基于二维抽样优化的复合材料超椭圆板与穿孔板振动优化设计

段雷，景钊

西北工业大学，陕西 西安 710072

碳纤维树脂基增强复合材料以其高比强度、高比刚度及轻量化设计潜力，广泛应用于航空、航天、船舶、汽车工程等领域[1-5]。振动是工程结构最常见的动力学问题，如飞机机翼的颤振[6]、桥梁的共振[7]、车轮的抖振[8]等。复合材料层合板作为结构中的基本构件，通过优化使其振动基频最大化有助于提升结构抗共振特性。为此，本文基于里兹法和二维抽样优化算法[9]优化了复合材料超椭圆板和穿孔矩形板的铺层序以使其振动基频最大。

由于超椭圆板和穿孔板在工程中有着广泛应用，国内外研究人员开展了大量研究。邸馗等[10]利用三阶剪切变形理论研究了超椭圆蜂窝夹芯板在简支边界条件下的自由振动问题。武兰河等[11]提出了一种新型微分容积法，利用该方法分析了任意边界条件下中等厚度超椭圆板的自由振动问题。M.D.Waller[12]通过试验研究了长宽比为1.25 和2 的椭圆板振动问题。S.Ceribasi 等[13]对超椭圆板的振动进行了参数化研究，考虑了不同长宽比、材料泊松比和厚度变化对频率参数的影响。焦显义[14]和K.M.Liew等[15]建立了包含剪切变形和转动惯量的能量公式，利用Ritz法分析了自由、简支、固支边界条件下超椭圆板的自由振动问题。K.D.Mali等[16]用Ritz法确定了四边固支含方形孔矩形板的自由振动基频，并用有限元验证了模态精确性。K.Ghοnasgi等[17]对多孔矩形板的自由振动问题进行了参数化研究，分析了孔的大小对板前三阶固有模态的影响。M.S.H.AL-Araji 等[18]研究了简支和固支边界条件下复合材料穿孔矩形板的振动模态特性，分析了孔数、孔面积、铺层铺向角和边界条件对振动频率及振型的影响。S.S.Hοta等[19]提出了基于一阶剪切变形理论的亚参三角形弯曲单元，并利用该单元分析了含任意形状孔矩形板的振动特性。里兹法基于全域试函数对结构变形作近似，其普适性较有限元低，但对几何构型规则的结构求解具有收敛快、速度快、精度高、刚阵维数小等优点，因此被广泛应用于穿孔板的振动分析[20-22]，且有利于复合材料层合板的铺层优化。另外，复合材料层合板具有可剪裁、设计自由度大及离散特征，同时还需考虑复杂工程约束，其优化设计问题受到广泛关注。

Y.Narita[23]提出了基于层合板弯曲刚度敏度的分层优化算法（LOA），将复合材料铺层高维排列组合优化问题近似转化为一维线性搜索问题，通过铺层序寻优优化了复合材料矩形板的基频。R.T.Haftka 等[24]将受双轴压缩载荷的层合板铺层序优化问题转化为整数线性规划（ⅠLP）问题，但该策略普适性较低。Jing Zhaο[25-26]基于层压参数凸性、层合板弯曲刚度敏度提出了序列置换搜索（SPS）算法，但其鲁棒性较差。A.Muc等[27]提出了一种将连续变量限制在[0, 1]范围内的进化算法，这种策略难以处理可行域中非可行点。O.Erdal等[28]用模拟退火算法寻找使层合板屈曲承载力最大的铺层序，但此算法对全局优化问题的鲁棒性较差。Chang Nan 等[29]采用改进的粒子群算法优化了层合板在压减联载作用下的屈曲载荷，然而粒子群优化对于复合材料层合板工程约束的处理较为繁琐。M.Abachizadeh等[30]基于蚁群算法搜索了使对称层合板基频最大的铺层序。遗传算法（GA）是复合材料结构优化中最常用的优化算法，常用于复合材料圆柱壳[31]、格栅板[32]、翼盒[33]等的铺层序优化。针对复合材料层合板铺层优化问题，这类启发式算法鲁棒性好，但优化设计准则并未考虑层合板弯曲刚度中角铺层位置关于厚度的三次敏度关系，导致计算量过大，特别是当层合板层数多且候选离散铺向角也较多时。此外，拓扑优化[34]和代理模型[35]也广泛用于复合材料层合板的振动基频优化，但拓扑优化的计算成本较高且迭代收敛慢，而代理模型则难以权衡高保真度和计算成本之间的平衡。

