教教师在组织教学方面的深厚功力。

（五）商榷两个细节

第一个细节是，执教教师在形成概念环节提出了“问题2：如何求函数的最大（小）值？请举例说明”这一问题。笔者思考，这一问题可否慢点提出？因为函数的最值是一个需要定义的概念，在还没有给出最值概念之前就开始求最值了，不符合逻辑。建议改为“问题2：由‘山有最高处’思考，函数是否也可以有‘最大值’的概念呢？类似地，还可以有‘最小值’的概念吗？如果有，同学们认为应该怎样下定义呢？”。

第二个细节是，执教教师可以在提出问题3和问题3的追问后，让学生自己去归纳整理。函数的“最大值”和“最小值”是完全同构的两个概念。理解了“最大值”概念之后，学生完全可以通过类比推理得出“最小值”概念，因而这里有必要让学生自主进行探究，使学生体验到“发现”的快乐。

总之，“单调性与最大（小）值”这一课例，执教教师立足大单元视角，“双线”并行推进，实施了具有创新性、整体性且有深度的教学，符合学生的认知规律，能够提高学生学习数学的兴趣和发展学生的数学应用意识，有助于学生初步形成数学建模思想，提升学生的数学学科核心素养，是一节成功的数学概念课及建模思想渗透课，对优化高中数学教学有较高的研究价值和借鉴价值。