长程视野中数学“起点型知识”教学

汤宴会

［摘  要］ 长程视野中数学“起点型知识”教学要求教师要进行长程设计，通过深化、应用、统整、促进“起点型知识”教学，彰显“起点型知识”的统摄性、迁移性、连续性和育人性。长程设计要求教师在教学中关注其他相关联的数学知识，让设计具有一种“一以贯之”的特性。通过“起点型知识”教学，促进学生在学习数学学科知识时能够积极有效地迁移，促进数学学科知识自然生长、自然生成。

［关键词］ 小学数学；长程视野；起点型知识

从学生生命成长视野来看，学生数学学习过程是一个连续不断的经验重组、认知重构的过程。在这个过程中，教师要充分彰显数学学科知识育人功能。数学教学不仅要着眼于课时教学目标，还要着眼于单元教学目标，更要着眼于数学学科的总体性教学目标等，这就是“长程视野”。基于“长程视野”，教师要重视数学学科中“起点型知识”的教学，通过“起点型知识”，促进学生数学学科知识的积极有效地迁移，促进其数学学科知识自然生长、自然生成。

一、深化“起点型知识”教学，彰显“起点型知识”的统摄性

所谓“起点型知识”，是指“数学学科知识中发挥核心作用、纽带作用、关键效能的一些知识”。“起点型知识”是数学核心知识、关键知识，具有统摄性、迁移性的知识，是一种活性的知识，是一种具有“种子生长”作业的知识［1］。深化“起点型知识”教学，能有效地促进学生数学学习不断进阶。在数学学科中，“起点型知识”具有一种自我扩张性、自我生长性，它在数学学科中处于核心位置、中心位置、基础位置，具有结构性、统摄性、关键性和生长性的特点。

比如教学“多边形的面积”这一单元相关知识时，教师应引导学生在“平行四边形的面积”这一课的学习内容上下功夫、做文章。着眼于学生数学学习的可持续性视角，“平行四边形的面积”这一部分内容蕴含的数学转化思想以及剪拼、平移等数学学习活动策略，不仅对学生后续学习“三角形的面积”“梯形的面积”等相关知识具有积极的作用，而且对学生后续学习圆的面积、圆柱的体积、圆锥的体积等相关知识具有积极的启发作用。教学中，教师要引导学生充分经历“平行四边形的面积”公式的推导过程，并让学生经历人们探索平行四边形的面积的关键过程。

比如，笔者在教学中有意识地放大了“用单位面积的小正方形来度量平行四边形”的过程。当这一过程被放大，学生就能充分地感受、体验到：平行四边形没有直角，所以用单位面积的小正方形来度量平行四边形有一定的局限性。同时，学生还会积极地思考、探究：将平行四边形如何转化成长方形呢？由此，学生想到了平行四边形可以推拉成长方形，平行四边形可以剪拼成长方形。那么，在这两种方法中，哪一种方法是可行的呢？通过这样的引导，学生会自然而深刻地理解用剪拼法探索平行四边形面积的科学性、合理性。

深化“起点型知识”的教学，能让学生对“起点型知识”形成一种更有效的观照。学生深刻地认识到，平行四边形的面积公式相当于长方形的面积，平行四边形的底相当于长方形的长，平行四边形的高相当于长方形的宽等。借助于长方形的面积公式，学生能自主建构、创造平行四边形的公式。有了“平行四边形的面积”公式的推导经验，学生就能将其中蕴含的转化法、剪拼法等策略积极有效地迁移到三角形、梯形的面积公式推导中去。

二、应用“起点型知识”教学，彰显“起点型知识”的迁移性

如上所述，“起点型知识”是其他相关知识的基础，对其他相关知识的建构、创造具有启迪、引导、示范作用。在小学数学教學中，教师要应用“起点型知识”，彰显“起点型知识”的迁移性。“起点型知识”对于学生数学学习具有能动的促进、调节作用。教师要有知识的全局观、整体观、连续观、阶段观。只有这样，教师才能有效地瞻前顾后、左顾右盼地进行“长程教学”。要通过“长程教学”，彰显“起点型知识”的辐射性，真正实现数学学科育人的长远目标［2］。

