篮球运动中的几个力学问题

岳国联

(六盘水市教育科学研究院 贵州 六盘水 553000)

黄绍书

(六盘水市第23中学 贵州 六盘水 553004)

篮球可以看成是质量均匀分布的球壳,虽然其形变尺度比较显著,但在一些特定运动过程中,是可以从刚体或准刚体的角度进行分析的.篮球运动过程是比较复杂的,往往既有平动,又有转动.篮球运动是最为普及的体育健身项目之一,这里来讨论分析一下篮球运动中的几个力学问题.

1 转动惯量

根据

(1)

可知,求刚体的转动惯量,关键是结合实际刚体模型确定3个要素[1],即刚体质元dm的表示式,质元dm到转轴的距离r的表示式,积分的下限r0和上限rs也就是积分范围.对于如图1所示的篮球,取其上半部来分析.

图1 求篮球的转动惯量

半径为r处的圆环,有

r=Rsinθ

(2)

(3)

(4)

以上各式中,m均为篮球质量(下同),R均为篮球半径(下同).

顺便说明,若对于实心均匀球体的转动惯量,可以借助均匀圆盘对其对称轴的转动惯量公式并结合图1所示的图示来进行分析.这样,半径为r处的圆盘的转动惯量元为

(5)

而

r=Rsinθ

(6)

(7)

所以,实心均匀球体的转动惯量为

(8)

说明一下,这里在求解篮球和均匀实心球体的转动惯量过程中的积分运算时,都直接应用了

(9)

这个重要的数学公式.

2 转动角速度及其变化

在运球行走中,篮球与地面碰撞的瞬间,由于地面的静摩擦力对篮球的瞬时切向冲量矩,导致篮球旋转或改变篮球的旋转状况.如图2所示,篮球具有水平平动速度vc,与地面碰撞瞬间受到地面沿水平方向的静摩擦力f和竖直方向的作用力Fn(地面弹力和重力的矢量和)的共同作用.若篮球与地面的第一次碰撞使篮球获得绕水平对称轴(直径)转动的角速度ω1,设篮球与地面的作用时间为Δt,那么

图2 切向冲量矩使篮球旋转

fRΔt=Jω1

(10)

即摩擦力对篮球的冲量矩等于篮球的动量矩增量.所以

(11)

将式(4)代入式(10),得

(12)

篮球每次与地面碰撞,都会受到地面静摩擦力的切向冲量矩.因此,篮球的转速原则上会随着运球行走过程中(设手每次对篮球的作用力均保持竖直向下)篮球与地面碰撞次数的增加而增大.如果篮球每次与地面碰撞过程受力情况都相同,那么,第n次碰撞后篮球的角速度将变为

(13)

在实际情况下,由于空气阻力作用等多重因素,篮球的转动角速度增大到一定程度后就不会继续增大了.

一般地,有

(14)

式中fm为最大静摩擦力,μm为最大静摩擦因数.

当篮球的水平平动速度和竖直平动速度都比较大时,篮球与地面碰撞的过程中,地面对篮球竖直方向的作用力Fn和静摩擦力f都会很大,且静摩擦力可达到最大静摩擦力fm.这时,转动角速度也是最大的,可能达到最大值.因此,结合式(14),可将式(13)改写为

(15)

从式(15)可以看出,运球行走过程中,篮球转动的最大角速度与篮球的质量无关.

3 机械能的转化

假定篮球以平动速度vc从某一高度h0处无转动地水平抛出,让篮球只在重力和地面作用力的作用下运动.篮球初始时刻的机械能可表示为

(16)

与地面第一次碰撞后获得转动角速度ω1.那么,根据机械能守恒定律,这时的机械能可表示为

(17)

(18)

根据前述分析,以后篮球每次碰撞,其转动角速度都将增大.仍假定每次碰撞过程篮球的受力情况都相同,那么,根据式(13),第n次碰撞后篮球的角速度为nω1.因此,篮球第n次反弹达到某一最高位置hn时,其机械能表示式为

(19)

随着碰撞次数n的逐次增加,反弹最大高度hn将逐次减小,而转动角速度ωn将逐次增大.当hn减小到零时,ωn达到最大值ωm,这时机械能表示式为

(20)

(21)

从式(21)可以看出,篮球的初始位置越高,篮球的半径越小,最终获得的转动角速度就越大.需要说明,式(21)与式(15)的意义是不尽相同的.

综上可以认为:篮球只在重力和地面作用向前自由弹跳的过程,实际就是重力势能逐次转化为转动动能的过程.