基于APOS理论的初中数学概念教学探究

夏咪咪

［摘  要］ 数学概念是数学知识的根基，是问题解决的抓手，是思维培育的基石. APOS理论通过四个阶段，即活动（A）、过程（P）、对象（O）、图式（S）来指导数学概念教学，强调学生的积极主动性，是一种符合“学生发展为本”的教学理论. 文章基于APOS理论的初中数学概念教学模式，结合初中“一次函数”的概念教学案例来进行分析，旨在提高数学概念教与学的效率.

［关键词］ APOS理论；一次函数；数学概念

数学概念是学生进行一切数学学习活动的基础，也是数学教学（特别是“双基”教学）的核心内容，其重要性不言而喻. 李邦河教授认为，从根本上看，数学是玩概念的，而不是技巧. 所以从某种意义上来说，学生对数学概念掌握的深刻程度决定了数学学习的成效. 因此，对初中数学概念教学进行探究必然会促进初中数学教学质量的提高，以及学生数学知识的内化和再生长.

问题的提出

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出，“教学过程是一种动态的、发展的、富有个性化的创造过程［1］”，这就要求在数学概念教学过程中，教师要以学生为主体，关注核心素养的培育以及数学思维的启发. 但在当前初中数学概念教学过程中，教师仍存在教育理念落后、教学模式固化、课标理解不深刻等问题，导致教学趋向于直接讲解数学概念，然后侧重于题目应用. 在研习的过程中，笔者常常听到学生抱怨：“数学是没有道理的，就是把概念、公式记住，然后会用就行. ”在批改作业时，笔者常常听到教师抱怨：“在课堂上我重点强调过这些概念的区别，但学生就是记不清楚，一做作业就错. ”这说明机械地记忆数学概念、重复地练习运用，效果并不是很好. 因为学生既没有将教师所讲的知识内化到自己的认知结构中，又没有深刻领会到数学概念的本质.

基于上述問题，作为教师，我们必须要在数学概念课中打破“师讲生听”“机械记忆”“题海训练”等传统模式，积极引导学生参与到数学概念课中，让学生成为数学课堂的主人.

基于APOS理论的初中数学

概念教学模式

20世纪八九十年代，美国教育家杜宾斯基等人提出了一种数学概念教学理论——APOS理论. 该理论主要阐述了理解概念的四个过程：A，P，O，S，最终达到把握概念本质的目的. 具体来说，活动阶段（action）是指通过操作活动让学生将抽象的数学概念与具体的直观感受联系起来；过程阶段（processes）是指学生在没有具体操作的情况下，对所学事物特征的认知和内化；对象阶段（objects）是指将心理活动压缩为一个单独的对象，并能参与到新的思维活动中；图式阶段（schemas）是指构建数学概念的系统化框架，学生基于这个综合的知识框架能够解决相关的数学问题.

基于APOS理论的教学模式，从外部条件来看，教师应创设与之相关的数学情境活动，并提供相应的“先行组织者材料”；学生基于之前的操作活动和已有的数学知识，将所学概念的内涵进行拓展衍生；在概念内涵拓展的过程中，教师引导学生进行概念类比，从而明晰新概念的特点；最后将新概念同化，扩散形成新概念的认知图式（具体操作流程如图1所示）. APOS理论指导下的初中数学概念的教学模式是以已有数学概念为中心，不断进行拓展，从纵向上看，加深了对原有概念的理解；从横向上看，扩充了原有概念的体系框架.

基于APOS理论的教学模式，提倡学生通过活动、合作、探究等方式来学习数学概念，关注学生思维的发展和学习能力的培养，与建构主义的观点基本吻合. APOS理论通过引导学生参与，可以在数学概念教学前提高学生对数学概念的兴趣，可以在教学过程中实现对学生数学学习内在动力的激发，从而提高学生的数学学习热情. 综上所述，APOS理论符合学生学习数学概念的规律，注重将数学概念的教学视为完整的系统，对初中数学概念教学有着极强的适用性.

基于APOS理论的“一次函数”概念教学探究

APOS教学理论，实际上就是使学生数学概念的学习不是机械地复制知识，而是动态地形成“独特的”知识体系. 教师在教学过程中可引导学生在问题情境中发现数学概念；在分析讨论中拓展概念的生成过程；在解决典型例题中深度理解数学概念；最后借助思维导图来扩散数学概念体系. 基于这四种教学策略的指导，学生才能成为学习的主人，才能让学习过程中所掌握的数学概念富有生命力.

1. 活动阶段：以问题情境为依托，生动发现数学概念

著名教育学家布鲁纳说过：“学习的过程是生动发展的，对所学事物有兴趣才能最大限度地刺激学生产生学习的内在动力. ［2］”在数学概念的教学过程中合理运用问题情境，一方面能使学生在充满生活乐趣的氛围中发现数学概念，从而乐于学习；另一方面生活经历能不断强化学生对数学概念的理解，使得所学概念是“活”的. 此外，经过典型的问题情境活动，学生会善于分析数据，会在大脑中进行逻辑推理，从而促进数据分析素养和逻辑推理素养的培养.

以“一次函数”这一概念的教学为例，教师在教授新概念之前，可以创设一个与“一次函数”相关的典型问题情境，为学生的思考和探索留出空间，让学生进入新概念的学习状态.

活动1 你能写出下列问题中的函数关系式吗？

（1）圆的周长C与半径r的函数关系式是______；

（2）大润发超市每斤香蕉10元，销售额y（单位：元）与售出斤数x之间的函数关系式是______；

（3）张老师带了500元钱去大润发超市买文具盒，每个文具盒15元. 张老师买了n个文具盒，则剩余金额Q（单位：元）与文具盒个数n之间的函数关系式是______；

（4）张老师的手机话费由固定月租费和通话费两部分组成，固定月租费48元/月，每分钟通话费0.3元，则张老师每个月的总话费S（单位：元）与每个月的通话时间t（单位：min）之间的函数关系式是______.

