从２００７年的中考数学试题看２００８年数学命题的方向

刘　顿

一年一度的中考脚步声越来越近，同学们你准备好了吗？为了帮助同学们在有限的时间里，掌握三年来所学的知识，及时了解中考的动向，笔者认真学习了2007年全国部分省市的中考试题，从中获得一些2008年中考数学的命题方向，现解读如下，希望对同学们的复习能有点帮助.

1 通过复习，应注意优化思想方法

数学思想是数学的灵魂，数学方法使数学思想得以具体落实，二者相互依存，成为数学中考永恒的主题. 但是，如果因循守旧，仅用一些传统题型、固定模式进行考查，则往往会产生思维定势，忽视了数学思想方法的本质，所以必须对其优化，力争出新创奇，才能让学生真正体会到数学思想方法的重要性.

图1例1 （2007年成都市中考试题）如图1，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝mx的图象交于A(－2，1)，B(1，n)两点.

（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；

（2）求△AOB的面积.

分析 由于点A和B既在一次函数图象上，又在反比例函数的图象上，所以可以先利用待定系数法求出m，进而求出n，这样再运用待定系数法构造关于k和b的二元一次方程组即可求解.至于要求△AOB的面积，令直线与y轴的交点为C，也容易求出点C的坐标，这样△AOB的面积即由△AOC和△BOC组成.

说明 确定正比例函数的解析式，只要一个条件，而要求一次函数的解析式，则需要两个独立的条件.本题在求解时，以数形结合、方程和待定系数法的思想方法为主线，涉及到对问题的转化等思想方法.虽然也是主要运用了“以形定数”的思维方式，但是由于实际背景的介入，使得题目新颖别致，不同于一般的通过图像求关系式的题目.

2 通过复习应注意突出信息问题的转化

当今社会，信息容量迅速增多，表现形式丰富多彩，被人们称为“信息化时代”.在日常的生产生活、学习工作中，我们经常需要将各种形式的信息转化整合、分析处理.鉴于此，对信息转化的突出考查，具有强烈的时代感.

例2 （2007年河南省中考试题）图2和图3是根据2006年某省各类学校在校生人数情况制作的不完整的条形统计图和扇形统计图

图2已知2006年该省普通高校在校生为97.41万人，请根据统计图中提供的信息解答下列问题：

（1）2006年该省各类学校在校生总人数约多少万人？（精确到1万人）

（2）补全条形统计图；

（3）请你写出一条合理化建议.

图3分析 要解答本题中的三个问题，可以直接从已知的两个统计图中寻找解题的信息，再通过统计的方法求解.

解 （1）2006年该省种类学校在校生总数为97.41÷4.87%≈2000（万人）.（2）普通高中在校生人数约为2000×10.08%＝201.6（万人），即可补全条形统计图，如图2中的阴影部分.（3）答案不唯一，回答合理即可.

说明 本题以统计为背景，而运用统计思想解决问题一般要经过这样两个程序：（1）从实际问题中获取必要的信息——分析处理有关信息——建立数学模型——解决这个数学问题.（2）通过图表获取数据信息，收集、整理分析数据，再运用统计量的意义去分析，这是用统计的思想方法解决问题的基本方式.值得注意的是，求解信息问题的试题，应及时将图形、表格、数据、文字等多种信息形式综合为一体，需要同学们对各种不同信息“互译”转化，才能顺利解答.

3 通过复习要强化数学的应用意识

对数学知识应用性的考查，已经成为全国各地中考的普遍趋势，是强化“用数学”意识的必然结果.

例3 （2007年河北省中考试题）一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元.设购进A型手机x部，B型手机y部.三款手机的进价和预售价如下表：.

手机型号A型B型C型进 价（单位：元/部）90012001100预售价（单位：元/部）120016001300.

（1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；

（2）求出y与x之间的函数关系式；

（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元.

①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；（注：预估利润P＝预售总额－购机款－各种费用）

②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部.

分析 共有某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，其中A型手机x部，B型手机y部，所以容易求出C型手机的部数；由购机款61000元，再依据表中的信息求出x与y的函数关系式；进而仍依据表中的信息求出利润P与x的函数关系式，再由每款手机至少要购进8部的条件列出不等式组，从而确定了x的取值范围，并利用一次函数的性质求解.

解 （1）因为某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，所以用含x，y的式子表示购进C型手机的部数60－x－y.

（2）由题意，得900x+1200y+1100(60－x－y)＝61000，整理得y＝2x－50.

（3）①由题意，得P＝1200x+1600y+1300(60－x－y)－61000－1500，

即P＝500x+500.

②购进C型手机部数为：60－x－y＝110－3x.根据题意列不等式组，得x≥8

因为P是x的一次函数，k＝500＞0，所以P随x的增大而增大.

所以当x取最大值34时，P有最大值，最大值为17500元.

此时购进A型手机34部，B型手机18部，C型手机8部.

说明 在市场经济大环境的影响下，用数学知识确定价格，获取预期利润，是中考应用性问题中最常见的一种.由此，我们更能理解，运用数学知识是如何避免盲目投资、创造经济效益的.

