子弹打木块模型的变式与拓展

许 文

(华中科技大学附属中学)

子弹打木块模型是高考物理中的高频考点之一.该模型中子弹与木块往往存在相对运动,分析求解应以子弹与木块在各个运动过程中的加速度为核心,找出子弹与木块之间的位移(路程)关系或速度关系是解题的突破口,采用定性分析与定量研究相结合的方法,也可借助v-t图像进行分析求解.系统无外力作用下的板块模型,其本质也是子弹打木块模型.

1 基本模型

1.1 木块获得的速度与子弹初速度的关系

问题长为d、质量为M的木块静止在光滑的水平面上.一颗质量为m的子弹以水平初速度v0射入木块,设子弹与木块间的阻力大小为Ff,求木块获得的速度v.

分析子弹打木块的过程中,子弹与木块组成的系统水平方向动量守恒、能量守恒.

1)若子弹未穿出木块,有mv0＝(m＋M)v,可得

结论木块获得的速度v与子弹的初速度v0的大小关系图像如图1所示.

图1

例1如图2所示,质量为m的子弹,以初速度v0射入静止在光滑水平面上的木块,并留在其中.木块质量为M,长度为L,子弹射入木块的深度为d,在子弹射入木块的过程中木块移动距离为s.假设木块对子弹的阻力始终保持不变,下列说法正确的是( ).

图2

A.d可能大于s,也可能小于s

B.s可能大于L,也可能小于L

C.s一定小于d,s一定小于L

D.若子弹质量减小,d和s一定同时变小

木块和子弹组成的系统合外力为零,系统动量守恒,有mv0＝(m＋M)v.设木块对子弹的阻力大小为Ff,则对木块由动能定理得

系统损失的机械能为

可知s＜d,而d＜L,故s＜L,选项C正确;若子弹质量m减小,由以上分析知d一定变小,s一定变小,选项D 正确.

本题子弹在打木块的过程中,由于题设木块对子弹的阻力始终保持不变,可知在此过程中子弹做匀减速运动,木块做匀加速运动;以上分析求解中采用了定性分析与定量研究相结合的方法,根据系统动量守恒求解二者最终的共同速度,再分别对子弹与木块用动能定理分析比较,注意变量与不变量.

变式1一矩形木块放在光滑的水平面上,用一支枪先后向木块射入两颗相同子弹,第二次发射时枪口比第一次时稍高一些,两颗子弹都穿出了木块,在木块中留下了两个平行的弹孔.设两颗子弹发射的初速度相同,在木块中受到的阻力相同,第二颗子弹击中木块时,第一颗子弹已穿过木块,且木块只在水平面上运动.则两颗子弹先后穿出木块的过程中( ).

A.木块平移的距离相同

B.子弹穿过木块的时间不同

C.穿过木块后子弹的速度相同

D.第一颗子弹穿过木块后的速度比第二颗子弹穿过木块后的速度小

由题意知两次子弹穿木块的过程中,子弹与木块的加速度大小均一定.设子弹的初速度大小为v0,第1颗子弹穿过木块后子弹的速度为v1,木块的速度为v′1;第2颗子弹穿过木块后子弹的速度为v2,木块的速度为v′2;在同一坐标系中画出子弹与木块运动的v-t图像,如图3所示.

图3

由v-t图像的物理意义知,第2颗子弹穿木块的过程中,木块移动的距离较大,选项A 错误;在子弹穿木块过程中,在水平方向子弹相对木块运动的距离即为木块的宽度,可知第2颗子弹穿过木块的时间t2大于第1颗子弹穿过木块的时间t1,选项B 正确;穿过木块后子弹的速度v1＞v2,选项C、D 错误.

本题涉及两颗子弹与木块的多体多过程运动问题.根据两次子弹穿木块的过程中,子弹与木块的加速度大小均一定这一特点,在同一坐标系中画出两子弹与木块运动的v-t图像进行分析与求解,分析过程简洁明了.

变式2如图4 所示,质量为M的均匀木块静止在光滑的水平面上,木块左右两侧各有一位拿着完全相同的步枪(配有完全相同的子弹)的射击手.首先左侧的射击手开枪,子弹水平射入木块的最大深度为d1,然后右侧的射击手开枪,子弹水平射入木块的最大深度为d2.设子弹均未射穿木块,且两子弹与木块之间的作用力大小均相同.当两颗子弹均相对木块静止时,下列说法正确的是( ).

图4

A.最终木块静止,d1＝d2

B.最终木块向右运动,d1＜d2

C.最终木块静止,d1＜d2

D.最终木块静止,d1＞d2

木块和射出后的左右两子弹组成的系统水平方向不受外力作用,系统动量守恒.设子弹的质量为m,有mv0－mv0＝(M＋2m)v,可得v＝0,即最终木块静止;设左侧子弹射入木块后的共同速度为v1,有mv0＝(m＋M)v1,且

对右侧子弹射入的过程,由功能关系得

本题分析求解仍采用了定性分析与定量研究相结合的方法.子弹穿木块的过程中,系统内存在摩擦阻力做功,有机械能损失;损失的机械能变为内能,但系统的能量仍守恒.摩擦生热表达式可称之为“能量守恒”或“功能关系”,它是由动能定理推导得出的一个二级结论.

