工科“复变函数”课程教学的两点思考

◇内蒙古工业大学理学院 刘力华

复变函数是高等数学的后续课程，是大学微积分的扩展.本文介绍了复变函数课程中隐含一条主线，这条主线贯穿课程，并连接了课程的许多主要知识点，在教学中引导学生发现并掌握这条主线，从总体上来把握课程内容；在课程教学中还要引导学生善于寻找知识点之间的联系，总结规律，以提升课程学习效果.

复变函数是工科院校为许多专业的学生开设的一门非常重要的数学基础课，对训练学生的思维水平，包括逻辑思维和工程思维，培养学生良好的数学素养有着不可替代的作用.复变函数的基本理论和方法在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用，是解决热力学、流体力学和电磁学等学科领域问题的有力工具.因此学好复变函数对工科院校的学生来说尤为重要[1].如何学习这门课程，如何更快更好的掌握这门课程是值得任课老师和学生共同思考的问题.

复变函数这门课程的特点是理论性很强，内容抽象而且数学概念比较多，工科学生学习起来普遍感觉比较困难，这就需要任课老师和学生共同努力，去寻思路、找方法，使课程知识点能够相对简单易学.由于复变函数知识是高等数学[2]实变函数相关知识的推广和延续，两门课程的知识点有许多相似之处，比如复变函数，复变函数的极限，连续性及其导数等概念[3]，因此在学习过程中采用类比的方法[4]是值得推荐的，也是行之有效的方法，可以让学生在复习已有知识的基础上，轻松掌握新知识，体会温故而知新的乐趣.除此之外，在学习过程中引导学生抓住一条主线，从总体上把握课程知识点，寻找知识点之间的联系，并积极思考，总结规律，就会收到良好的学习效果.

1 发现并掌握主线

在复变函数的知识体系中，始终有一条主线贯穿其中，那就是将需要解决的复变函数问题转化为实变函数问题.在授课过程中，教师逐步引导学生来发现这条主线，进而掌握这条主线.学生通过已掌握的高等数学的相关知识来解决复变函数所遇到的新问题，这样学生学习新知识就会感觉轻松愉快.

比如解决复变函数求极限问题：我们有定理：

在教学过程中，通过老师的引导，学生能很快发现并掌握这条主线，而且在后续知识的学习中会主动寻找主线贯穿的知识点，如复变函数连续性的判别，复数项级数敛散性的判别等等.他们会发现，这条主线连接了本门课程的许多知识要点，就像一根糖葫芦，抓住这条主线，相关知识点就很容易理解和掌握.这种方法，在实际教学中取得了良好的效果.

2 寻找和总结规律

讲授复变函数这门课程，教师还要引导学生善于寻找知识点之间的联系，总结规律.复变函数积分是本课程内容的重中之重，类型多，定理多，学生学习起来也很头疼，经常张冠李戴.其实复变函数的积分内容除类似于实函数的不定积分和定积分外，主要研究的是复变函数沿曲线的积分，包括封闭曲线和非封闭曲线上的积分，考察封闭曲线上的积分，课程中给出了柯西-古萨定理、柯西积分公式、高阶导数公式以及留数定理，下面我们把四个定理列出来，通过对比寻找规律：

这就是说复变函数中的这四个重要定理，看似形式不同，实质是统一的，都统一到留数定理，柯西-古萨定理、柯西积分公式、高阶导数公式都是留数定理的特例，而留数定理是它们的一般化，这样就把课程中第三章积分的知识和第五章留数的知识联系起来，便于掌握.通过任课教师的引导和学生的积极讨论，课程中的四大定理可以通过一个定理轻松掌握，这既激发了学生的求知欲，又让学生品尝到了学习的乐趣，不再惧怕这门课，收效明显.

在学习复变函数过程中，只要勤于思考，善于分析总结，知识就会融会贯通，学习这门课程也就会感觉轻松愉快.