一道高考试题引发的探究

林少安

福建省南安一中 (362300)

一、问题来源

在圆锥曲线中，有关直线过定点问题已成为高考热点问题，学生对这类问题往往望而却步，得不到最终的结果，得分率比较低.因为它容易给人的感觉是“运算量大”、“求解技巧性强”.但事实并非如此.事实上，若我们深入探讨此类问题的深层结构，通过对问题的深层认识，突出问题的本质，完全可以较好地理解此类问题的思维过程.

例1 (2007年山东省高考理科卷第21题)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.

在高考复习中，对于经典数学问题的剖析与讨论更是必不可少，如果我们能够经常引导学生对一些典型的试题进行剖析，展现试题的来龙去脉，对提高高三复习课的教学质量大有好处.通过试题的剖析，使学生学会了站到一定高度上去思考数学问题，突出数学的本质，把知识的内涵与外延完全暴露出来，使学生的思维得到提升，使知识达到融会贯通.激发学生探究学习的兴趣与热情，同时也消除学生对高考试题的“陌生感”与神秘感.

二、分析探究

对于此问题，我们可作如下的探究：此结论对于椭圆的一般情况是否成立呢?答案是肯定的.

性质1 椭圆的标准方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D，求证：直线l过定点.

证明：由y=kx+m

x2a2+y2b2=1得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，设A(x1,y1),B(x2,y2),即x1,x2是上述方程的解，所以△=(2a2km)2-4(b2+a2k2)(a2m2-a2b2)=4a2b2(b2+a2k2-m2)>0,即b2+a2k2-m2>0,由韦达定理得x1+x2=-2a2kmb2+a2k2,x1•x2=a2m2-a2b2b2+a2k2.从而y1y2=(kx1+m)•(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=k2•a2m2-a2b2b2+a2k2+km(-2a2kmb2+a2k2)+m2

=a2k2m2-a2b2k2-2a2k2m2+b2m2+a2k2m2b2+a2k2

=-a2b2k2+b2m2b2+a2k2,因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(a,0)，故k〢D•k〣D=-1,所以y1x1-a•y2x2-a=-1,y1y2+x1x2-a(x1+x2)+a2=0,∴y1y2+x1x2-a(x1+x2)+a2=-a2b2k2+b2m2b2+a2k2+a2m2-a2b2b2+a2k2-

a(-2a2kmb2+a2k2)+a2

=-a2b2k2+b2m2+a2m2+2a3km+a4k2b2+a2k2，即-a2b2k2+b2m2+a2m2+2a3km+a4k2=0,所以(a2+b2)m2+2a3km+［a(a2-b2)k］•ak=0,所以［(a2+b2)m+a(a2-b2)k］(m+ak)=0,解得m1=-ak,m2=-a(a2-b2)ka2+b2，且满足b2+a2k2-m2>0.当m=-ak时，l:y=k(x-a)，直线过定点(a,0)，与已知矛盾.当m=-a(a2-b2)a2+b2k时，l:y=k［x-a(a2-b2)a2+b2］，直线过定点(a(a2-b2)a2+b2,0).

事实上，当直线l的斜率不存在时，显然AB⊥x轴，又DA⊥DB，由椭圆的对称性，知△ADB为等腰直角三角形.

设AB与x轴交点为M(x0,0)，与椭圆一个交点为A(x0,baa2-x20),此时，有|MA|=|MD|,即baa2-x20=|a-x0|，解得x0=a(a2-b2)a2+b2,此时直线AB亦过点(a(a2-b2)a2+b2,0).

综上可知，动直线l过定点，定点坐标为(a(a2-b2)a2+b2,0).因此，此问题可写为：椭圆的标准方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若动直线l与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D，求证：直线l过定点.

相应的，对于双曲线我们可以做如下探究.

性质2 双曲线的标准方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，若动直线l与双曲线C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过双曲线C的右顶点D，求证：直线l过定点.

证明：若直线l斜率存在时，不妨设直线l:y=kx+m，由y=kx+m

x2a2-y2b2=1得(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0,直线l:y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点，设A(x1,y1),B(x2,y2),即x1,x2是上述方程的解，△=(2a2km)2-4(b2+a2k2)(a2m2-a2b2)=4a2b2(m2+b2-a2k2)>0,即m2+b2-a2k2>0,由韦达定理得x1+x2=2a2kmb2-a2k2,x1x2=-a2m2+a2b2b2-a2k2，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=k2•-a2m2-a2b2b2-a2k2+km•2a2kmb2-a2k2+m2