1.2 特点与规律

表1

2 拓展应用

子弹打木块模型和无外力滑块与滑板模型本质相同.解决板块模型问题,不同的阶段要分析受力情况和运动情况的变化;二者存在相对滑动的临界条件是二者间的摩擦力为最大静摩擦力;静摩擦力不但方向可变,而且大小也会在一定范围内变化;明确板块达到共同速度时各物理量关系是此类题目的突破点.利用v-t图像仍然是这类问题的有效分析手段.

例2(2023年全国乙卷)如图5所示,一质量为M、长为l的木板静止在光滑水平桌面上,另一质量为m的小物块(可视为质点)从木板上的左端以速度v0开始运动.已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为f,当物块从木板右端离开时( ).

图5

A.木板的动能一定等于fl

B.木板的动能一定小于fl

本题中滑块与木板组成的系统受到的合外力为零,类似于子弹打木块模型.由题意知当物块从木板右端离开时有vm＞vM,它们运动的v-t图像(如图6)与运动过程示意图(如图7)如下.

图6

图7

本题是不受外力作用的板块模型,与经典的子弹打木块模型本质上是相同的.对于不受外力作用的板块模型问题的分析,在画运动过程示意图时,若不能正确分析板块的位移大小关系,很容易导致分析板块空间位置关系时出现错误.以上分析求解结合板块运动的v-t图像才能直观看出它们运动的位移大小关系,这是本题分析的易错点与突破点.

变式3质量为m的矩形木板ae,放在光滑水平面上,b、c、d是ae的4等分点.质量为M的物块以一定的初速度从a点水平滑上粗糙木板,物块的宽度不计,且m＜M,经过一段时间物块停在木板上.以下各选项中上图是物块刚滑上木板时物块与板的位置状态,下图是物块刚与木板达到共同速度时的位置,则可能正确的是( ).

地面光滑,物块与木板组成的系统所受合外力为零,系统动量守恒,以向右为正方向,由动量守恒定律有Mv0＝(M＋m)v;对木板由动能定理有;设物块相对木板运动的位移大小为Δx,同理对物块有

本题的分析与求解仍然采用了定性分析与定量研究相结合的方法.根据模型特点,运用动量守恒定律与动能定理列式比较分析,找出此过程中物块相对木板滑行的距离与木板对地运动的位移的大小关系,即可作出可能正确的判断.

变式4如图8所示,质量为M＝2.0 kg的长木板放在水平地面上,木板与水平面间的动摩擦因数μ0＝.在t＝0时刻给长木板一个水平向右的初速度v0＝4 m•s－1,同时将一小滑块轻放在木板右端,滑块运动的v-t图像如图9所示.已知整个过程中滑块没从木板上掉下来,重力加速度g取10 m•s－2,最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力.以下说法正确的是( ).

图8

图9

A.滑块的质量m＝0.5 kg

B.滑块与木板间的动摩擦因数μ＝0.1

C.木板的最小长度L＝1.75 m

D.滑块与木板间摩擦生热Q＝2.25 J

由图9知在t1＝1 s时滑块与木板等速,为v1＝1 m•s－1;对滑块与木板分别由动量定理有μmgt1＝mv1,－μ0(M＋m)gt1－μmgt1＝Mv1－Mv0,可得μ＝0.1,m＝1 kg,选项A 错误,选项B正确;滑块与木板在t1时刻等速后,由于μ＜μ0,二者不能保持相对静止,小滑块相对木板向右滑动,设木板在t2＝t1＋Δt时刻停止,滑块与木板运动的v-t图像如图10所示.在Δt时间内对木板有μmgΔtμ0(M＋m)gΔt＝0－Mv1,可得Δt＝0.5 s.

图10

在0～t1时间内小滑块相对木板向左滑动的距离,在t1时刻后滑块相对木板向右滑动距离,故木板的最小长度L＝2 m,选项C错误;整个过程中滑块与木板间摩擦生热Q＝μmg(Δx1＋Δx2)＝2.25 J,选项D 正确.

在板块达到共同速度以后,它们间的摩擦力往往会发生变化.一种情况是板块间滑动摩擦力转变为静摩擦力;另一种情况是板块间的滑动摩擦力方向发生变化.板块达到共同速度时恰好对应物块不脱离木板时板具有的最小长度,也就是物块在木板上相对于板的最大位移.本题中板块等速后滑块相对木板的运动方向发生变化,分析求解时要从滑块运动的v-t图像推知木板的运动情景.

总之,子弹打木块模型与无外力作用下的板块模型类似,但板块模型中物块相对滑板的运动方向可能会发生改变.对这类问题的分析,要从物体受力开始,分析加速度及其变化,注意等速时摩擦力往往会发生改变.画出物体运动过程示意图寻找位移隐含关系,v-t图像是这类问题分析的利器,是定性分析与定量研究的有效手段.

(完)