目的 创设的情境学生都很熟悉，比如小学所学的圆的周长问题、生活购物问题、话费问题等，这些典型问题情境的引入，可以让学生快速抓住“一次函数”概念的本质特征，从而加强学生对“一次函数”概念的认识与理解. 另外，这些问题情境对学生的具体实践应用以及新课的教授也有促进作用.

2. 过程阶段：以分析探讨为抓手，拓展概念生成过程

在拓展概念生成的过程中，教师要以分析探究为抓手，让学生在放松而开放的氛围下学习，这样教学效果反而会事半功倍. 在此过程中，为了避免学生漫无目的地交流、讨论，教师需要提供相应的提纲并进行引导.

活动2 填写表格.

目的 通过表格，学生可以直观地感受到各表达式自变量、自变量的系数，以及自变量的次数之间的关系. 接着教师可以引导学生总结出“一次函数”的概念，即一般地，形如y=kx+b（k，b都是常数，k≠0）的函数，称为一次函数，其中k叫比例系数，b叫常数项. 特别地，当b=0时，一次函数y=kx+b就变成y=kx（k为常数，k≠0），这叫正比例函数，其中k叫比例系数［3］.

巩固概念：下列函数，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？假如是一次函数，比例系数k和常数项b的值各是多少？

（1）y=9x；（2）y=6x2-3x；（3）y= -3x+7；（4）t=２００/v；（5）y=（1-x）/2.

分析：教师引导学生从函数向一次函数过渡，从一次函数向正比例函数过渡，帮助学生运用类比思想进行知识迁移，从而拓展数学概念的生成过程. 此外，概念生成过程中的分析讨论有利于学生数学建模核心素养的培养，能发挥学生的主观能动性.

3. 对象阶段：以典型例题为导向，深度理解数学概念

在学生通过探究、迁移，初步了解“一次函数”的概念后，教师要为学生设置典型例题，使学生主动习得从概念定义延伸出的其他公式、定理等新知识，最终促进学生系统地、深度地理解数学概念［4］. 典型习题，一方面可以帮助学生在了解概念的基础上明晰概念的抽象性质，能促进学生数学抽象素养的发展；另一方面，可以帮助学生在明晰概念抽象性质的基础上深入理解概念的应用，从而实现“个性的”学习过程.

活动3  已知函数y=xk+1+1是一次函数，求k的值.

该题的设置并不复杂，学生之前已经了解了一次函数的定义，所以x的次数是1，即k+1=1，解得k=0.

变式1 已知函数y=（k+1）x+k2-1是正比例函数，求k的值.

变式3 已知y-3与x成正比例，并且当x=4时，y=7，求y与x之间的函数关系式.

该题的难度在于要把y-3看成一个整体变量. 因为y-3与x成正比例，所以设y-3=kx. 因为当x=4时，y=7，所以7-3=4k，解得k=1，即y-3=x，所以y与x之间的函数关系式为y=x+3. 求解此题为待定系数法的教学做了铺垫.

目的  在学习完“一次函数”定义的基础上，教师引导学生对“一次函数”典型例题及其变式进行探究，这既促进了学生对“一次函数”概念的深度理解，又培养了学生的逆向思维能力.

4. 图式阶段：以思维导图为工具，拓宽数学概念体系

思维导图是一种表征知识的工具，它可以清晰地展示概念之间的联系，能帮助学生厘清当前所学概念的相关内容以及新旧概念之间的关系，使学生牢固地掌握数学概念，生成并完善个性化的数学概念体系. 比如学生学完“一次函数”概念和“正比例函数”概念的相关内容之后，可能会对两者之间的关系产生混乱，此时教师可以引导学生通过制作思维导图来明晰它们之间的联系和区别，从而达到熟练掌握的目的. 如图2所示，学生通过制作数学思维导图，一方面可以检测数学知识的掌握程度，从而提高数学概念的学习效率；另一方面可以通过整理相关的数学概念，形成“系统化的”“个性化的”数学概念体系.

活动4 写出下列各题中x与y之间的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为x的正比例函数.

（1）开心农场种植大豆，每平方米种大豆6棵，请写出大豆棵数y与种植面积x（单位：m2）之间的函数关系式；

（2）请写出正方形的面积y与周长x之间的函数关系式；

（3）已知等腰三角形ABC的底边BC的长为y（单位：cm），腰AB的长为x（单位：cm），周长为18 cm，请写出y与x之间的函数关系式.

目的 该例题同样来源于生活，能让学生再次形成函数概念是对生活问题的抽象这一意识，同时有助于学生明晰一次函数和正比例函数之间的区别和联系.

结语

APOS教学理论对初中数学概念教学具有十分重要的促进作用，本文以其为理论基础，结合数学核心素养的培育，从发现概念、拓展生成、深度理解、形成体系这四个方面逐层递进地对数学概念的教学措施进行阐述，并以“一次函数”的概念教学为例进行辅助说明，凸显了APOS理论对初中数学概念教学的实用价值，旨在促进学生全面发展. 当然，教学是一个长期的过程，如何提高初中数学概念教学的实效性还需要一线教师继续探索.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］陈大洋. APOS理论视角下的初中代数式概念教学［D］. 华中师范大學，2019.

［3］贺凌云. APOS理论指导下的中学数学概念教学设计探究［D］. 上海师范大学，2012.

［4］邓芳，刘成龙. 基于APOS理论的对数概念教学设计［J］. 中学数学，2020（21）：9-10+13.