曲线系方程在求解圆锥曲线定值定点问题中的妙用

汪 文 徐章韬

华中师范大学数学与统计学学院 (430079) 广东省珠海市广东实验中学金湾学校 (519040)

笔者在查阅近年的解析几何高考解答题中,发现对于圆锥曲线中定值定点问题的考察频频出现,只不过考察的形式往往不同,为此,笔者另辟蹊径,借助曲线系方程求解相关问题,发现很多问题都能迎难而解．

1.相关概念界定

曲线系方程就是将具有某种共同性质的的所有曲线构成的集合,采用含有参数的方程来表示,这种共同性质一般是过几个定点或者交点．对于一般的二次曲线方程Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,其中有5个独立参数,故一般地5个独立条件能确定二次曲线,从而任意三点不共线的五点确定一条二次曲线．对于给定的五点,若其中三点在直线上,另外两点不在直线上,则通过这五点的二次曲线是唯一的,并且是退缩的二次曲线．我们知道过曲线C1:F1(x,y)=0与曲线C2:F2(x,y)=0交点的曲线系方程为λF1(x,y)+μF2(x,y)=0,同时若Li:Aix+Biy+Ci=0(i=1,2)表示两条直线方程,则方程(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0可以表示为退化的二次曲线方程．

(1)三条直线的合成(两条曲线合成的特例)

如图1,设Li:Aix+Biy+Ci=0(i=1,2,3)两两相交于A,B,C三点(这三点不共线),则曲线系(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)+λ(A2x+B2y+C2)(A3x+B3y+C3)+μ(A3x+B3y+C3)(A1x+B1y+C1)=0包含所有过A,B,C三点的二次曲线．

图1

(2)两条曲线的合成

两个二次曲线C1:F1(x,y)=0,C2:F2(x,y)=0交于不共线的四点,则同曲线系λ1F1(x,y)+λ2F2(x,y)=0包含所有过四交点的二次曲线系方程．若二次曲线有一个内接四边形,则四条边所在的直线可分三组:两组对边、一组对角线,可用两组对边,或一组对边和一组对角线均可合成过四个交点的二次曲线系．因此如图2,图3,设Li:Aix+Biy+Ci=0(i=1,2,3,4)为四边形四条边所在直线方程或者相对两边与两条对角线所在直线方程,则曲线系:(A1x+B1y+C1)(A3x+B3y+C3)+λ(A2x+B2y+C2)(A4x+B4y+C4)=0包含所有经过这四点的二次曲线,其中直线L1,L3为相对的两边或者两条对角线所在直线方程.

若过二次曲线上一定点P作两条直线L1:A1x+B1y+C1=0,L2:A2x+B2y+C2=0,交二次曲线与另外两点A,B,如图4所示,设直线AB的方程为A3x+B3y+C3=0,由于点P可以看作圆锥曲线上两个点无限靠近汇聚成的点,设圆锥曲线在点P处的切线方程为A4x+B4y+C4=0,则曲线系(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)+λ(A3x+B3y+C3)(A4x+B4y+C4)=0表示过A,B,P三点的二次曲线．

若把L1·L2=(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0理解为退缩的二次曲线系,如果它们与F(x,y)=0有交点,那么曲线系F(x,y)+λ(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0经过这些交点,如果它们有四个不共线交点,那么曲线系包含所有过此四点的二次曲线．

2.实例探究

评注：此题的参考解答比较繁琐,计算量偏大,上述借助曲线系方程,简化了计算量,节约的结题时间,效果事半功倍,有兴趣的读者可以查看2020北京卷,2011年四川卷,2010年江苏卷,解法同上.

评注：在处理过圆锥曲线上一定点作两条斜率和或者积为定值的直线与圆锥曲线交于另外两点,则这两点所在的直线过定点这一类问题,借助曲线系方程能很快求得所过定点,同时助曲线系方程也可以求得两直线的斜率和或者积为定值,比如2013年江西卷和2015年陕西卷2020年山东卷都是这类问题,有兴趣的读者可以尝试下.

评注：这类高考题属于过坐标轴上一定点作直线与圆锥曲线交于两点,则再坐标轴上存在一定点使得坐标轴为所构成角的角平分线问题,借助曲线系方程可以轻松解决相关问题,比如2015年全国Ⅰ卷,2018年全国Ⅰ卷文科就可以采用上述方法来处理.

评注：此题可以直接利用弦长公式求弦长进行运算,或者借助直线的参数方程来求解,但采用曲线系方程无疑是比较简洁的求法,对于圆锥曲线中四点共圆的问题,在2011年全国卷,2104年全国大纲卷,2016年四川文科卷中也考查到了,有兴趣的读者也可以采用上述方法试试.

纵观近年的高考题,它们都有很多相似的地方,作为教师的我们,如何找出其相似之处,并能归纳总结出一般的规律是值得我们思考的．随着现代科技的发展,很多数学软件走进数学课堂,我们要借助这些软件探究一些动态过程中隐藏的规律,这对于提高教师自身的教研水平就显得尤为重要．