本文使用的二维抽样优化算法（2DSO）[9]，利用了层压参数可对铺层序变量进行降维且可表征铺层序间距离的特征，通过动态距离约束在层压参数空间中进行抽样迭代优化，一方面解决了将角铺层作为变量寻优时设计空间过大的问题；另一方面，在抽样优化结果基础上，通过分层优化算法（LOA）[23]进行铺层序优化规避了采用层压参数作为自变量时的复杂可行域约束。为最大化层合板的基频，本文基于里兹法和2DSO优化了具有不同边界条件和不同长宽比的对称复合材料超椭圆板和穿孔矩形板的铺层序，其中超椭圆板考虑了椭圆度的变化，穿孔矩形板考虑了不同的内孔边界条件。

1 理论推导

1.1 本构关系

根据经典层合板理论，层合板的位移场为

式中，u、v和w为板在x、y和z方向的位移分量，如图1所示；u0、v0、w0为板中性面的位移分量。

图1 复合材料层合板模型Fig.1 Mοdel οf cοmpοsite plates

对于薄板的横向振动，u0= 0，v0= 0，则式（1）可简化为

应变可表达为

式中，ɛx是复合材料层合板任意一点沿x方向的应变；ɛy是复合材料层合板任意一点沿y方向的应变；γxy是复合材料层合板任意一点在x-y平面的切应变。

根据广义胡克定律

式中，σx是复合材料层合板第l层中任意一点沿x方向的正应力；σy是复合材料层合板第l层中任意一点沿y方向的正应力；τxy是复合材料层合板第l层中任意一点在x-y平面的切应力，()l（i,j= 1, 2, 6）表示复合材料层合板在第l层的转移折减刚度系数。()l可表达如下

式中，αl为复合材料层合板在第l层的铺向角，如图2所示；Q11、Q12、Q22、Q66分别表示复合材料层合板的刚度系数

图2 层合板第l层的材料铺向角和材料主轴Fig.2 The layup angle and principal axes οf material οf the layer l οf the laminate

式中，E1是1方向的弹性模量；E2是2方向的弹性模量；ν12是1方向的正应力引起2方向的变形系数；ν21是2方向的正应力引起1方向的变形系数；G12为1-2平面内的切变模量。

1.2 能量公式

根据经典层合板理论，复合材料层合板的应变能公式为

式中，Λ为复合材料层合板的实际积分域；κ是曲率矢量，表示如下

Dij（i,j= 1, 2, 6）为复合材料层合板的弯曲刚度，对于对称复合材料层合板，Dij表达式如下

式中，zl和zl-1分别为复合材料层合板中第l层的上表面和下表面坐标；N为复合材料层合板的半铺层数，如图3所示，图中t为复合材料层合板的单层厚度。

图3 复合材料层合板铺层定义Fig.3 Stacking definitiοn οf cοmpοsite laminates

复合材料层合板的动能为

式中，h为复合材料层合板的厚度；ρ为复合材料层合板的密度；tˉ为时间。

1.3 里兹法求解

在正弦激励下，板的横向振动位移w可表达为时间tˉ与振幅W的函数，如下所示

式中，ω为振动频率。

为便于里兹法推导求解，采用了无量纲坐标系

式中，对于复合材料超椭圆板，a和b分别为其长轴和短轴；对于复合材料穿孔矩形板，a和b分别为其长和宽。复合材料超椭圆板和穿孔矩形板的几何模型分别如图4 和图5所示。

图4 不同椭圆度因子n1的复合材料超椭圆板几何模型及边界条件Fig.4 Geοmetric mοdel and bοundary cοnditiοn οf the cοmpοsite super-elliptical plate with different ellipticity factοrs n1