以“认识厘米”这部分内容的教学为例，这部分内容属于“量与计量”的内容。在教学的过程中，笔者着眼于学生的整个小学阶段的“量与计量”的“长程视野”，引导学生通过“认识厘米”的内容的学习，掌握相关的“测量”的策略，认识“测量”的本质。在教学中，笔者引导学生充分经历“厘米尺”的诞生过程，从而让学生感悟到：“测量”就是“看测量对象中包含多少个计量单位”，“测量工具”就是“由一个个的计量单位串接而成的一种工具”。从“单位厘米”的表象的建立到“将一个个单位厘米串接起来”，从“没有刻度的厘米尺的雏形”到“有刻度的厘米尺”的创构，学生的数学学习会逐步进阶。当学生自主建构了“厘米尺”，经历了“测量物体的长度”、认识了“厘米的测量”等相关的操作要领等知识之后，再去认识“角的度量”“认识千克”“时分秒”“长方形的面积”“长方体的体积”等相关知识，就能实现知识积极有效地迁移，就能应用相关的探究方法去经历“测量角”的过程，学习“称量物体的质量”等相关的内容。因此，在教学这一部分相关内容时，教师的目光不能局限于课时，也不能局限于单元，必须将目光遍及相关联的知识，遍及同领域的知识。这样的教学就是“长程教学”，“长程教学”要求学生夯实相关的“起点型知识”。夯实了学生的“起点型知识”，学生就能将“起点型知识”学习中的相关思想方法、策略路径等进行有效的迁移。

“起点型知识”是相关联的知识的基础、根基。相较于“非起点型知识”，“起点型知识”蕴含着更丰富的背景、更深刻的思想、更具统摄性的模型。数学“起点型知识”往往隐含着一些重要的思想方法，蕴含着更隐性的育人价值，教师要积极发掘。同时，“起点型知识”与其他相关联的知识有着共同的属性，因此“起点型知识”对其他相关联的知识具有一种根基性的意义、迁移性价值和生发性功能等。

三、统整“起点型知识”教学，彰显“起点型知识”的连续性

数学学科是一门研究数量、空间、结构、变化、信息等相关内容的学科。在小学数学学科教学中，教师要有意识地统整“起点型知识”与其相关联的知识，彰显“起点型知识”的连续性。教师要用同样的“数理”“算理”“学理”等贯穿于同一个知识单元、同一个领域知识的始终，从而让内在的“数理”“算理”“学理”等发挥作用。在数学学科教学中，教师要有一定的结构意识、脉络意识，善于从相关联的数学知识中提炼、抽象、概括出数学学科知识的本质。

统整“起点型知识”的教学，就是要求教师通过“起点型知识”的教学彰显其中的本质。“本立而道生”，抓住学科知识的本质、根本，就能彰显数学学科知识教学的连续性［3］。比如教学“正比例的量”这一部分起点型知识时，笔者从学生已有知识经验出发，让学生分析相关的数量关系：“一辆汽车每小时行驶60千米，那么，行驶1小时、2小时、3小时……，行驶了多少千米？”在数量关系中，笔者还引入了统计表，让学生直观、形象地看到“一种量变化，另一种量也随着变化”，从而帮助学生建构“相关联”的概念。在此基础上，引导学生深入观察两种量是如何变化的，从而让学生认识到这两种量之间是“一种量扩大，另一种量也随着变化”“一种量缩小，另一种量也随着缩小”等。最后，引导学生去思考“在这个过程中，这两种量中的什么关系没有发生变化”。通过对“起点型知识”的深入教学，能让学生逐步建构起“成正比例的量”的认识。“起点型知识”对于学生后续学习“成反比例的量”以及初中阶段的正比例函数、反比例函数、一次函数等都具有重要的方法论意义和价值。比如，学生在“成反比例的量”这一部分内容的学习过程中，能积极主动地应用“成正比例的量”的研究方法，自主建构“成正比例的量”。这样的教学就是一种连续性的教学。显然，连续性教学不仅是指知识的连续性教学，更是指方法、思想、策略等的连续性教学。

