基于“怀特海三段论”的一元二次方程概念教学设计研究

[摘  要] “教育三段论”是怀特海在《教育的目的》中提出的一种学习理论，他把个体智力发展节奏分为浪漫、精确与综合运用三个阶段，体现了基于个体智力发展特征的进阶规律. 以教育节奏论为理论基础对中学一元二次方程概念进行教学设计，能引导学生感受、获得、应用概念，实现有效概念教学. 在教学中运用该理论时，教师还应积极转变教育教学理念、灵活处理各个教学环节、注重理论与现实的关系.

[关键词] 怀特海节奏论;概念教学;一元二次方程;教学设计

数学是一门以现实世界中数量关系和空间形式为研究对象的科学，由概念和命题等组成. 作为一门科学，严密的逻辑性和高度的抽象性使数学成为一门抽象性极强的学科，而数学概念正是表达这种思维的特殊语言. 在数学中，每个概念都有其存在的价值和意义，都能为问题的解决和应用提供坚实的理论依据和经验. 因此，对数学概念的正确理解与把握是学习个体认识和学习数学的重要前提. 在数学概念教学时，教师要善于转变教育教学观念，积极探索合理的教学模式，通过情境创设将客观实例引入教学，引导学生抽象出某类事物或某种关系的共性特点，归纳和推导出数学概念的本质属性，让学生在自我探究过程中感受数学与生活的密切联系，提高应用观念，为日后的数学学习奠定坚实的基础.

怀特海关于“教育节奏”的思想

怀特海发现，当时英国教育界一直持有一种错误的观点，即个体学习过程是步调一致、匀速前进的. 而产生这种错误观点的主要原因是教育者不能正确把握学生个体智力发展的特点，教育过程过于注重速度. 怀特海基于个体智力发展节奏的特点，创见性地提出了教育节奏循环理论，提倡教师应依据学生智力发展不同阶段所呈现的不同需求，提供相应的教学内容和方法. 他指出，生命本质上是周期性的，而智力发展过程也同样如此，只不过比较难以察觉而已，它们会循环往复地出现且有各自不同的特点. 這种特点是一种旋涡式的循环，每一循环由浪漫、精确和综合运用三阶段组成.

浪漫阶段是个体开始领悟的阶段. 在这一阶段，知识不受系统程序的支配[1]. 学生对所接触新事物的认识处于一种一知半解的模糊状态，不可能有清晰的领会，有时也会进行一定的系统分析. 这样，事实本身就具备种种联系，同时以丰富的内容为学生提供了种种若隐若现的可能性，于是浪漫的情感油然而生. 而浪漫的情感本质上属于这样一种兴奋，即事物通过一种不清晰的、混沌的状态展示在个体眼前. 例如：通过现实情境引导学生模糊地感知一元二次方程在现实生活中的存在性，引发学生进行浪漫的遐想，这个阶段就是浪漫阶段.

精确阶段是对浪漫阶段所获得的事实内容进行系统的分析和阐述，使事物间模糊的关系变得清晰化、明了化，并呈现在眼前. 在这一阶段，教学应更加注重知识的系统性和精确性，而知识的广泛性则处于次要地位. 此外，在这一阶段，教师还应不断着力，使学生逐渐形成一定的分析事实的能力. 由此，学生不仅获得了更多、更新的事实，还可以将其纳入分析之中. 例如，在精确阶段教师引导学生对浪漫阶段所获得的感性内容进行系统分析，归纳一元二次方程的基本属性：①等式两边都是整式;②未知数的最高次数为2;③只含有一个未知数. 并让学生找到一元二次方程的一般形式（即ax2+bx+c=0），以及运用数学语言准确地描述出一元二次方程的概念，将此概念进行数学化.

综合运用阶段是舍弃细节而灵活使用原理的阶段，此时的知识已经来到无意识的习惯之中[1]. 在这一阶段，个体已经具备探索世界的体系化理论知识，且有了思考能力，此时的学生宛如一个个摩拳擦掌、跃跃欲试的战士，他们迫切地希望拿起手中的武器重归浪漫阶段的自由冒险，此时新一轮的学习循环周期即将拉开序幕. 例如，学生已经理解与掌握了一元二次方程的相关概念，此阶段教师需要带领学生回归到浪漫阶段并灵活运用所学的知识解决实际问题.

依怀特海看（如图1所示），浪漫、精确及综合运用组成了一个完整的学习循环周期，每一次循环都始于浪漫，历经精确，最终抵达综合运用阶段. 这是一种富有动态性和节奏性的教学进程，带有一种周期性往复的“节奏”，并朝着和谐的目标前进. 怀特海指出，这个节奏性特点的一些主要规律可以在教育实践中得到验证，适用于大多数学生. 在教育实践中，我们就可以根据这个节奏规律来进行教学，改变教学方式，提高教学质量，促进学生发展，从根本上启发学生的心智[2].