图5 穿孔对称复合材料矩形板的几何模型（边界条件BC1 = CFSC和BC2 = C）Fig.5 Geοmetric mοdel οf the perfοrated symmetrical cοmpοsite rectangular plates (bοundary cοnditiοn BC1 = CFSC and BC2 = C)

假设振幅挠度W(ξ,η)为

式中，Cij为未知系数；m和n为勒让德多项式的项数；ψi(ξ)和ψj(η)是勒让德多项式[36]，其递推公式如下

ϒ(ξ,η)为复合材料层合板满足所有边界条件的函数，对于复合材料超椭圆板，其表达式为

式中，n1为表征复合材料超椭圆板椭圆度的因子，如图4所示。对于对称复合材料穿孔矩形板，其表达式如下

式中，r为圆孔的半径，χi(i= 1, 2, …, 6)取值为0、1和2时，分别表征自由边界条件（F）、简支边界条件（S）和固支边界条件（C）。

复合材料超椭圆板只有外边界条件，用BC1 表示，如图4 所示。在图5 中，复合材料穿孔矩形板包含外边界条件（BC1）和内边界条件（BC2）。其中，BC1 = CFSC，表示带孔矩形板四条外轮廓的边界条件，从最左侧边开始沿逆时针方向旋转，依次为固支（C）、自由（F）、简支（S）和固支（C）；BC2 = C，表示内部圆孔的边界条件是固支（C）。

ϒ1(ξ,η)表示含一个中心圆孔的复合材料矩形板的外轮廓边界条件（BC1）方程

ϒ2(ξ,η)表示对称复合材料穿孔矩形板的内孔边界条件（BC2）方程

复合材料层合板的总能量为

根据里兹方法，将式（7）和式（10）代入式（19），并求泛函的驻值

可得未知频率参数ω的特征值方程

式中，C为由未知系数{Cij}构成的特征矢量矩阵；矩阵K和M中的元素可由下式求得

其中

式中，Wr或Ws表示为

2 二维抽样优化算法（2DSO）

二维抽样优化算法是基于复合材料力学机理的优化算法，其优化设计准则充分考虑了复合材料层合板层压参数凸性、弯曲刚度敏度及其线性叠加特性：利用两个控制弯曲刚度的层压参数表示不同铺层序间距离，在此基础上结合层压参数空间抽样和铺层序设计优势，规避了以层压参数作为设计变量时需加载层压参数可行域约束并难以精确反演对应铺层序的问题，同时也避免了以铺层序作为设计变量导致设计空间大寻优困难的问题。此外，通过采用层压参数表征铺层序间距离，引入了层压参数空间中的动态距离约束，使得抽样优化在层压参数空间中可高效捕获铺层序解空间的重要区域。最后，基于抽样优化解，通过分层优化算法对铺层序进行优化可高效搜索铺层优化解。

2.1 优化问题

以复合材料层合板的振动基频f=F(Φ)最大化为目标，对给定边界条件的对称复合材料超椭圆板和穿孔矩形板的铺层序Φ进行优化，优化问题模型如下

式中，αl为复合材料板中第l层的铺向角；N为半铺层数，如图3 所示；矢量Φ为对称复合材料层合板一半的铺层序，F为复合材料板自由振动分析的里兹法求解程序，Θ为候选铺向角集合，M为候选铺向角个数，Δθ是候选铺向角的固定间隔，如Δθ= 30°，则Θ= {0°，-30°，30°，-60°，60°，90°}，M= 6。

设计域C、设计域D 和设计域Ω 之间的关系如图6 所示。下面对二维抽样优化算法的计算步骤作详细介绍。

图6 设计域C、D和Ω之间的包含与映射关系Fig.6 The cοntain and mapping relatiοnship between design dοmains C, D, and Ω

2.2 二维抽样优化算法

（1） 给定优化所需参数

表1给出数据是本文所有优化算例用到的参数值。上述参数在2DSO中可自行定义。

表1 2DSO的优化参数Table 1 Optimization parameters of 2DSO

（2） 在设计域C中生成均匀分布的点

在确定固定铺向角间隔Δθ后，可得候选铺向角集合Θ，候选铺向角的数量为M= [180/Δθ] （[]为高斯取整函数），故可以得到 [M/2]+1个由相同正候选铺向角组成的铺层序Φi= [θi,θi, …,θi,θi]，θi＞0，θi∈Θ。这[M/2]+1个Φi对应的两个层压参数定义为