连续性教学要求教师在教学中应该深度挖掘知识本质、过程等，让学生完整地理解知识本质，充分利用“起点型知识”与其他相关知识在本质上的一致性，催生学生的深度学习。“起点型知识”教学应该立足“长程视野”，借助统一性、同一性知识本质打通知识关节，疏通知识阻点，消除知识隔阂，让教师的“教”更加顺畅，让学生的“学”更加通透，从而让学生感受、体验贯穿在知识之中的数理、算法等。

四、促进“起点型知识”教学，彰显“起点型知识”的育人性

发展学生的数学核心素养是“起点型知识”教学的根本性目的。应该说，仅仅依凭“起点型知识”的教学，学生的数学素养还难以形成。教师以“起点型知识”为根基，将相关学科知识统合在一起，经过学生对相关知识的自主性、自能性探究，其数学核心素养才能逐步形成。促进“起点型知识”教学，要彰显“起点型知识”的育人性。狭义地说，发挥数学学科育人功能、彰显数学学科的育人价值，要让学生“用数学的眼光去观照”“用数学的大脑去考量”“用数学的语言来表达”等［4］。

以“5以内的数的认识”这一部分内容的教学为例，这一部分内容属于数学概念的教学，对于一般性的数学概念学习具有重要的启发性意义。可以这样说，学生对“数”的认识，对学生学习一般性的数学概念都具有积极的启发、引导、迁移性的作用。在教学这一部分内容时，部分教师认为“没东西教”，认为就是让学生学会“数数”“读数”“写数”等。其实，这样的认识是偏颇的。事实上，教师在引导学生认识“1”这个数时，可以呈现1支铅笔、1个苹果、1块橡皮、1个桃子等。在此基础上，教师引导学生进行第一次抽象，将这些具体的物体抽象成“1个”。然后，教师引导学生对“1个”进行意义赋予，让学生用事物、图形等来进行表示，逐步地抽象、概括成纯粹的数字“1”、自然数“1”等。在这里，学生对最简单的具有起始意义的“起点型知识”的抽象、概括分为两个层次：一是抽取相关的外在性的物理属性等，而概括抽象出概念的数量属性；二是将数量属性剔除，进而形成纯粹的数的形式。在这个过程中，学生的数学认知能从感性到知性、从知性到理性。不仅如此，在这个过程中，学生还积极主动地用相关的图形、符号等来确证与表征数字“1”。这样的一种教学，不仅有助于发展学生的抽象能力，更能培育学生的符號意识。因此，教师以“起点型知识”为起点，整合其他相关知识的教学，能有效地促进学生数学学习的不断进阶，能科学地、有针对性地培育学生的数学核心素养。

长程视野中数学“起点型知识”教学，要求教师要进行“长程设计”。“长程设计”要求教师在课时教学中要关注其他相关联的数学知识，让设计具有一种“一以贯之”的特性。在“起点型知识”教学中，教师要引导学生学会开展结构性的思考、探究，引导学生积极主动地迁移，并让学生积极主动地解决问题，进而有效地提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

参考文献：

［1］ 魏光明，王俊亮，刘正松，等. 小学数学核心知识教学的理论与实践［M］. 南京：江苏凤凰教育出版社，2020.

［2］ 魏光明. 长程设计：关注阶段性和一致性［J］. 江苏教育，2014（17）：57-58.

［3］ 王俊亮. 小学数学核心知识教学中的抽象度分析［J］. 教育视界，2021（35）：11-15.

［4］ 皮亚杰. 结构主义［M］. 倪连生，王琳，译. 北京：商务印书馆，2020.