精瞄问题设计，靶向素养提升

王娟 崔豪东

［摘  要］ 数学教学应聚焦逻辑关联问题，让学生经历推理思辨过程，体会几何内涵意蕴，形成数学理性思维，从而培育数学关键能力，提升学科核心素养.

［关键词］ 问题链；逻辑关联；理性思维；关键能力

数学教学应强调问题性，以问题引导学生学习. 章建跃博士说：“教师要在知识形成过程的‘关键点’上，在解题策略的‘关节点’上，在知识间联系的‘联结点’上，在数学问题变式的‘发散点’上，在学生思维的‘最近发展区’内提出问题、提好问题，培养学生问题意识，孕育学生理性精神. ”

问题链是指具有系统性的一连串的数学问题，问题链教学应重在设计一组逻辑关联的问题，旨在引发学生的连续思维，实现学生的素养提升. 下面笔者以2021年南京市初中数学基本功大赛课堂教学评比环节的教学内容——人教版八年级数学“12.3  角的平分线的性质”为例，刍谈对问题链教学的实践与思考.

教学实践

1. 以感知为镜，萌生知识树

问题1：请谈谈你对角的平分线的认识.

学生对角的平分线有不同层次的认识. 如：角的平分线是一条射线，它把一个角分成相等的两个角；把一个角沿着角的平分线翻折，角的两边能够完全重合.

教学说明：本环节约2分钟，教师抛出问题，学生积极发言、相互补充.

2. 育创新之思，延拓思维链

问题2：在纸上任意画一个角，尝试用不同的方法作出这个角的平分线.

生1：我是用量角器作图的.

生2：我是用刻度尺作图的. 如图1所示，在OA，OB上分别取点C，D，使OC=OD，连接CD，取CD的中点P，作射线OP，则OP即为所求.

生3：我也是用刻度尺作图的. 如图2所示，在OA上取C，E两点，在OB上取D，F两点，使OC=OD，OE=OF，连接CF，DE交于点P，作射线OP，则OP即为所求.

追问：还有用其他作图工具的吗？

生4：我是用三角尺（含有刻度，可度量长度）作图的. 如图3所示，在OA，OB上分别取点C，D，使OC=OD，过点C作CE⊥OA，交OB于点E，过点D作DF⊥OB，交OA于点F，CE和DF交于点P，作射线OP，则OP即为所求.

生5：我也是用三角尺作图的.如图4所示，在OA，OB上分别取点C，D，使OC=OD，作∠OCE=60°交OB于点E，作∠ODF=60°交OA于点F，CE和DF交于点P，作射线OP，则OP即为所求.

追问：如果只用无刻度直尺和圆规，如何作出这个角的平分线？

生6：如图5所示，作OC=OD，OF=OE，且C，F两点均在OA上，D，E两点均在OB上，连接CE，DF交于点P，作射线OP，则OP即为所求.

生7：如图6所示，作OC=OD，且点C在OA上，点D在OB上，任作CE交OB于点E，作∠ODF=∠OCE交OA于点F，CE和DF交于点P，作射线OP，则OP即为所求.

生8：我是逆向思考的，我先画出角的平分线，然后研究角平分线带来的结论，想到了一种作法. 如图7所示，作OC=OD，且点C在OA上，点D在OB上，再分别以C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线OP，则OP即为所求.

生9：我先画出角的平分线和OB边的一条平行线，然后就有了灵感. 如图8所示，在OA上取点C，作∠ACD=∠AOB（两角在OA同侧），作CO=CP交CD于点P，作射线OP，则OP即为所求.

教学说明  本环节约10分钟，学生主动参与活动，先自主思考，再小组讨论，教师则巡视并指导、倾听并启发，最后学生踊跃展示.

3. 行探索之途，贯通一条线

问题3：在∠AOB的平分线上任取一点P，分别作点P到OA，OB的垂线段PM，PN，你有什么发现？

学生作图后一致认为PM=PN.