设计域C中任意两点之间的距离公式如下

动态距离约束

边界约束

式中，j≤ [M/2]时，sj和sj+1为相邻顶点；j= [M/2]+1 时，sj+1表示s1。那么新点snew= (,ξ)new可加入样本点集合Sini中，即

随着集合Sini中点数量的增加，点的密度不断增大，为了使点在设计域C中尽可能均匀分布，动态距离dc需逐步减小。

式中，Δd是一个恒定增量。随着新点snew不断加入集合Sini中，Sini中点的密度越来越大，且动态距离dc越来越小，使得式（29）和式（30）难以同时满足。为此，需采用GA 寻找同时满足约束式（29）和式（30）的新点snew= (,)new，并添加到集合Sini中。

初始化: Num=120,dc=0.96, Δd=0.04,Sini迭代:

（3） 在设计域D中生成均匀分布的点

基于候选铺向角集合Θ在域Ω 中生成的铺层序Φi∈Ω，并可根据式（27）计算其层压参数(,)i，将层压参数记入对应集合D中:{ui|ui= ()i,ui∈ D}。

为保证设计域D中生成的点ui尽可能接近设计域C中生成的点，采用遗传算法搜索铺层序Φi。

ui∈D,si∈Sini},i= 1, 2, 3, …, Num

因此，对于设计域C 中的每一个点si，总有一个在设计域D中的点ui与之对应，ui对应的铺层序为Φi。将设计域D中所有点ui记入集合Uini，同时将集合Uini中所有点对应的铺层序Φi记入集合Ωini。

式中，LPs表示对铺层序的层压参数计算符号。

（4） 抽样优化

根据里兹法求解程序F求解集合Ωini中铺层序Φi对应的振动基频vi，并保存到集合V中。

从中筛选出最大基频

将集合V中的值从大到小排列，然后从大到小选择P个最佳点，将它们记入集合W中。

将P个最佳点对应的铺层序Φi及其层压参数ui记入集合T0中。

集合T0中的每个元素{Φi,ui} (i= 1, 2，…，P)，可在其邻域内通过遗传算法在层压参数空间中确定Q个均匀分布在ui邻域的候选点。

式中，jΔu/Q保证了Q个候选点均匀分布在以点ui为圆心和Δu为半径的圆内，表示点ui附近的Q个候选点对应的铺层序及其层压参数。

从而得到一个由P×Q个候选点组成的集合

随后，计算集合Tsub中候选点的目标函数值，并将其记录在子集Vsub中。

再将集合V和Vsub求并集，得到一个新的集合V。

最后，若满足如下收敛公式，则该步骤结束，进入下一步；否则，继续重复式（36）～式（44），直至满足以下收敛公式。

式中，e为抽样迭代优化的代数。

（5） 局部铺层优化

将上一步中获得的抽样优化解作为输入，采用分层优化算法（LOA）[23]作局部铺层优化，获得最终优化解。图7给出了2DSO算法流程图。

图7 二维抽样优化算法（2DSO）流程图Fig.7 Flοwchart οf twο-dimensiοnal sampling οptimizatiοn algοrithm（2DSO）

2.3 二维抽样优化算法实例

为更好地理解2DSO 算法的寻优过程，本节给出了一个铺层数为8 的对称复合材料穿孔矩形板的详细寻优过程。所使用的材料参数为：E1=138GPa，E2=8.96GPa，G12=7.1GPa，v12= 0.28，ρ= 1656kg/m3。复合材料含圆孔矩形板的几何参数为：a/h= 448，a/b= 2，2r/b= 0.3，其中a和b分别为复合材料穿孔矩形板的长和宽，h为层合板厚度，r为中心圆孔半径。