教学设计：以初中“一元二次

方程”的概念教学为例

1. 一元二次方程概念的相关内容及其解析

一元二次方程是学生在学习了一元一次方程、二元一次方程等内容的基础上学习的内容. 作为初中阶段重要的方程之一，一元二次方程在中学数学知识体系中有着承上启下的关键作用——不但能为日后二次函数、不等式等内容的学习做好必要的准备，而且能成为日后学习其他学科知识（如物理、化学）的有力工具. 同时，“一元二次方程”模型的建立对我们处理日常实际问题也有重要的帮助.

本文以苏科版初中数学教材为例. 苏科版“一元二次方程”的概念安排于九年级上册第21章. 下面以教育节奏论为理论基础对一元二次方程概念进行教学设计：通过客观实例的引入，引导学生探究问题中存在的数量关系及规律，概括一元二次方程的概念及一般形式，正确辨析各项系数，让学生意识到一元二次方程是解决问题的有效模型，形成“方程模型”思想，提高应用观念.

2. 教学过程

（1）浪漫阶段：激活学生的原有经验，引发浪漫遐想

问题1：请用方程描述以下问题中存在的数量关系.

①印度古算书中记载了这样一道数学题：“一群猴子被分成两组快乐地玩耍，八分之一再平方在森林里玩游戏，剩下的十二只在观望，请说说一共有多少只猴子. ”如果设猴子的总数为x只，你能列出怎样的方程？

②某中学要组织一场篮球比赛，参赛的每两支球队都要比赛一场，每天比赛4场，预计赛程为7天，则学校应邀请多少支球队参加比赛？如果设学校应邀请x支球队参加比赛，你能列出怎样的方程？

③如图2所示，一根长约10 m的木梯斜靠在墙上，工人师傅通过卷尺丈量出木梯的顶端与地面之间的距离约为8 m，则当工人师傅每将梯子的顶端向下移动1 m时，梯子的底端就会向右移动几米？如果设梯子的底端向右移动x m，你能列出怎样的方程？

设计意图三个问题均由多媒体课件给出，其中第①题为数学史问题，第③题的模型通过播放动态图加以展示，点燃学生探究数学的热情. 列出方程后学生会发现他们所列的方程是他们不熟悉的，但又真实地存在，这既能触发他们浪漫的遐想，又能为后续精确阶段的探究埋下伏笔.

（2）精确阶段：借助学生的探索经历，诱发精确表达

问题2：请同学们观察所列方程，思考以下问题.

①这三个方程是整式方程吗？是分式方程吗？是一元一次方程吗？

②请类比一元一次方程的学习过程，从“式”“元”“次”三个维度探究这些新方程的异同点.

③类比一元一次方程的概念，猜想它们是什么方程.

师生互动：教师将所列方程展示在黑板上，引导学生观察，让学生充分感受所列方程的特点，接着让学生小组合作，从“式”“元”“次”三个维度研究所列的方程. 通过逐层思考，学生归纳出了新方程的3个基本属性，即都是整式，未知数的最高次数为2，只有一个未知数. 在此基础上，教师给予此类方程一个新名称——一元二次方程.

设计意图在浪漫阶段学生已初步形成了对一元二次方程的感性认识，在这一阶段，教师的主要任务是引导学生对浪漫阶段所获得的相关内容进行系统化、精确化的分析. 在对比学习与研究一元一次方程的基础上，学生初步感知到所列的方程是一元二次方程，并理性地分析出了一元二次方程的三个本质属性.

问题3：你能用数学符号表示一元二次方程的一般形式吗？

师生活动：教师引导学生回顾一元一次方程的一般形式，在此基础上组织学生小组讨论，让他们通过观察与分析一元二次方程的结构特征，概括出其一般形式——ax2+bx+c=0，其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项. 在学生回答的基础上，教师引导学生对ax2+bx+c=0中的a，b，c参量进行讨论.

①a，b，c是已知数，还是未知数？

②二次项系数a能等于0吗？请说明理由.

③一项系数b和常数项c能等于0吗？请说明理由.

设计意图探究数学问题就像日常生活剥洋葱一样，需要对问题的表面进行层层剖析，然后加以解决. 通过分析与思考以上问题串，学生能清晰地意识到ax2+bx+c=0中的a，b，c参量均为常数，且二次项系数a≠0. 若a=0，b≠0，c≠0，则方程变为bx+c=0，即一元一次方程;当b=0，a≠0，c≠0时，方程变为一元二次方程的特殊形式ax2+c=0;当a≠0，b≠0，c=0时，方程又变成另一种特殊形式ax2+bx=0. 在对问题进行不断剖析的过程中，学生能加深对一元二次方程本质特征的认识，并在整个探讨过程中体会从特殊到一般的思想.