=-a2k2m2-a2b2k2+2a2k2m2+b2m2-a2k2m2 b2-a2k2=-a2b2k2+b2m2b2-a2k2,因为以AB为直径的圆过双曲线的右顶点D(a,0),k〢D•k〣D=-1,所以y1x1-a•y2x2-a=-1,y1y2+x1x2-a(x1+x2)+a2=0,又y1y2+x1x2-a(x1+x2)+a2=-a2b2k2+b2m2b2-a2k2+-a2n2-a2b2b2-a2k2-a2a2kmb2-a2k2+a2=-a2b2k2+b2m2-a2m2-2a3km-a4k2b2-a2k2，即-a2b2k2+b2m2-a2m2-2a3km-a4k2=0,所以(a2-b2)m2+2a3km+［a(a2+b2)k］ak=0,［(a2-b2)m+a(a2+b2)k］(m+ak)=0,解得m1=-ak,m2=-a(a2+b2)ka2-b2,且满足m2+b2-a2k2>0.当m=-ak时，l:y=﹌(x-a)，直线过定点(a,0)，与已知矛盾；

当m=-a(a2+b2)a2-b2k时，l:y=k［x-a(a2+b2)a2-b2］，直线过定点(a(a2+b2)a2-b2,0).

当直线l的斜率不存在时，显然AB⊥x轴，又DA⊥DB，由双曲线的对称性，所以△ADB为等腰直角三角形，设AB与x轴交点为M(x0,0)，与双曲线的一个交点为A(x0,ba•x20-a2),此时，有|MA|=|MD|,即゜ax20-a2=|a-x0|，解得x0=a(a2+b2)a2-b2,此时直线AB亦过点(a(a2+b2)a2-b2,0).

综上可知，动直线l过定点，定点坐标为(a(a2+b2)a2-b2,0).

对于抛物线，可作如下探究.

性质3 抛物线的标准方程y2=2px(p>0)，若动直线l与抛物线C相交于A，B两点(A，B不是顶点)，且以AB为直径的圆过抛物线C的顶点O，求证：直线l过定点.

证明：当动直线AB的斜率存在时，设动直线AB方程为y=kx+b，显然k≠0,b≠0.将y=kx+b代入抛物线方程，得ky2-2py+2pb=0,直线l:y=kx+m与抛物线C相交于A，B两点，设A(x1,y1),B(x2,y2),即y1,y2是上述方程的解，△=(-2p)2-4k(2pb)>0，即p-2kb>0.由韦达定理得y1y2=2pbk,因为OA⊥OB，所以k㎡A•k㎡B=-1,所以y1x1•y2x2=-1,即x1x2+y1y2=0.从而x1x2=y21y22(2p)2

=b2k2,∴b2k2+2pbk=0.因为k≠0,b≠0，所以b=-2pk，且满足p-2kb>0,所以动直线方程为y=kx-2pk=k(x-2p),此时动直线AB过定点(2p,0).当直线AB的斜率不存在时，显然AB⊥x轴，又OA⊥OB，所以△AOB为等腰直角三角形.由y2=2px,

y=x,y2=2px,

y=-x,得到P(2p,2p),Q(2p,-2p),此时直线AB亦过点(2p,0).综上所述，动直线AB过定点M(2p,0).

三、问题链接

在此应注意到，了解相关的结论，会给我们的命题工作提供充分的依据，同时也能促进解题教学的改进与创新.

综观2008年各地模拟试卷，可以发现以上述结论为背景的试题很多，下面仅以一例加以说明.

例2 (福建省普通高中毕业班质量检查数学理科第21题)以F1(0，-1)，F2(0，1)为焦点的椭圆C过点P(22,1).

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点S(-13，0)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T.使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T；若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.

本题是一道背景朴素、意境幽美、综合性很强的试题.从考查的知识内容来看，是在知识网络的交汇点处设计的试题，涉及直线方程、椭圆方程、圆的方程、直线与椭圆相交及向量的数量积等基本知识.从考查的方法看，要用到向量的数量积的运算、韦达定理、代数式的变形等，具有较强的综合性，对含字母的运算及运算方向的选择有较高的要求.整个题目集研究性学习与能力考查于一题，环环相扣，层层递进，一气呵成，浑然天成，不仅为学生提供了探究性学习的丰富载体与想像的空间，而且渗透了数学思想方法在对问题探讨中的应用，同时也在“不知不觉”中考查了学生利用方程思想、特殊与一般思想解决解析几何问题的能力，可以说是考查与探究两不误，真是一举两得的事情.

从另一个层面思考，题目设计中为什么是“过点S(-13，0)的动直线l交椭圆C于A、B两点”，点S(-13，0)是随意构造的吗?事实上，从性质1中我们不难得到答案.