矩形板和圆孔的边界条件分别定义为BC1 = CCCF和BC2 = S。在以下描述中，将省略铺向角的角度符号“°”。候选铺向角角度间隔为Δθ=5，候选铺向角集合定义为Θ= {0, 5, -5, 10, -10, …, 85, -85, 90}。

（1） 给定优化所需参数

2DSO参数值见表1。

（2） 在设计域C中生成均匀分布的点

首先根据候选铺向角集合Θ，确定19 个由相同正铺向角组成的铺层序Φi= [θi,θi,θi,θi]，θi＞0，θi∈Θ，然后根据式（27）计算它们的层压参数来确定设计域C的19个顶点，如图8（a）所示。然后将19 个顶点依次连接确定它们所围成的设计域C。最后根据式（28）～式（33），在设计域C内生成均匀分布的点，如图8（b）的红色点所示。

（3） 在设计域D中生成均匀分布的点

对于设计域C 中每一个点，基于候选铺向角集合Θ，通过式（27）、式（34）和式（35）在设计域Ω 内生成一个铺层序集合，使得该铺层序集合中的每一个铺层序对应设计域D中的点（图8（c）的蓝色点）且离设计域C中的点最近。

（4） 抽样优化

根据式（36）和式（37）计算设计域D中均匀分布点的目标值，并通过式（38）筛选P个最佳点（见图8（d）中红色三角形）。然后，利用式（39）～式（42）在每个最佳点附近生成Q个候选点，之后基于里兹法即式（43）求解这P×Q个候选点（见图8（e）中蓝色的点）振动基频。

最后通过式（44）和式（45）判断抽样迭代优化结果是否收敛，若不收敛，则按照上述步骤进行下一次迭代，直到得到收敛解（见图8（h）中绿色三角形）。

（5） 局部铺层优化

将第（4）步获得的收敛解作为输入，采用分层优化算法（LOA）[23]作铺层序寻优，获得最终铺层序优化解[25/-35/90/- 45]s（见图8（i）中粉色三角形）和对应的无量纲频率参数为f=。

3 数值结果

以上利用里兹法求解了复合材料超椭圆板和穿孔矩形板的振动基频，并采用2DSO搜索使基频最大化的铺层序。3.1节研究了里兹法的收敛性和精确性，并与已有文献做了对比。3.2.1节给出了在自由、简支和固支三种边界条件下不同长宽比和不同椭圆度因子n1的复合材料超椭圆板的优化铺层序及振动频率和振型。3.2.2 节给出了在10 种边界条件、两种长宽比和两种圆孔半径下对称复合材料穿孔矩形板的优化铺层序及振动频率和振型。在以下算例中使用了三种材料，三种材料的参数为：材料1：E1= 130GPa,E2=9GPa,G12= 4.8GPa,v12= 0.28,ρ= 1656kg/m3。材料2：E1=138GPa,E2=8.96GPa,G12=7.1GPa,v12= 0.3,ρ= 1656kg/m3。材料3：E1= 206GPa ,E2=E1,G12=E1/[2(1+v12)],v12= 0.3,ρ= 8000kg/m3。

3.1 里兹法收敛性研究

首先验证里兹法求解复合材料超椭圆板振动基频的收敛性和精确性。采用材料3，表2给出了里兹法求解宽厚比a/h= 100 的复合材料超椭圆板的无量纲频率参数f=收敛时所需的项数，并将结果和已有文献结果进行了对比。结果显示，当位移函数的项数m×n从9 × 9增加到10 × 10时，无量纲自然频率参数变化远小于1%，且10 × 10 项位移函数求得的无量纲自然频率参数和已知文献的无量纲自然频率参数之间的误差也远小于1%。采用材料1，表3 给出了宽厚比a/h= 448、铺层序[-45/45/-45/-45]s、孔径2r/b= 0.3的对称复合材料穿孔矩形板无量纲频率参数f=ωa2，结果显示当位移函数项数m×n从30 × 30增加到35 × 35时，对称复合材料穿孔矩形板的无量纲自然频率参数变化远小于1%，因此可认为里兹法在形函数项数m×n是30 × 30时结果收敛。采用材料1，表4 给出了宽厚比a/h= 256、铺层序[45/0/0/90/0/-45/0]s、内孔边界条件BC2 = F 的对称复合材料穿孔矩形板频率f=ω/(2π) (Hz)，对比结果表明当位移函数项数为30 × 30时结果收敛。