问题4：你能否给一元二次方程下一个定义？

师生活动：在学生讨论的基础上，教师通过完整、精确的语言给出一元二次方程的定义，即等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的方程叫一元二次方程.

设计意图语言对个体智力发展和形成概念有着不可忽视的作用. 语言是思维的载体，而数学语言为思维表达提供了有效工具. 教师引导学生通过简洁、精确的数学语言给出一元二次方程的定义，能加深学生对一元二次方程的理性认识，能让学生深刻地感受到数学语言的逻辑性及严谨性.

设计意图经过浪漫和精确阶段，学生已经掌握了一元二次方程的相关内容. 在此阶段，教师需要带领学生回归到浪漫阶段并灵活运用所学知识进行实际问题的解决. 通过问题辨析一元二次方程的定义、抓住一元二次方程的本质特征、明确一元二次方程的一般形式及二次项系数不为零，能帮助学生理清概念的形成过程，能促进学生对概念内涵和外延的认知[3].

问题8：请同学们说一说本节课你学到了什么.

设计意图教师引导学生从知识、方法和思想三个角度归纳本节课所学习的内容，合理布置课后习题作业.

教学反思

从知识角度看，概念是知识组成的最小细胞单位，对每一个数学概念进行正确理解与掌握是学生学好数学的前提. 数学概念具有“对象—过程”的双重性，即数学概念是逻辑分析的对象，过程也蕴含着现实背景与丰富寓意. 在“怀特海教育三段论”的指导下，一元二次方程概念的教学过程遵循由“浪漫”到“精确”再到“综合运用”的三重过程，教学中教师引导学生感受、获得、应用概念，从而实现有效的概念教学.

怀特海的教育节奏三段论对我国目前的数学教学很有启发性，但在教学中要想运用好该理论，还需要注意以下三点.

1. 积极转变教育教学理念

一名优秀的数学教师不但要具备扎实的学科知识和丰厚严谨的教学经验，而且必须不断地汲取先进的数学教育理论知识，让理论与实践相结合，这样才能有效地把控课堂，达到教学相长的目的. 怀特海的教育节奏论提出从实践到理论的教学思路，即从现实世界和学生的日常活动出发，创设教学情境，激发学生的兴趣点，让学生迸发浪漫的遐想;接着，对浪漫阶段半掩遮面的事物进行具体分析，使事物间模糊的关系变得清晰、明了化，使其呈现在眼前，最后，在综合运用阶段引导学生运用所掌握的知识去解决新的问题，内化能力，增强应用意识. 怀特海的教育三段论是以其过程哲学为基础建立起来的一种新的理论模式，为我国当前数学教育理论注入了新鲜的血液. 因此，教师应当积极转变教学理念，以这些优秀的教育思想作为价值引领指导自己的教学实践，从而真正做到理论与实践相结合.

2. 灵活处理各个教学环节

首先，怀特海的“教育节奏三段论”教学过程分为浪漫、精确及综合运用阶段. 在实际的教学过程中，教师需要正确掌握各个阶段的具体内容，灵活处理各个教学环节. 例如，浪漫阶段的任务主要是通过具体的客观实例激发学生浪漫的遐想，此时教师需要在所教内容的基础上选择恰当的教学实例;其次，具体的教学环节还可以选择灵活的形式推进进程;最后，在整个教学过程中，教师要充分调动学生的主观能动性，让学生在轻松、愉快的探究过程中收获愉悦感、成就感.

3. 注重理论与现实的关系

以怀特海节奏论为基础所构建的“三重节奏”教学模式是一种动态的、开放式的教学模式，对教师驾驭教育理论的能力提出了较高的要求. 这就要求教师不能简单地停留在理论层面，而应以这些优秀的教育思想為价值引领，并将其内化到自己的教学实践中. 因此，在具体的教学实施过程中，我们要根据教材内容，以现实问题为出发点，寻找学生的兴趣点，点燃学生的兴趣，让整个课堂教学过程变得生动有趣，使教育过程从教师主动转变为学生主动，不断地提高课堂教学的实效性，实现理论与实践的完美结合.

参考文献：

[1]A.N.Whitehead. The Aim of Education[M]. New York：The Free Press，1929.

[2]阿尔弗雷德·诺斯·怀特海. 教育的目的（第一版）[M]. 靳玉乐，刘富利，译. 北京：中国轻工业出版社，2017.

[3]张敏，李军，孙迪. 基于APOS理论下数学史融入一元二次方程概念教学设计[J]. 数学教学通讯，2019（35）：12-14.

作者简介：韩婧（1994—），硕士研究生，中学二级教师，从事初中数学教学工作.