一道求直线过定点问题的四种解决策略

王弟成

(江苏省苏州实验中学,江苏 苏州 222006)

求直线过定点问题是解析几何中的常见题型之一,也是高考重点考查的内容,因此解决它需要综合运用解析几何知识,同时还要注意解题策略的运用.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)斜率不为0的直线l与C交于M,N两点,若直线BM的斜率是直线AN斜率的两倍,证明:直线l经过定点,并求出其定点坐标.

1 设且求,选择斜率k表示出相应直线方程

策略1 从已知条件出发,选择直线AN的斜率k表示点M,N的坐标,进而表示出直线l的方程,从直线方程中挖掘出定点.

(3+16k2)x2-64k2x+64k2-12=0.

所以直线l的方程为

2 先猜后证,减少运算

策略2先利用特殊情况猜想出直线所过的定点,再利用斜率或向量证明三点共线,从而得到直线恒过定点.

3 设而不求,整体处理

策略3 上面解法的主要困难在于得到的直线l方程复杂,不易观察定点.此时还可以考虑直接设出直线l方程,根据条件找到方程中相关参数的关系,此时再确定定点就很容易.

(t+2)y1=my1y2+2(t-2)y2.

即(3t-2)(t+2)y1=(t-2)(3t-2)y2.

4 用性质换点,寻求对称性

上面的每一种解决方法都有其优点,解决问题时需要根据具体情境,明确方向,识别模型,选择模型,确定方法.高三解题理应策略优先,只有对各种情况分析透彻,把握本质,才能在考试中选择合适的方法解决问题.