表2 超椭圆板前6阶频率参数f=(ωa2/π2)收敛与验证Table 2 Convergence and verification of the first six frequency parameters f =(ωa2/π2)for the super-elliptical plates

表2 超椭圆板前6阶频率参数f=(ωa2/π2)收敛与验证Table 2 Convergence and verification of the first six frequency parameters f =(ωa2/π2)for the super-elliptical plates

BC1 n1 10 a/b 1 2模态1 3.6586 3.6503 3.6503 3.6420 9.9950 9.9725 9.9725 9.9510 21.225 21.177 21.177 21.132 1.9994 1.9951 1.9951 1.9900 5.0171 5.0036 5.0036 4.9860 10.062 10.031 10.031 9.9870模态3 7.4496 7.4474 7.4410 7.4350 18.588 18.157 18.157 18.132 28.331 28.061 28.061 28.027 4.9909 4.9896 4.9894 4.9860 13.034 12.961 12.961 12.955 18.027 17.954 17.954 17.942 C模态4 10.983 10.983 10.971 10.962 25.969 25.969 25.693 25.743 35.905 35.869 34.772 34.851 7.9677 7.9677 7.9675 7.9650 17.006 17.005 17.004 16.989 25.408 25.393 24.935 25.033 3模态2 7.4496 7.4474 7.4410 7.4340 12.935 12.916 12.911 12.897 23.656 23.610 23.607 23.581 4.9909 4.9896 4.9894 4.9860 7.9846 7.9758 7.9757 7.9690 13.014 12.989 12.989 12.970 1模态5 13.963 13.336 13.336 13.305 27.228 27.219 25.944 25.926 57.187 46.945 46.945 44.045 10.053 9.9720 9.9720 9.9680 19.965 19.965 19.956 19.953 37.037 35.555 35.555 34.123 10 m × n 8×8 9×9 10×10文献［37］8×8 9×9 10×10文献［37］8×8 9×9 10×10文献［37］8×8 9×9 10×10文献［37］8×8 9×9 10×10文献［37］8×8 9×9 10×10文献［37］2 S 3模态6 14.047 13.400 13.400 13.364 28.850 28.850 28.822 28.805 59.828 57.187 57.132 57.096 10.090 10.005 10.005 10.002 20.483 20.477 19.964 20.003 39.998 37.037 37.035 36.998

表3 对称复合材料穿孔矩形板基频参数f = ωa2收敛研究Table 3 Convergence study of the fundamental frequency parameter f = ωa2for the symmetrical composite perforated rectangular plates

表3 对称复合材料穿孔矩形板基频参数f = ωa2收敛研究Table 3 Convergence study of the fundamental frequency parameter f = ωa2for the symmetrical composite perforated rectangular plates

a/b 3 BC1 SSFF BC2 F S C F S C F S C F S C形函数项数m×n 5×5 4.2292 9.0624 13.558 19.344 28.567 35.117 2.8052 8.8451 13.586 8.2108 22.585 30.290 10×10 4.1830 7.7908 10.797 19.184 26.565 30.232 2.7720 7.7395 11.068 8.1971 20.434 24.857 15×15 4.1732 7.4034 10.439 19.136 25.824 28.710 2.7608 7.1340 10.357 8.1853 19.493 22.708 20×20 4.1685 7.1779 10.313 19.111 25.363 27.809 2.7581 6.9558 10.255 8.1780 19.003 21.808 25×25 4.1669 7.1252 10.296 19.091 25.031 27.390 2.7569 6.8796 10.221 8.1724 18.664 21.218 30×30 4.1663 7.1135 10.289 19.079 24.791 27.083 2.7566 6.8646 10.216 8.1694 18.421 20.936 35×35 4.1661 7.1112 10.288 19.069 24.606 26.940 2.7564 6.8619 10.213 8.1677 18.227 20.722 1 CCFF CCFF 3 1 SSFF