追问：能证明你的发现吗？

生10：我是用刻度尺度量的. 如图9所示，度量可知P1M1=P1N1，P2M2=P2N2，P3M3=P3N3.

生11：我是用翻折法说理的. 把∠AOB沿着它的角平分线翻折，角的两边能够完全重合（在同一条直线上），依据“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，可得PM=PN.

生12：我是用全等法证明的. 如图10所示，可由“AAS”证得△POM≌△PON，于是得到PM=PN.

学生探究后得出角的平分線的性质定理——“角平分线上的点到角两边的距离相等”.

问题4：在角的内部找点，使得该点到角两边的距离相等（尽可能多找一些点）.

追问：类比前面的探究，你能提出什么问题？你能证明吗？

学生多找一些点后自然而然提出问题“证明这样的点都在角的平分线上”，然后进入分析问题和解决问题的过程中. 学生把习得的基本活动经验付诸实践，呈现了量角器度量、翻折法说理和全等法证明（HL）3种方法. 学生在总结结论时，对“角的内部”进行了思辨，直到一位学生举出反例才使得所有同学平息争论，最后学生一致得出角的平分线的性质定理的逆定理——“角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上”.

教学说明  本环节约20分钟，学生主动参与活动，在探索中发现，然后举手抢答. 证明时，学生先自主思考，再小组讨论，最后争相展示. 教师组织学生展示并相互评价、激烈辩论.

4. 以应用为标，联结知识网

问题5：如图11所示，△ABC的角平分线BM和CN交于点P. 你能得出哪些结论？

教学说明  本环节约10分钟，学生主动参与活动，自主思考后举手回答，教师倾听并启发，规范其说理过程，板书关键证明步骤.

5. 借知识输出，建筑素养域

问题6：你学到了什么？（知识、方法和思想等）

学生积极分享学到的知识和独特的领悟. 有学生总结出几何定理的研究方法是“探索—猜想—证明—应用”，有学生领悟出几何证明的解题方法是“从条件出发正向思考”和“从结论出发逆向思考”，还有学生发现课堂中蕴含类比思想.

教学说明  本环节约3分钟，学生举手发言、相互补充，教师客观评价并引导学生向方法、思想方面去深层思考.

教学思考

1. 聚焦逻辑关联，建构联结体系

逻辑关联是事物因变化产生的关联. 数学问题的逻辑关联，包括知识技能关联、思维方法关联和数学素养关联. 在构建问题链时，教师既要着眼整体架构，又要紧扣内容本身，还要关注方法素养，思索内容、方法和素养的联结点. 在本节课的教学中，6个问题构成有一定梯度和逻辑结构的主问题链. 从谈认识到说发现，从证发现到得结论，再到聊收获，由感知到深入，知识中蕴含方法，方法中夹杂思想，整条链是一个联结体系.

2. 凸显推理思辨，发展理性思维

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“推理能力有助于逐步养成重论据、合乎逻辑的思维习惯，形成实事求是的科学态度与理性精神. ”选择问题时，教师要甄选能凸显推理能力、能启发学生思辨的关键问题. 在本节课教学中，问题多以“认识”“发现”“思考”“感受”等方式呈现，能适度启发学生的数学思维，能引导学生思考和探索，能使学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维的基本过程.

3. 深化内涵意蕴，培育关键能力

对于问题链的核心问题，教师要采用追问等形式，从其横向拓宽维度、纵向挖掘深度，衍生出子问题链，驱动学生深度学习，在思考中实现元认知，在探究中生成关键能力. 搭建子问题链时，教师要选择能深化内涵、导向意蕴的问题. 在本节课教学中，问题2和两个追问贯通了一条子问题链，核心问题的丰富内涵得以彰显，问题4和一个追问作为子问题链将学生思维导向横向迁移，学生在深度思考中提升了关键能力.