4 通过复习应加强培养自己的创新能力

我们知道，创新是一个民族的灵魂.“创新”是当前最热门、最广泛的话题之一，几乎各行各业都在谈论和实践“创新”.创新能力的培养是一个长期的过程，初中阶段是人生智力发展的黄金时期，从培养创新意识，到传授创新方法，已经成为教育界正在探索的重要研究课题.中考，自然不能置身世外.

图4例4 （2007年枣庄市中考试题）已知：如图4，在△ABC中，D为AB边上一点，∠A＝36°，AC＝BC，AC²＝AB·AD.

（1）试说明：△ADC和△BDC都是等腰三角形；

（2）若AB＝1，求AC的长；

（3）试构造一个等腰梯形，要求该梯形连同它的两条对角线所形成的8个三角形中有尽可能多的等腰三角形.

分析 （1）要说明△ADC和△BDC都是等腰三角形，只要能说明这两个三角形中有两个角相等即可.（2）可以设AC＝x，则由AC²＝AB·AD构造方程即可求解.（3）要求解此问题可通过动手画图.

（3）如图5，按照要求画出的梯形中，有4个，6个和8个等腰三角形三种情况：①有4个等腰三角形；②有6个等腰三角形；③有8个等腰三角形.

说明 本题的第（1）、（2）问看是一道常规题，但在具体求解时，必须变换一下思维，或从相似三角形入手，找出角相等，或已知条件构造出方程求解，而第（3）小问通过动手操作，大胆地尝试，这些都遵循了人类认识新事物、发现新的科学现象或规律的必然进程，是对创新方法的训练.

5 增加开放程度

开放性题目是近几年中考的热点，几乎成为必考题型.从大处来看，常见的开放题主要有条件开放型、结论开放型、策略开放型和综合开放型四大类.

图6例5 （2007年枣庄市中考试题）如图6，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交〣C于D.

（1）请写出五个不同类型的正确结论；

（2）若BC＝8，ED＝2，求⊙O的半径.

分析 （1）显然利用圆的基本性质可知有许多正确的结论.（2）利用垂径定理与勾股定理即可求得.

解 （1）不同类型的正确结论有：①BC＝CE；②〣D=〤D；③∠BED＝90°；④∠BOD＝∠A；⑤AC∥OD；⑥AC⊥BC；⑦OE²+BE²＝OB²；⑧S△ABC＝BC·OE；⑨△BOD是等腰三角形；⑩△BOE∽△BAC；等等.

（2）因为OD⊥BC，所以BE＝CE＝12BC＝4.设⊙O的半径为R，则OE＝OD－DE＝R－2.在Rt△OEB中，由勾股定理，得OE²＋BE²＝OB²，即(R－2)²+4²＝R².解得R＝5.所以⊙O的半径为5.

说明 本题中若再添加适当的辅助线则还有许多与之相关的结论，同学们不妨试试.

6 注意加强综合题训练力度

综合题一直是中考复习最后阶段的重点和难点．综合题所考查的内容涉及初中代数或几何中若干不同的知识点，这就需要我们既要扎实地掌握好数学基础知识，又具备灵活综合运用数学知识解决问题的能力.在近年的中考命题中，综合题的难度有所下降，形式与内容也有一定程度的创新.

例6 （2007年怀化市中考试题）两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED按如图7所示的位置放置，A与C重合，O与E重合.

（1）求如图7中，A，B，D三点的坐标.

（2）Rt△AOB固定不动，Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D点运动到与B点重合时停止，设运动x秒后Rt△CED和Rt△AOB重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式.

（3）当Rt△CED以（2）中的速度和方向运动，运动时间x＝4秒时Rt△CED运动到如图7所示的位置，求经过A，G，C三点的抛物线的解析式．

（4）现有一半径为2，圆心P在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问⊙P在运动过程中是否存在⊙P与x轴或y轴相切的情况，若存在请求出P的坐标，若不存在请说明理由.

分析 以图形为求解的切点，求出A，B，D三点的坐标，进而可以进一步求解.

解 （1）由图形容易求得A(0，6)，B(6，0)，D(－6，0).

说明 本题是一道综合性很强的传统型压轴题，其难度比较恰当，选拔功能较强，解第4小题时要注意分类讨论，这是本题最容易失分的地方.

综上所述，在全国各地的中考数学试题中，既有基础知识，又有源于课本的例习题，更有高于课本的综合题、创新题.希望同学们在后期有限的温考时间里，能对照当地历年的中考试题，吃透考纲要求，把握中考动态，认真揣摩命题者的真实意图，更好地把握中考、迎战中考.相信同学们今年中考必胜！

作者简介 刘顿，男，1962年12生，中学高级教师，中国教育学会优秀会员，教学能手，优秀教育工作者，近年来力至于初中数学教学的改革，在省以上报刊上正式发表教育教学文章3000余篇，参编或主编教辅用书20余部，现任江苏省射阳县阜余中学教科室主任.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”