表4 对称复合材料穿孔矩形板基频参数 f= ω（/2π）对比验证Table 4 Comparison between the fundamental frequency parameters f= ω（/2π） for the symmetrical composite perforated rectangular plates

3.2 优化结果

2DSO 中的初始参数值由表1 定义。基于里兹法和2DSO 优化了候选铺向角间隔分别为Δθ= 5 和Δθ=15 的8层和48层对称复合材料超椭圆板，以及候选铺向角间隔分别为Δθ= 5 和Δθ= 15 的8 层和40 层对称复合材料穿孔矩形板，其设计空间分别为364= 1679616、1224≈ 7.9497×1025、1220≈ 3.8338×1021。优化的目标函数调用次数用变量NF表示，此外，本小节所有优化结果的频率均用无量纲频率参数表示。

3.2.1 复合材料超椭圆板振动优化设计

本节复合材料超椭圆板使用材料2 且层合板宽厚比a/h=100。表5 和表6 分别给出了8 层（Δθ=5）和48 层（Δθ=15）对称椭圆层合板的优化结果；表7 和表8 分别给出了8层（Δθ=5）和48 层（Δθ=15）对称超椭圆层合板的优化结果。当椭圆度因子n1和边界条件不变时，复合材料超椭圆板的最大基频随长宽比a/b的增大而增大，见表5～表8。此外，在椭圆度因子n1和长宽比a/b不变的条件下，复合材料超椭圆板的最大基频也随着边界变刚硬而增大，见表5和表7，对于铺层数为8层的复合材料超椭圆板，平均目标函数调用次数NF 为395.74 次，仅占总设计空间的0.0236%。而表6 和表8 显示，对于48 层对称复合材料超椭圆板，平均目标函数调用次数NF 为1009.19 次。这表明2DSO 算法的计算量与复合材料层合板的铺层数不呈指数关系，而是近似线性。铺层数为48层的复合材料超椭圆板目标函数调用次数NF比铺层数为8层的复合材料超椭圆板目标函数调用次数NF 多的主要原因是局部优化求解器LOA[23]是逐层筛选搜索算法，随着层数的增加，目标函数调用次数NF增大；由于LOA 基于层合板弯曲刚度敏度进行搜索，其目标搜索次数随着层数增大近似线性增大。图9 给出了不同工况下复合材料超椭圆板的前六阶频率及其振型，不同模态图对应的工况及铺层序分别为： (a)n1= 10，a/b= 3，BC1 = F，Φοpt= ±[10/-15/-25/0]s；(b)n1= 4，a/b= 1， BC1 = S，Φοpt=±[45/-45/-45/-45]s； (c)n1=4，a/b=2，BC1 = C，Φοpt= [904]s。

表5 复合材料椭圆板（8层）基频最优解Table 5 Optimal solutions for fundamental frequency of composite elliptical plates （8 layers）

表6 复合材料椭圆板（48层）基频最优解Table 6 Optimal solutions for maximum fundamental frequency of composite elliptical plates （48 layers）

表7 复合材料超椭圆板（8层）基频最优解Table 7 Optimal solutions for fundamental frequency of composite super-elliptical plates（ 8 layers）

表8 复合材料超椭圆板基频最优解（48层）Table 8 Optimal solutions for fundamental frequency of composite super-elliptical plates（ 48 layers）

图9 铺层数为8层的复合材料超椭圆板最优解的前6阶振型Fig.9 First six mοde shapes οf the 8layers οptimal super-elliptical cοmpοsite plates

3.2.2 对称复合材料穿孔矩形板振动优化设计

本小节算例使用材料1。表9和表10分别给出了宽厚比a/h= 448的8层（Δθ= 5）对称复合材料穿孔矩形板的优化结果；表11和表12分别给出了宽厚比a/h= 89.6的40层（Δθ= 15）对称复合材料穿孔矩形板的优化结果。其中，表10和表12复合材料穿孔矩形板的长宽比a/b= 2。当边界条件和长宽比不变时，复合材料穿孔矩形板的最大基频随着圆孔半径的增大而增大，见表9～表12。对于铺层数为8层的穿孔层合板，平均目标函数调用次数NF为572.32次，仅占总设计空间的0.0341%，见表9 和表10。而表11和表12显示，对于铺层数为40层的复合材料穿孔矩形板，平均目标函数调用次数NF 为825.13 次。这进一步表明，2DSO算法中的层压参数空间抽样优化使得算法计算量与复合材料层合板的铺层数不呈指数关系。图10给出了复合材料穿孔方形板在各种边界下最优解的前4 阶频率及振型：当长宽比和圆孔半径不变时，复合材料穿孔矩形板的最大频率随着边界条件变刚硬而增大。由于使用两个弯曲层压参数表征铺层序间距离，层压参数是关于铺层序铺向角的偶函数，导致多个铺层序可能同时对应一组相同层压参数。这使得2DSO 算法在优化时可能找到多个具有相同目标值的优化铺层序，见表9 和表10。图11给出了表9 中圆孔径为2r/b= 0.3 时，2DSO 算法部分优化结果的搜索收敛图。其中红线代表抽样优化搜索过程，结果表明抽样优化可获得一个非常接近最终优化解的解。但由于抽样优化具有一定随机性，可能存在比抽样优化解更好的解，因此需将抽样优化获得的解作为分层优化（LOA）的初始点进一步作铺层序寻优。绿色的线是局部铺层优化的搜索收敛图，出现振荡的原因是：LOA是一个从复合材料层合板最外层向最内层逐层搜索的算法，而每层的铺向角对振动频率的敏度作用是由弯曲刚度关于铺层位置的三次敏度关系所致，使得外层铺向角对振动频率的影响大于内层，从而导致LOA 在搜索过程中出现基频大幅振荡。但LOA最后可搜索到一个收敛且比抽样优化更好的解。

表9 复合材料穿孔方形板（8层）基频最优解Table 9 Optimal solutions for fundamental frequency of the composite perforated square plates（8 layers）

表10 复合材料穿孔矩形板（8层）基频最优解Table 10 Optimal solutions for fundamental frequency of the composite perforated rectangular plate（ 8 layers）

表11 复合材料穿孔方形板（40层）基频最优解Table 11 Optimal solutions for fundamental frequency of the composite perforated square plates（40 layers）

表12 复合材料穿孔矩形板（40层）基频最优解Table 12 Optimal solutions for fundamental frequency of the composite perforated rectangular plate（ 40 layers）

图10 表9中部分铺层数为8层的复合材料穿孔方形板最优解的前4阶振型及频率（2r/b = 0.3）Fig.10 First fοur mοde shapes and frequencies οf sοme the 8layers οptimal cοmpοsite perfοrated square plates in Table 9(2r/b = 0.3)

图11 表9中不同边界条件下复合材料方形板2DSO搜索收敛图(2r/b = 0.3)Fig.11 The cοnvergence diagram οf cοmpοsite square plates 2DSO under variοus bοundary cοnditiοns in Table 9(2r/b = 0.3)

4 结论

本文采用基于完备正交多项式的里兹法求解了复合材料超椭圆板和穿孔矩形板的振动频率和振型。通过与已有文献进行比较，验证了里兹法的收敛性和准确性。同时，利用2DSO 优化了在不同边界条件、长宽比和椭圆度因子n1下铺层数为8层和48层的对称复合材料超椭圆层合板的基频以及在不同边界条件、长宽比和圆孔半径下铺层数为8层和40 层的对称复合材料穿孔矩形层合板的振动基频。研究表明，2DSO算法由于充分利用了层合板层压参数凸函数属性及其降维特征、弯曲刚度敏度及其线性叠加特性，使得算法搜索计算量不是随铺层数增加而呈指数式增加，而是以近似线性增大，从而大幅降低了复合材料铺层寻优计算量。同时，由于结合了层压参数和铺层序寻优的优势，解决了直接采用铺向角作为设计变量优化铺层序时计算量过大的问题，同时规避了以层压参数作为设计变量时所需可行域约束且不能精确反演对应铺层序的问题。数值算例表明，2DSO具有良好的收敛性和鲁棒性，显示出其在大规模复合材料结构铺层优化设计中的应用前景。